Advanced Search

المحرر موضوع: محاضرات في التفاضل والتكامل  (زيارة 19059 مرات)

0 الأعضاء و 1 ضيف يشاهدون هذا الموضوع.

أغسطس 05, 2006, 01:16:30 صباحاً
زيارة 19059 مرات

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
محاضرات في التفاضل والتكامل
« في: أغسطس 05, 2006, 01:16:30 صباحاً »
بسم الله الرحمن الرحيم وبه نستعين
يدرس علم التفاضل والتكامل مسالتين
1-هي ايجاد ميل المماس عند نقطه لمنحنى داله
2-ايجاد المساحه تحت منحنى لداله بين نقطتين
هاتان العمليتان يمكن اجرائهما بصوره تقريبيه بواسطة الحاسب الالى بنفس الطريقه التي تخيلها رياضو الحقب القديمه فمثلا في الحاله الثانيه المساحه تحت منحنى تساوي مجموع مساحات المستطيلات تحت المنحى تقريبا
اما حل هاتين المسالتين بالظبط فانه يعتمد على المبدأ الاساسي الذي يقوم عليه هذا العلم الا وهو مفهوم النهايه  الذي يجعله علما مستقلا عن الجبر وهو الفمهوم الذي حير العلماء والفلاسفه لقرون طويله طبعا حاول علماء مثل ارشميدس والحسن بن الهيثم استخدام مفهوم النهايه وقد يكون النقد لهما بسبب انهم لم يستخدموا النهايه في مفهومها الحديث لكنهما لاشك ادركاه بحسهما الرياضي السليم ووصلا دون الاستخدام الشكلي له إلى النتيجه المطلوبه عندما حاولو حساب النسبه باي او حساب حجم المجسم الناتج من دوران قطع مكافيء حول قاعدته
ثم إن مكتشفي العلم بصورته الحديثه نيوتن ولايبنتز لم يكونا على علم به كمبدأ رياضي وصيغت جميع نتائجهم بدونه وهذا جعلهم ينتقدون من قبل فلاسفه كبار امثال بيركلي
ولد اسحق نيوتن في عام 1642 بمقاطعة لونكشير الانجليزيه وقد مات ابوه قبل مولده بشهرين وكانت امه تتمنى إن يعمل في مزرعة الاسره لولا تدخل بعض اعمامه فارسل إلى كمبريدج التي حصل منها على ليسانس العلوم ولايبدو من طفولته تمتعه بشيء خارق للعاده الا انه بعد تخرجه مباشره عام 1665 انتشر الطاعون في انجلترا فاغلقت المؤسسات واظطر نيوتن الرجوع إلى بلدته ومكث فيها 18 شهرا وكانت هذه الفتره وهو في الثاله والعشرين من اخصب الفترات العلميه في تاريخ الانسانيه
فقد اكتشف مفكوك ذي الحدين لاس سالب او كسري وان الضوء يتحلل إلى الوان الطيف ثم قانون الجاذبيه الشهير وعلم التفاضل والتكامل
طبعا رموز نيوتن مازلت مستخدمه حتى الان بين الفيزيائيين
طبعا الانجاز العظيم لنيوتن وليبنتس في تعميم طرق حساب المماس سواء من رؤيا فيزيائيه لنيوتن او هندسيه لـ ليبنتس بل في اكتشافهما إن عملية التفاضل والتكامل عكسيتين لبعض وهذا سوف نتطرق اليه لاحقا
طبعا هناك رياضيين ساهموا في بناء هذا العلم مثل جاكوب ويوهان بيرنولي
فقد اشتهر جوهان بالمساله التي يطلب منها تحديد شكل سلك واصل بين نقطتين لكي تتزحلق عليه خرزه في اقل وقت ممكن والذي ثبت انه منحنى السيكلويد ويحكى إن نيوتن حلها في نفس اليوم الذي سمع بها
طبعا هناك بروك تيلور وكولين مكلورين  واويلر طبعا من وجهة نظر تحليليه هناك فيرستراش
واوجستين كوشي الذي يعتبر ابو التحليل الحديث وهو الذي اقر تعريف الاتصال عن بولزانو وتطبيقات الاتصال عديده منها انها ضروريه لقابلية الاشتقاق لداله وكافيه لاجراء التكامل على فتره ثم هي ساهمت في اثبات كثير من النظريات المهمه اشهرها نظرية القيمه الوسيطه والتي احدى نتائجها المهمه اذا كان للداله قيمه موجبه ثم تلتها قيمه سالبه او العكس فطالما انها مستمره على فتره مغلقه يتحتم إن تمر بنقطه داخل الفتره تنعدم عندها الداله وطبعا النتيجه بديهيه  لكن لن ندرج لها برهان لانه صعب برهانها ففي الرياضيات كلما كانت النتيجه بديهيه صعب برهانها فقد حاول كل من كوشي وبلزانو برهانها وفشلا حتى اعتمدا بجانب تعريف الاتصال للداله على خاصيه من خصائص الاعداد الحقيقيه وهي مسلمة تفرض انه لاي مجموعه غير خاليه من الاعداد الحقيقيه التي لها حد اعلى لها اصغر حد اعلىوطبعا تستخدم طريقة التنصيف لفتره معينه ثم نعرف متتابعتين احدهما تزايده والاخر تناقصيه تتقاربا إلى نقطه واحده ونوظف خاصية الاتصال لاحداث تناقض يثبت النظريه وهذا ليس موضوعنا بل موضوع كبير جدا اسمه التحليل الحقيقي
وطبعا هناك جورج ريمان الذي وضع اللمسات الاخيره على التكامل فسمي باسمه
طبعا كان الاعتقاد السائد إن كل الدوال المتصله قابله للاشتقاق ماعدا بعض الدوال التي تكون عند بعض النقط المعزوله غير قابله للاشتقاق إلى إن اوجد فيرستراش داله متصله ولكن غير قابله للاشتقاق عند أي نقطه ولن اذكر هذه الداله لانها تتعلق بمفاهيم عاليه لاثبات اتصالها تحتاج إلى مختص بالتحليل الحقيقي
طبع هذه المشكله دفعت العلماء مثل كانتور وديدكند إلى إن تؤخذ الاعداد النسبيه نقطة انطلاق لبناء الاعداد الحقيقيه
طبعا هذا مختصر سريع جدا جدا عن التفاضل والآن أترككم مع اولا المفاهيم

وطبعا لحل التمارين الوارده بالمحاضرات وللتساؤلات وطرح وجهات النظر خصص موضوع كامل في قسم الدراسات والتعليم الجامعي

من هنا لساحة النقاش

ومع تمنياتي لكم بالتوفيق




أغسطس 05, 2006, 01:21:30 صباحاً
رد #1

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
محاضرات في التفاضل والتكامل
« رد #1 في: أغسطس 05, 2006, 01:21:30 صباحاً »
بسم الله الرحمن الرحيم
وبه نستعين

الفترات

اشهر المجموعات جميعا وتمثل اجزاء مستقطعه من مجموعة الاعداد الحقيقه ولذا فهي مجموعات غير منتهيه تمثل عناصرها القيم التي ياخذها المتغير داخلها وقد تكون الفترات مغلقه اذا احتوت النقط الطرفيه لها ومفتوحه اذا كانت عكس ذلك ونرمز للطرف المغلق بالرمز [ ]  بينما الطرف المفتوح ( )   طبعا من جهة كان الانفتاح او الانغلاق

فمثلا لو قلنا
(5,8]
هذه معناها فتره مغلقه من اليسار مفتوحه من اليمين أي إن العدد  5  يدخل ضمن الفتره بينما العدد 8   لايدخل
 مثال اخر
(5,9)
هذا معناها فتره مفتوحه من الطرفين أي إن العدد 5 والعدد 9  لايدخل ضمن المجموعه انما العدد الذي يلي 5 يدخل ضمن الفتره والعد الذي يسبق 9 يدخل في الفتره وطبعها الاعداد الحقيقيه كثيفه جدا ويمكن فالاعداد النسبيه كثيفه داخل الاعداد الحقيقيه لذلك من الصعب تحديد العدد بل من المستحيل لذلك نكتفي بالقول إن العدد 9 او 5 لايدخل فقط
طبعا لو حصل وكان لدينا الفتره تحوي في احد طرفيها الكميه اللانهائيه فانها تكون مفتوحه لان الكميه لانهائيه ليست عدد بحد ذاته لذلك من الصعب التكلم عن انتمائها إلى فتره مثلا



وهكذا
طبعا يمكن تعميم العمليات الجبرية على الفترات



1-2 الدالة
1-مفهوم الدالة
لرياضي القرن التاسع عشر كان كلمة داله تعني علاقة رياضيه محدده كان نقول



بحيث تنسب لكل قيمه x  قيمه وحيده f(x)   والتي بمقتضاها يمكن تمثيل الداله بيانيا لكنه لوحظ مع تعدد الامثله واختلاف انماطها اننا نفاجأ احيانا بالاتي
1-ليست لكل قيمه x   توجد قيمه f(x)   معرفه كما في العلاقه



والتي تكون قيمة الداله غير معرفه عند الصفر
2-ليست لكل قيمه حقيقيه x  توجد قيمه حقيقيه f(x)   كما في العلاقه



3-قد تمثل الداله f(x)   بصيغ مختلفه باختلاف مكان وقوع x   كما في الحاله    التي تكافيء العلاقتين y=x  للقيم


و y=-x  للقيم x<0
انظر الرسمه بالاسفل لهذه الدوال
لذلك حاول الرياضيون تلافي هذه العيوب بتعريف دقيق للداله f   يفرقها عن القيمه f(x)  ونسوقه كالتالي
تعريف الداله
الداله f   هي قاعده للاقتران تحدد لكل عنصر x  في مجموعه جزئيه D من A   عنصرا وحيدا y  في المجموعه B
f:DB
بينما نكتب y=f(x)  للدلاله على إن العنصر  y هو تلك القيمه التي تنسبها الداله f   للعنصرx   او هو صورة x تحت التحويل  f   وتسمى D مجال الداله وهي مجموعة القيم التي يسمح للمتغير x   إن ياخذها بينما تسمى المجموعه






بمدى الداله وتكتب R(f)
حلو جدا جدا
بهذا التعريف نكون تلافينا المشاكل فكون x  تقابلها قيمه y  محدده جعلنا هذا نتلافى المشكله 1 , وحيث إن x تاخذ قيما بعينها فقط يجعلنا نتغلب على المشكله 2 , اما المشكله 3 فتحل ايضا لانه يسمح بالتعريف المتعدد للداله على مجموعات جزئيه من مجالها طالما لايقطع أي خط مستقيم راسي المنحني y=f(x)    في اكثر من نقطه
طبعا عندنا حريه بتعريف المجال لداله مثلا الداله



نستطيع إن نعرفه على R كامله  




طبعا كما وعدتكم سابقا اني سوف اتكلم ببساطه لذلك لن اتعمق اكثر من ذلك

جد المجال والمدى للداله f  اذا كان



الحل
القيم التي ياخذها المتغير x  هي كل الاعداد الحقيقيه وبناء على ذلك يكون Df=R بينما دائما
f>0  او تساويه لكل المتغيرات بالتالي المدى يكون




الحل
القيم التي يمكن التعويض بها هل كل الاعداد الحقيقيه ماعدا اصفر المقام بالتالي يكون المجال هو جميع الاعداد الحقيقيه ماعدا (1-) ولحساب مدى الداله يكون لدينا



اي ان x  غير معرفه عند القيمه y=1  بالتالي المدى هو كل الاعداد الحقيقيه ماعدا العدد واحد



الحل
قيم x  التي يمكن التعويض بها هي التي تحقق المتباينتين التاليتيين معا(سوف نتكلم لاحقا عن المتباينات)



حتى تكون الداله حقيقيه بالتالي يكون المدى هو الفتره
Df=[0,4

وحيث انه لكل x تنتمي للمجال  فان الداله غصبن عنا لازم تحقق المتباينه



بالتالي يكون مدى الداله هو





الحل
هذه مجالها الاعداد الحقيقيه لكن ماهو مداها

عريف
اذا كانت f , g  دالتين فاننا نعرف المجموع والفرق وحاصل الضرب وخارج القسمه كالتالي




طبعا يكون المجال في الحالات الثلاث الاولى هو تقاطع مجال الدالتين اما في الحاله الاخيره فهو التقاطع باستثناء النقط التي تكون عندها g(x)=0

مثال لو كان لدينا



اذا

[/QUOTE][/QUOTE]

-صفات هندسيه
من الصفات الهندسيه صفة التماثل وهي التي تتمتع بها الدوال الزوجيه أي إن منحنى الداله يكون متماثل حول محور الصادات اذا كانت الداله تحقق
f(-x)=f(x)
بينما يكون المنحى متماثل حول نقطة الاصل اذا كانت الداله فرديه أي تحقق
f(-x)=-f(x)
ومن الصفات المهمه كذلك صفة الاطراد وهي إن تكون الداله على تزايد مستمر او تناقص مستمر مع تزايد قيمة x   في كل حاله ومن الامثله على الدوال المتزايده باطراد



طبعا ليس من الضروري إن تكون الداله زوجيه او فرديه او تزايديه او تناقصيه ومثال ذلك



فهذه لازوجيه ولافرديه ولا متزايده ولا متناقصه
3-الدوال الاوليه
طبعا هناك دوال كثيره من اشهرها
1-دالة القوه وشكلها



حيث  n   عدد صحيح موجب و a`s   ثوابت
وهناك الداله الكسريه
حيث تكون عباره عن قسمة كثيرتي حدود
وهناك داله جذريه حيث تحتوي على جذور
وهناك الدوال الاسيه وللوغاريتميه والزائديه لكن هذه نتكلم عنها لاحقا
والدوال المثلثيه لكن قبل ذلك نريد إن ناخذ زياره سريعه للداله العكسيه وشروط وجودها


4-الداله العكسيه
لتكن  



داله
1-تكون الداله احاديه اذا حققت الشرط



2-تكون الداله f شامله اذا كان مدى الداله هو B اي ان لكل y تنتمى الى مدى الداله نستطيع ايجاد x  تنتمى الى المجال بحيث يكون
f(x)=y

3-نسمي الداله تقابلا اذا كانت احاديه (متباينه) وشامله(غامره)
مثال اثبت ان الداله


f(x)=x^3
احاديه وشامله
الحل
لنفرض ان x,y  اعداد حقيقيه بحيث انهما غير متساويين
اذن



ومن ثم فان الداله f  احاديه كذلك لكل x



بالتالي فان الداله شامله
طبعا على حسب كثرة التمارين يتعود الشخص على سرعة الحل

ليكن لدينا تقابل



بما ان الداله f  شامله فانه لكل عنصر y  في المدى يوجد عنصر x في المجال على الاقل بحيث يكون f(x)=y  وبما ان الداله احاديه فان هذا العنصر وحيد بالتالي نستطيع تعريف داله على الشكل



تعريف
اذا كان الداله


 
تقابلا فان معكوس الداله



التي تحقق



,ولاحظ ان



كيفية ايجاد المعكوس

اذا كان لدينا داله f  تقابل فان الخطوات التاليه تساعدنا على ايجاد المعكوس
1- ضع



2- من تعريف دالة المعكوس نجد ان x=f(y)

3-حل هذه المعادله لايجاد y  بدلالة x  ان امكن ذلك

مثال
جد معكوس الداله  

الحل نحن نعرف ان الداله تقابليه بالتالي ضع x=f(y)  ومن ثم فان



وبحل هذه المعادله نجد ان






أغسطس 05, 2006, 01:26:55 صباحاً
رد #2

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
محاضرات في التفاضل والتكامل
« رد #2 في: أغسطس 05, 2006, 01:26:55 صباحاً »
السلام عليكم
الدوال المثلثيه
هناك الكثير من المواضيع التي تتكلم عنها بالمنتدى مثل دروس الاستاذ محمد شكري الجماصي
وسوف اتكلم الان بشكل سريع عن الدوال المثلثيه العكسيه
1-دالة الجيب العكسيه

لو كان



فان



2-دالة جيب التمام العكسيه
لو  كان



فان



3-دالة الظل العكسيه
لو كان



فان



4-دالة القاطع التمام العكسيه
لو كان



فاني اترككم تفكرون

5-دالة القاطع العكسيه
لوكان



فان



6-دالة الظل التمام العكسيه



فان



طبعا فكرة تحديد هالمجالات بالذات راح ابينها لكم بالرسم لاني مهما تكلمت فالصوره ابلغ واجمل

والان من المناسب التكلم عن المسافه بين نقطتين
وعذرا على هذا التباين الشديد بالمواضيع لكن هذا تحضير لموضوع النهايات والاتصال والذي سوف نقف فيه ثم نتدرج بشكل اكثر انبساط
طبعا نحن كلامنا عن المستوى الديكارتي اي محور السينات يتقاطع مع محور الصادات
وسمي ديكارتي على مايبدو انه نسبه الى عالم الرياضيات ديكارت الذي هو اول من استخدم الجبر لتمثيل المفاهيم الهندسيه
لنفرض ان لدينا نقطتين  

فلكي نحسب المسافه بينهما نستخدم القانون الذي اتركه لكم لكي تبرهنوه



مثال احسب المسافه بين النقطتين



الحل



ومن المناسب الان التكلم عن المعادلات التي تمثل المستقيمات بالمستوى ونسرد الان بعض الحقائق التي يجب ان يكون القاريء ملما بها
1-يعرف ميل مستقيم غير الراسي والمار بالنقطتين  
بالشكل



حيث m هي الميل
2-اذا كان المستقيم راسيا فان ميله غير معرف (لماذا؟)
3-يمكن كتابة معادلة المستقيم بعدة طرق منها



والتي يمكن تحويلها الى الشكل


حيث m  هو الميل
4-تكون المستقيمات متوازيه اذا كان لها نفس الميل
5-لو كان لدينا L  و  T  مستقيمين ميلهما على التوالي  n,m  بحيث ان n  لاتساوي الصفر  يكونا متعامدين اذا وفقط اذا تحقق التالي
mn=-1
وبرهانها تمرين للقراء وعذرا على كثرة التمارين لكن المجهود الصعب هو الذي يترك الاثر الفعال والنير في معرفتنا

7-معادلة المستقيم الموازي لمحور السينات هي
y=a
8- معادلة المستقيم الموازي لمحور الصادات هب
x=a
مثال
جد معادلة المستقيم الذي ميله 2 ويمر بالنقطه (1و-5)
الحل
معادلة المستقيم هي



اذا بجعل m=2



والان



اترككم مع هذه الرسمه التي تعبر عن الميل واثره على المستقيم

أغسطس 05, 2006, 01:45:32 صباحاً
رد #3

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
محاضرات في التفاضل والتكامل
« رد #3 في: أغسطس 05, 2006, 01:45:32 صباحاً »
السلام عليكم
امثله
امثله
1-جد



الحل
بما إن



فان



2-جد



الحل بما إن -1<0.7<1
فان




3-جد



الحل: بما إن




فاننا لانستطيع اختصار الداله مع معكوسها لكن عوضا عن ذلك لاحظ التالي



وان




وهذه قيمه تنمتى إلى مدى الداله العكسيه بالتالي نستنتج إن



جد



الحل: نفرض إن



اذا



ومنه فان




يعني



بالتالي



5-جد



الحل
بما ان

 ذات جيب التمام
    

فانن نجد ان:






أغسطس 05, 2006, 01:55:23 صباحاً
رد #4

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
محاضرات في التفاضل والتكامل
« رد #4 في: أغسطس 05, 2006, 01:55:23 صباحاً »
تمارين
أ-اوجد المجال والمدى للدالهf في الحالات



ب- بين أي من الدوال التاليه زوجيه او فرديه او خلاف ذلك



ج-في التمارين التاليه جد    لكل من الدوال التاليه



د-في التمارين التاليه اوجد f+g ,fg ,f/g
اذا كانت



هـ - اثبت مايلي



و- في مصنع لانتاج الحلويات وجد إن تكلفة انتاج الكيلوغرام الواحد5 ريالات ويضاف إلى ذلك تكلفة انتاج ثابته مقدارها في الاسبوع الاول2000 ريال اذا فرضنا إن كل الكمية المنتجه في الاسبوع x   كيلوغرام قد تم بيعها بسعر 7.5 ريالا للكيلوغرام الواحد  فجد ربح المصنع بدلالة x
ز- يراد صنع صندوق مفتوح من قطعه مستطيله من الورق المقوى (لونه اخضر) طولها 16 cm  وعرضها 10 cm  وذلك بقطع مربعات متساويه من اركانها الاربعه (طول ضلع كل منهاcm  x)  ثم ثنيها كما في الشكل ج جد حجم الصندوق v   بدلالة x   ثم جد مجال الداله

انتهت المحاضره الاولى
اتمنى ان تعجبكم
وانا ارحب باي نقد بناء واستقبل اي ملاحظه على الشرح
وللاسف هناك اخطاء بمثال بالاعلى سوف اعمل على تعديله بسبب خلل في نقل المعادلات
واشكر الاستاذ ابومعاذ على جهوده معنى
تحياتي
بنروز




أغسطس 09, 2006, 10:57:15 مساءاً
رد #5

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
محاضرات في التفاضل والتكامل
« رد #5 في: أغسطس 09, 2006, 10:57:15 مساءاً »
السلام عليكم
[/U]المحاضره الثانيه
اليوم ننهي التحضير تماما للدخول المحاضره المقبله في النهايات
اليوم سويه سنقوم بدراسه مختصره للاعداد الحقيقيه سوف نقوم بتقدمي ومناقشة نظام الاعداد الحقيقيه وقد يرى القاريء إن معظم مانقوم به هنا جهد ضائع في نقاش واثبات امور بديهيه لكن نود إن نشير إلى مزالق الاكتفاء بالمعرفه الحدسيه فقط فكثير مما هو مقبول حدسا خاطيء
إن الطريق الذي سنسلكه قديم قدم اقليدس ولكنه اضحى الان واسع الاستخدام في كثير من مناحي الرياضيات حيث يقوم الدارس بتقصي نظام رياضي مكون من مجموعه اشياء تحقق خواص مذكوره صراحه تسمى مسلمات او فرضيات ثم ينصرف بعد ذلك إلى توظيف المنطق لوصول إلى نتائج وخواص جديده ولهذا المسلك مزايا عديده فهو محكم وخال من الابهام كما انه اكثر يسرا واقتصاد من غيره
نبدأ بافتراض وجود مجموعه R   نسميها مجموعة الاعداد الحقيقيه تحقق اثني عشر مسلمه نبوبها ونفصلها فيما يلي وسنرى إن الاحدى عشرة مسلمة الاولى تعنى بالبناء الجبري لهذه المجموعه وطبعا سيشعر القاريء في انه ملم بها وباثارها اما المسلمه الثانيه عشره فنكهتها مختلفه وهي التي تضعنا في اطار مايسمى بالتحليل الرياضي
لكن هذا ليس موضوعنا الاساسي لكن استخدمت هذا المسلك لانه بنظري اجمل وربط بين الحساب والتحليل في بعض الجوانب السهله
طبعا لو كتب احدهم كتاب بثلاثمائة صفحه لبناء الاعداد الحقيقه ودراستها ربما لايكفي
لكن هي مجرد اساسيات بسيطه والتي هي في متناول يدي

1-مسلمات الحقل


سنفترض وجود دالتين من RxR   إلى R  يرمز اليهما بالشكل


تسمى الاولى عملية الجمع والثانيه الضرب
سنفترض إن هاتين العمليتين تحققان المسلمات التسع التاليه

م1-

اي ان الجمع ابدالي
م2-

م3-
يوجد عنصر 0 في R   يحقق

م4-
-لكل عنصر في R   يوجد عنصر في R  نرمز اليه بـ -a  ويحقق

م5-

م6
يوجد عنصر 1 في R يتلف عن الصفر ويحقق

م7-
لكل عنصر a   موجود في R  بحيث إن لايساوي الصفر يوجد عنصر اخر يحقق

م8-

م9-


بلغة هل الجبر تقرر المسلمات الاربع الاولى إن الاعداد الحقيقيه وعملية الجمع تكون زمره اما الفرضيات التسع تقرر إن الاعداد الحقيقيه ونظام الجمع والضرب تمثل حقل " ليس زراعي"
ومن هذه المجموعه من المسلمات يمكننا استنباط العديد من الخواص ونقدم هنا مثال
اذا كانت a,b,c  اعداد حقيقيه فان



البرهان
افرض إن


من السلمه الرابعه يوجد –a   وعليه فان


وهو المطلوب

مسلمات الترتيب

نفترض وجود مجموعه جزئيه غير خاليه من R   نرمز لها بـ P   تحقق الفرضيات التاليه:
م10-لكل عدد حقيقي a  تتحقق واحده من العلاقات التاليه :



م11-




تسمى P   مجموعة الاعداد الحقيقيه الموجبه
ونعرف العلاقه < (اكبر من ) بالشكل



ونقول عندئذ إن a   اكبر من b  او إن b   اصغر  من a  ونكتبها بالشكل bنلاحظ على الفور إن



واذا كانت



فان



وهي مجموعة الاعداد السالبه ومن م10 نحصل على إن


وعندما تكون a>b او تساويها فاننا نكتب



والان
نعرف اصغر عنصر في المجموعه   إن وجد بانه ذلك العدد    الذي يحقق



كما نعرف اكبر عنصر في A  إن وجد بأنه ذلك العدد


الذي يحقق



وقد جرت العاده على الكتابه


باستخدام المسلمات الجديده مع السابقه يمكن اثبات العديد من النتائج
مثال
اثبت خاصية التعدي للعلاقه > أي



البرهان
افرض إن a


من م11 نرى إن



وعليه فان



اذن
a
تعريف
لكل عدد  نعرف القيمه المطلقه للعدد x  او مقياس x بالشكل



نظريه



واترك البرهان للقاريء بأي طريقه مو شرط بطريقتي تعريفي للعلاقه اكبر بالاعلى

مسلمة التمام
قبل تقديمنا للمسلمه الاخيره نحتاج إلى بعض التعاريف التمهيديه
تعريف
1-نقول إن    حد علوي للمجموعه     اذا كان



ونقول عن المجموعه A  انها محدوده من اعلى اذا كان لها حد علوي

-اذا كان  


فاننا نسمي c حد سفلي للمجموعه A ونسميها محدوده من اسفل اذا كان لها حد سفلي
3-نسمي المجموعه محدوده اذا كانت محدوده من اسفل واعلى
تعريف
يعرف اصغر حد علوي بالشكل


حيث b  هو الحد العلوي الاصغر
ويعرف اكبر حد سفلي c   بنفس الشكل
او بالكلمات يعني يكون حد سفلي للمجموعه A   ولايوجد حد سفلي اكبر منه

طبعا يرمز للحد العلوي الاصغر للمجموعه A   بالرمز sup A
ويرمز للحد السفلي الاكبر بالرمز inf A
مثال
اذا كانت A هي الفتره [a,b)   فان
Sup A=b
Inf A =a
البرهان
من التعريف واضح إن b   حد علوي للفتره وهذا ناتج من تعريف الفتره
كذلك افرض إن u  حدا علويا للمجموعه A وافرض جدلا إن u


أي إن



الامر الذي يناقض كون u  حدا علويا اذا u   اكبر وا يساوي b    وعليه فان
b=sup A
طبعا لاثبات الامر الاخر عدل على هذه الحجه بالشكل المناسب
م12-مسلمة التمام
اذا كانت   مجموعه غير خاليه ومحدوده من من اعلى فان لها حد علوي اصغر في  R
وبناء على بعض المعلومات الرياضيه يمكن مكافئتها بالشكل
اذا كانت    مجموعه غير خاليه ومحدوده من اسفل فان لها حد سفلي اكبر




أغسطس 09, 2006, 11:13:28 مساءاً
رد #6

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
محاضرات في التفاضل والتكامل
« رد #6 في: أغسطس 09, 2006, 11:13:28 مساءاً »
امثله
اوجد قيمة الحل للمتباينه

الحل
من الخاصيه 4 بالنظريه نحصل على



باضافة العدد 3 لاطراف المتباينه ثم القسمه على العدد 2 نحصل على



وهي المجموعه التي تحقق الحل

مثال:
جد مجموعة الحل للمتباينه


الحل







نكون الان التالي لان المتباينه تتحقق عند الاعداد التي تعطي ناتج موجب كما في الجدول التالي ثم نستنبط ان مجموعة الحل هي


أغسطس 09, 2006, 11:31:12 مساءاً
رد #7

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
محاضرات في التفاضل والتكامل
« رد #7 في: أغسطس 09, 2006, 11:31:12 مساءاً »
تمارين
أ- جد مجموعة الحل للمتباينات التاليه



ب- اذا كانت a,b  اعداد حقيقيه فاثبت ان


ج- اثبت ان



د- استخدم الاستقراء الرياضي (خارج نطاق معالجتنا)لاثبات ان


حيث n عدد طبيعي و x  اكبر من سالب واحد

هـ- اذا كان كل من a,b  اعداد حقيقيه موجبه فاثبت ان جذر العدد 2 دائما يقع بين

و

و-باستخدام المسلمات من 1 الى 9 اثبت انه لكل عددين a,b حقيقين يكون للمعادله
a+x=b
حل وحيد هو
x=b-a
ز- برهن على انه لايوجد عدد نسبي يحقق المعادله



ح-(اختياري جدا) اذا كان وكان a>0  فاثبت ان هناك عدد حقيقي x يحقق



طبعا البرهان الكامل يعتمد على المسلمات التي ذكرنا كامله
انتهت المحاضره
اتمنى ان تكون اعجبتكم
من هنا لساحة النقاش

ساحة النقاش

ومع تمنياتي لكم بقضاء اجمل الاوقات
مع التحيه
روجر بنروز




أغسطس 12, 2006, 11:22:31 مساءاً
رد #8

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
محاضرات في التفاضل والتكامل
« رد #8 في: أغسطس 12, 2006, 11:22:31 مساءاً »
بسم الله الرحمن الرحيم
المحاضره الثالثه

مقدمه للنهايات
خذ في الاعتبار الداله f(x)=2x+1   نتسال سؤالين
1-ماقيمة الداله عندما x=1
2- هل يوجد عدد عدد تكون الداله قريبه منه لكل x   قريبه من ولكن لاتساوي العدد 1 ؟
الاجابه عن السؤال الاول سهله حيث f(1)=3   للحصول على اجابه للسؤال الثاني نسب f(x)
 لقيم متعدده قريبه من ولكن لاتساوي العدد 1  ثم نحاول تخمين العدد دعونا ننظر للجدول



طبعا من خلال القراءات بالجدول اتوقع إن العدد المطلوب هو العدد 3 طبعا لكتب الان

وتقرأ نهاية الداله f  عندما تقترب x  من العدد واحد هي ثلاثه
طبعا بالجدول بالاعلى يمكننا كتابة التالي
اذا كان



فان

وكذلك اذا كان



فان



طبعا يمكن كتابة الصيغه بالاعلى تقريبيا على الشكل


فان



طبعا اذا كانت


فان



بالتالي فان



فان



ولو اضفنا الشرط وجعلناx  لاتساوي الواحد يمكننا الكتابه عندها



فان



إن الرمزين ابسيلون ودلتا يزوداننا بمعيار للقرب يجعل تعابير مثل تقترب من او تزداد قربا التي وردت في صدر نقاشنا تحمل معنى محدد فالمجموعه



هي مجموعة الاعداد الحقيقيه التي تبعد عن العدد 1 باقل من دلتا ولكن من دون إن تاخذ القيمه 1وهي الاعداد التي يمكننا اعتبارها قريبه من العدد 1 متى ما اتفقنا إن يكون دلتا هو مقياسنا للقرب وكذلك فان المجموعه


هي مجموعه  قيم الداله f  التي بعد العدد 3 اقل من ابسيلون واذا كانت المتباينه متحققه لكل الاختيارات الموجوده والممكنه لـ ابسيلون فان هذا يجعل قيم الداله f تبعد عن العدد 3 باقل من أي عدد تختاره وهذا مانعنيه بان f تقترب قربا كافيا من العدد 3 ومن هذا الايضاح يمكن ايراد التعريف
تعريف
لتكن I  فتره مفتوحه تحوي العدد a  ولتكن الداله f   معرفه على الفتره فرق العدد a نقول عن العدد الحقيقي L   انه نهاية الداله f  عند a  ونرمز لذلك بالرمز



اذا كان لكل    يوجد  بحيث إن:



كلما كان



ملحوظات
1-بما إن ابسيلون اختياري ويمكن اختياره صغيرا جدا فان المتباينتين الواردتين في التعريف يمكن قرائتهما على النحو التالي تكون الداله f  قريبه قربا كافيا من L   عندما تكون x   قريبه قربا كافيا من a
2-قيمة الداله عند a  لاتلعب أي دور في تعريف النهايه بل اننا لانشترط إن تكون النقطه a  تنتمي إلى المجال
3-دلتا الوارده في التعريف ليست وحيده في الواقع اذا كان هناك قيمه لدلتا تحقق التعريف فكل قيمه تحقق المتباينه

تحقق التعريف ايضا
-بالامكان صياغة التعريف للنهايه على الشكل التالي
لكل يوجد  بحيث



سنحاول الان ايضاح  هذا التعريف باستخدام الرسم في الشكل
لدينا بيان داله f المعرفه على الفتره المفتوحه تحوي نقطه a   دون الاصرار على تعريفها عن a



ليكن  أي عدد    تعطينا فتره مفتوحه حول L في محور y   والمستقيمان الافقيان     يقطعان بيان الداله y=f(x  عند نقطتين احداثيهما x0,x1 , ونلاحظ انه اذا كان    فان    الان عندما تقترب x  من a  فان x   تقع بين x0  وx1   بالتالي    في الغالب لن تكون a   مركز للفتره (x_0,x_1)
ونختار \delta   على انها اقل العددين a-x_0 , x_1-a    أي إن دلتا هي اقصر المسافتين بين a   وطرفي الفتره (x_0,x_1)   ونلاحظ إنه اما

كما في الشكل او


وفي كلتا الحالتين في انه اذا كانت    فانها تحقق

وبالتالي

أي إن





أغسطس 13, 2006, 12:03:47 صباحاً
رد #9

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
محاضرات في التفاضل والتكامل
« رد #9 في: أغسطس 13, 2006, 12:03:47 صباحاً »
طبعا نضيف الان مثالين على هذا الكلام وانا قصرت في المحاضره بسبب ان بعض الاخوه اقترح التقصير ولكن لتدارك الوضع سوف اضيف محاضره اخرى يوم الاثنين حتى يوم الاربعا نخلص تماما النهايات وندخل الاسبوع القادم في المشتقات
طبعا اليوم لن اطرح تمارين لان ايجاد النهايه بالتعريف يرافقه نو من الصعوبه وخصوصا عندما تكون الدوال مثلثيه او كثيرات حدود من الدرجه الثانيه فما فوق لكن سوف نعطي نظريات المحاضره القادمه تعالج لنا مثل هذه الحالات دون اللجوء الى التعريف
مثال 1.
اثبت ان


الاثبات
هنا L=3 و a=2
علينا ان نثبت انه كلما اعطينا قيمه ابسيلون اكبر من الصفر فانه يوجد عدد دلتا بحيث

كلما كانت

اي انه


كلما كانت


لايجاد دلتا نكتب المتباينه على الصوره



وهو الشكل الذي يرد في المتباينه 2
علينا الان ان نختار دلتا بحيث ان المتباينه 3 تتحقق كلما تحققت المتباينه 2 وهذا يمكن باختيار
ولاثبات ان هذه القيمه    تحقق التعريف نفرض ان x تحقق المتباينه 2 وبما ان  فان

وعليه فان المتباينه 3 تتحقق وهذا يثبت ان


طبعا من المثال نستخلص النهج العام لاثبات النهايات
1-نفرض ان العدد   معطى
2-نحاول ايجاد عدد يحقق شرط التعريف وذلك بايجاد علاقه بين دلتا وابسيلون وهنا يمكن الاستفاده من الملاحظه التي وردت بعد التعريف وهو ان قيمة دلتا ليست وحيد وعليه يمكننا وضع قيود على دلتا لتسهيل عملية الحساب
مثال
اثبت ان


الحل
نفرض ان  اي
اذا اذا اخذنا  نضمن ان يكون x يقع في الجوار (لاتزعجك كلمة جوار) او الفتره  وتجعل    تقع في الجوار    
الى هنا تنتهي المحاضره الثالثه
اذا هناك اي خطأ نبهوني
مع التحيه
مازن

أغسطس 14, 2006, 11:33:26 مساءاً
رد #10

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
محاضرات في التفاضل والتكامل
« رد #10 في: أغسطس 14, 2006, 11:33:26 مساءاً »
السلام عليكم
المحاضره الرابعه
اتمنى ان نكون استوعبنا ماسبق
الان سوف نقدم خواص النهايات وبدون برهان لان بعضها يحتاج خلفيه اعلى لكن الغالب منها سهل برهانه لكن ليس موضوعنا ذلك
خواص النهايات
-اذا كان a,b,c  اعداد حقيقيه فان


2- لتكن

عندئذ


نتيجه
اذا كان   و n   عدد صحيح موجب فان

نتيجه
اذا كان n   عدد صحيحا موجبا فان  
مبرهنه
اذا كانت p(x)   كثيرة حدود فان

لكل a   عدد حقيقي
نتيجه
اذا كانت f(x)   داله كسريه وكان   فان

مبرهنه

حيث a>0  و n  عدد صحيح موجب(او a<0  او تساويه و n   عدد موجب فردي صحيح)
مبرهنه

حيث    
)   و n   عدد صحيح موجب زوجي (او L<0   و  n  عدد صحيح موجب فردي)

مبرهنه   
اذا كانت  
لكل x  في فتره مفتوحه تحوي a   (ماعدا ربما عند نقطه a ) وكان

فان

مبرهنة الانضغاط
اذا كان     لكل x   في فتره مفتوحه تحوي a   (ماعدا ربما عند النقطه a) وكان

فان


النهايه من جهه واحده
طبعا عند تعريفنا للنهايات لم نحدد طبيعة اقتراب x   من a  لكن لو كان طريقة الاقتراب تؤثر على قيمة النهايه عندها نقول إن النهايه غير موجوده
طبعا على خط الاعداد الحقيقيه مانقدر نقول اكثر من يمين ويسار بالتالي يمكننا التكلم عن التعريف التالي
1-لتكن f   معرفه على الفتره (a,c)   نقول إن العدد الحقيقي L   هو النهايه اليمني للداله f   عند a   اذا كان لكل   يوجد      بحيث

ونرمز للنهايه اليمني بـ


2-لتكن الداله f   معرفه على الفتره (c,a)   نقول إن العدد الحقيقي  L  هو النهايه اليسرى للداله عند a   اذا كان   لكل   يوجد      بحيث


ونرمز للنهايه اليسرى بـ  
وطبعا من التعريف بجزئيه 1 و 2 يمكن البرهان إن النهايه تكون موجود اذا وفقط اذا تساوت النهايه اليمنى مع اليسرى
النهايه عند المالانهايه
مبرهنه


مبرهنه
1-اذا كان n  عددا زوجيا فان  
2-اذا كان n   عددا فرديا فان

أغسطس 14, 2006, 11:53:39 مساءاً
رد #11

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
محاضرات في التفاضل والتكامل
« رد #11 في: أغسطس 14, 2006, 11:53:39 مساءاً »
مبرهنه
ا-

ب-  

ج-  

د-  

الاتصال

تعريف
لتكن I  فتره مفتوحه تحوي a ولتكن f داله معرفه على I نقول ان f متصله عند a اذا
كان:
1-    موجوده
2-  

وهنا تنتهي محاضرة اليوم وان شاء الله يوم الاربعاء الامثله والتمارينوكذلك ساحكي لكم حكايه جميله  '<img'>
مع التحيه
مازن

أغسطس 17, 2006, 11:57:22 مساءاً
رد #12

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
محاضرات في التفاضل والتكامل
« رد #12 في: أغسطس 17, 2006, 11:57:22 مساءاً »
السلام عليكم
ملحق للمحاضره السابقه
مثال
احسب



الحل


مثال
اثبت إن


الحل


مثال
احسب



الحل


احسب النهايه



الحل


مثال
اذا كانت


فاحسب


الحل
لاحظ إن 2   لاتنتمي إلى مجال الداله ومن ثم لانستطيع استخدام المبرهنات بالاعلى اما اذا كانتx   لاتساوي 2 فان



مثال
اثبت إن



الحل بما إن

وطبعا باعتبار إن x  اكبر او تساوي الصفر والمعالجه شبيه في الحاله الاخرى اذا


باخذ النهايه نحصل على



بالتالي



مثال
احسب


الحل


احسب


الحل


تمارين



2-اذا كانت P(x)  كثيرة حدود فان


3-استخدم المتباينتين التاليتين



لاثبات إن



الى هنا تنتهي المحاضره الرابعه ويوم السبت لنا ان شاء الله لقاء مع بداية المشتقات ونقاش اولي فيها
مع التحيه
مازن

أغسطس 18, 2006, 12:37:17 صباحاً
رد #13

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
محاضرات في التفاضل والتكامل
« رد #13 في: أغسطس 18, 2006, 12:37:17 صباحاً »
تطبيق على النهايات
حكاية  '<img'>
نقول حكايه رقم واحد على العدد باي
العدد باي هو اشهر عدد متسامي (لاحقا نفسر معنى متسامي) عرفه الانسان لكثرة تطبيقاته فالعدد او النسبه باي (لفظه تقريبيه تطلق عليها خطأ) قد حيرت الرياضيين حقبا طويله من الزمن لمعرفة قيمتها بالظبط ولم تحل المشكله الا في القرن التاسع عشر عندما اثبت انه عدد متسامي لاينتهي تمثيله العشري ابدا.
اما باي كمفهوم فهو معروف من قديم الزمن فهو يمثل النسبه بين محيط الدائره وقطرها وهي نسبه ثابته لا تتأثر بطول القطر وكان المصريين القدماء والبابليون على علم بقيمتها التقريبيه منذ 2000 سنه قبل الميلاد فقد وجدوا برديه تخص الاخ احمس الذي عاش في حوالي 1650 قبل الميلاد تذكر المساله رقم 50 ان مساحة حقل دائري قطره 9 وجدات تكافيء مساحة مربع طول ضلعه 8 وحدات اي ان


وننه تكون باي=3.16046 تقريبا ويشيد المؤرخون بدقة القرب هذه وان كانو يذكرون النسبه البابليه كقيمه ادق وهي 3.125  والحقيقه ان مسألة احمس توضيحيه فقط وتنم عن ملاحظه اراد الكاتب ابرازها  فمن المعروف ان المصريين القدماء عرفوا ان باي تقع بين

اي بين النسبه البابليه والعدد الذي يبستخدمه الطلاب في المدارس 22 على 7 كأسهل عدد نسبي قريب من باي
والعالم الاغريقي ارشميدس هو اول من استخدم فكرة النهايه في الحسابات الرياضيه  عندما اورد طريقه لحساب باي بأي دقه نريدها
تعتمد طريقة ارشميدس باحاطة دائره من الداخل والخارج بمسدسين (سداسي الاضلاع)
كل منهم متساوي الاضلاع فاذا كان نصف قطر الدائره هو R  ففي الحاله العامه لكثر الاضلاع n

طول نصف الضلع الخارجيAD>طول القوسAB>طول نصف الضلع الداخلي BC
اي ان



 منه



ويلاحظ القاري انه برزيادة n والتعويض



ونفس الشيء يحدث للطرف الايمن بالتعويض  

وثم استخدام نظرية الانضغاط
ويؤول كلا الطرفين الى العدد باي
والغريب ان ارشميدس لم يحسبها في حالة n=6 فقط والتي بدأت تعطي

بل زاد من القيم طلبا للدقه
وتعاقب الرياضيون في حساب قيمة باي وتمكن جمشيد الكاشي من حساب النسبه
3.1415926535897932
وفي القرن السابع عشر حسب الاوربيون الى 35 عدد صحيح
لكن السؤال المهم ماهو طبيعة هذا العدد الساحر الذي خلب عقول الرياضيين قروننا عديده هل هو عدد جبري اي يمكن ان يكون جذر لكثيرة حدود من درجه معينه هذا هو السؤال الذي طرحه اويلر وهو الذي جعل الرياضييون ينشطون في البحث عن الاجابه واستطاع لامبرت سنه 1767 ان يثبت انه اذا كان x عدد نسبي فان tanx عدد غير نسبي والعكس صحيح وحيث ان  ينتج ان باي عدد غير نسبي
السؤال التالي هل باي جبري ام غير جبري؟
ولقد استطاع ليندرمان عام 1882 بناء على برهان لعالم الفرنسي هرميت في كون العدد e  متسامي ولايمكن ان يحقق معادله جبريه مساويه للصفر
وباستخدام هذه الحقيقه وعلاقة اويلر الشهيره اثبت الرائع ليندرمان ان باي لايمكن ان يكون جبري  فهو اذن عدد متسامي
الى هنا تنتهي قصة باي
وموعدنا ان شاء الله مع قصه اخرى
سأحاول ان ارفق لكم رسمه تفيد في طريقة ارشميدس متى ماتمكنت من رسمها تمام
مع التحيه
مازن

أغسطس 19, 2006, 11:25:22 مساءاً
رد #14

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
محاضرات في التفاضل والتكامل
« رد #14 في: أغسطس 19, 2006, 11:25:22 مساءاً »
السلام عليكم
كيف حالكم جميعا
طبعا اليوم نقول
المحاضره الخامسه

الاشتقاق ومدخل له وما ادراك ما الاشتقاق
طبعا تعريف المشتقه له مدخل هندسي ومدخل تحليلي طبعا المدخل التحليلي اقوى بلاشك
لانه مبني بشكل قوي جدا جدا
طبعا نحن سوف نعتمد المدخل الهندسي لتقريب المفهوم الى اذهاننا واتضاح الصوره ولو ان الرسومات معي غلبتني ولم استطع تنزيلها مع انها معي على usb
نبدأ
تعريف المشتقه
المشتقه تعبر عن الحركه الدائبه لقيم داله خلال فترة عملها فاذا كانت f   في تزايد مستمر كما في الشكل 1 طول فترة عمل f   ولتكن الفتره المفتوحه (a,b)    كان ذلك يعني إن لاي نقطتين x1,x2   داخل فتره


فيكون الكسر



موجبا وهو يساوي ظل الزاويه الحاده   من الرسم أي ميل الخط المستقيم الواصل بين النقطتين p1,p2  ويكون سالبا اذا كان

وهو يعبر عن التناقص المستمر في f   كما إن قيمة الكسر له دلاله ايضا فكلما كانت كبيره دل ذلك على إن معدل تزايد الداله كبيرا في حالة الاشارة الموجبه وكلما صغرت في حالة الاشارة السالبه دل على إن معدل تناقص الداله كبيرا.
وقد حاول الرياضيون استخدام قيمة الكسر للدلاله على معدل التغير للداله فقاموا اولا بالتخلص من عيب الصيغه السابقه التي تتوقف على النقطتين x1,x2   عن طريق تعريف لمعدل التغير عند نقطه واحده a   واسموه مشتقة الداله ورمزوا له بالرمز     وهو رمز لابنتز او    )   وهو رمز نيوتن
وقد تغلبوا على المشكله الجبريه الخاصه بمعدل التغير هذا عند a  عن طريق حساب القيمه    



التي تتوقف بداهه على اختيار النقطه x   عندما تقترب  x   من a   حتى يكون هناك قيمه واحده لذلك المعدل وعلى ذلك
تعريف:
تعرف المشتقه    عند نقطه    من احدى الصورتين المتكافئتين



بشرط وجود النهايه
وتمثل الصيغتان من الرسم 2 ميل المماس عند نقطه p   وتسمى f   في هذه الحاله قابله للاشتقاق والصوره التاليه الاكثر شيوعا وبالذات اذا اعتبرت من المشتقه عند أي نقطه x   فتكتب


وتمثل h   مقدار التغير في المتغير x   ويرمز له بالرمز    وتحسب المشتقه    بايجاد النهايه على اساس اقتراب x   من a   او h  من الصفر  فاذا كانت النهايه موجوده دل ذلك على إن النهايتين من جهة اليمين واليسار موجودتان بناء على معلومات نظريه لاتهمنا كثيرا هنا
تعريف:
تعرف المشتقه    من جهة اليسار عند   بانها


بشرط وجود النهايه وتعرف المشتقه   من جهة اليمين عند نقطه     بأنها



وبذلك نصل للنتيجه التاليه
للداله f   مشتقه عند نقطه a اذا وفقط اذا كان


ويقال لمنحنى داله انه املس او ناعم او ممهد اذا كان قابل للاشتقاق عند كل نقطه في مجال الداله (هل لديك تفسير عن سبب التسميه؟)