بسم الله الرحمن الرحيم
وبه نستعين
الفترات
اشهر المجموعات جميعا وتمثل اجزاء مستقطعه من مجموعة الاعداد الحقيقه ولذا فهي مجموعات غير منتهيه تمثل عناصرها القيم التي ياخذها المتغير داخلها وقد تكون الفترات مغلقه اذا احتوت النقط الطرفيه لها ومفتوحه اذا كانت عكس ذلك ونرمز للطرف المغلق بالرمز [ ] بينما الطرف المفتوح ( ) طبعا من جهة كان الانفتاح او الانغلاق
فمثلا لو قلنا
(5,8]
هذه معناها فتره مغلقه من اليسار مفتوحه من اليمين أي إن العدد 5 يدخل ضمن الفتره بينما العدد 8 لايدخل
مثال اخر
(5,9)
هذا معناها فتره مفتوحه من الطرفين أي إن العدد 5 والعدد 9 لايدخل ضمن المجموعه انما العدد الذي يلي 5 يدخل ضمن الفتره والعد الذي يسبق 9 يدخل في الفتره وطبعها الاعداد الحقيقيه كثيفه جدا ويمكن فالاعداد النسبيه كثيفه داخل الاعداد الحقيقيه لذلك من الصعب تحديد العدد بل من المستحيل لذلك نكتفي بالقول إن العدد 9 او 5 لايدخل فقط
طبعا لو حصل وكان لدينا الفتره تحوي في احد طرفيها الكميه اللانهائيه فانها تكون مفتوحه لان الكميه لانهائيه ليست عدد بحد ذاته لذلك من الصعب التكلم عن انتمائها إلى فتره مثلا
وهكذا
طبعا يمكن تعميم العمليات الجبرية على الفترات
1-2 الدالة
1-مفهوم الدالة
لرياضي القرن التاسع عشر كان كلمة داله تعني علاقة رياضيه محدده كان نقول
بحيث تنسب لكل قيمه x قيمه وحيده f(x) والتي بمقتضاها يمكن تمثيل الداله بيانيا لكنه لوحظ مع تعدد الامثله واختلاف انماطها اننا نفاجأ احيانا بالاتي
1-ليست لكل قيمه x توجد قيمه f(x) معرفه كما في العلاقه
والتي تكون قيمة الداله غير معرفه عند الصفر
2-ليست لكل قيمه حقيقيه x توجد قيمه حقيقيه f(x) كما في العلاقه
3-قد تمثل الداله f(x) بصيغ مختلفه باختلاف مكان وقوع x كما في الحاله
التي تكافيء العلاقتين y=x للقيم
و y=-x للقيم x<0
انظر الرسمه بالاسفل لهذه الدوال
لذلك حاول الرياضيون تلافي هذه العيوب بتعريف دقيق للداله f يفرقها عن القيمه f(x) ونسوقه كالتالي
تعريف الداله
الداله f هي قاعده للاقتران تحدد لكل عنصر x في مجموعه جزئيه D من A عنصرا وحيدا y في المجموعه B
f:DB
بينما نكتب y=f(x) للدلاله على إن العنصر y هو تلك القيمه التي تنسبها الداله f للعنصرx او هو صورة x تحت التحويل f وتسمى D مجال الداله وهي مجموعة القيم التي يسمح للمتغير x إن ياخذها بينما تسمى المجموعه
بمدى الداله وتكتب R(f)
حلو جدا جدا
بهذا التعريف نكون تلافينا المشاكل فكون x تقابلها قيمه y محدده جعلنا هذا نتلافى المشكله 1 , وحيث إن x تاخذ قيما بعينها فقط يجعلنا نتغلب على المشكله 2 , اما المشكله 3 فتحل ايضا لانه يسمح بالتعريف المتعدد للداله على مجموعات جزئيه من مجالها طالما لايقطع أي خط مستقيم راسي المنحني y=f(x) في اكثر من نقطه
طبعا عندنا حريه بتعريف المجال لداله مثلا الداله
نستطيع إن نعرفه على R كامله
طبعا كما وعدتكم سابقا اني سوف اتكلم ببساطه لذلك لن اتعمق اكثر من ذلك
جد المجال والمدى للداله f اذا كان
الحل
القيم التي ياخذها المتغير x هي كل الاعداد الحقيقيه وبناء على ذلك يكون Df=R بينما دائما
f>0 او تساويه لكل المتغيرات بالتالي المدى يكون
الحل
القيم التي يمكن التعويض بها هل كل الاعداد الحقيقيه ماعدا اصفر المقام بالتالي يكون المجال هو جميع الاعداد الحقيقيه ماعدا (1-) ولحساب مدى الداله يكون لدينا
اي ان x غير معرفه عند القيمه y=1 بالتالي المدى هو كل الاعداد الحقيقيه ماعدا العدد واحد
الحل
قيم x التي يمكن التعويض بها هي التي تحقق المتباينتين التاليتيين معا(سوف نتكلم لاحقا عن المتباينات)
حتى تكون الداله حقيقيه بالتالي يكون المدى هو الفتره
Df=[0,4
وحيث انه لكل x تنتمي للمجال فان الداله غصبن عنا لازم تحقق المتباينه
بالتالي يكون مدى الداله هو
الحل
هذه مجالها الاعداد الحقيقيه لكن ماهو مداها
عريف
اذا كانت f , g دالتين فاننا نعرف المجموع والفرق وحاصل الضرب وخارج القسمه كالتالي
طبعا يكون المجال في الحالات الثلاث الاولى هو تقاطع مجال الدالتين اما في الحاله الاخيره فهو التقاطع باستثناء النقط التي تكون عندها g(x)=0
مثال لو كان لدينا
اذا
[/QUOTE][/QUOTE]
-صفات هندسيه
من الصفات الهندسيه صفة التماثل وهي التي تتمتع بها الدوال الزوجيه أي إن منحنى الداله يكون متماثل حول محور الصادات اذا كانت الداله تحقق
f(-x)=f(x)
بينما يكون المنحى متماثل حول نقطة الاصل اذا كانت الداله فرديه أي تحقق
f(-x)=-f(x)
ومن الصفات المهمه كذلك صفة الاطراد وهي إن تكون الداله على تزايد مستمر او تناقص مستمر مع تزايد قيمة x في كل حاله ومن الامثله على الدوال المتزايده باطراد
طبعا ليس من الضروري إن تكون الداله زوجيه او فرديه او تزايديه او تناقصيه ومثال ذلك
فهذه لازوجيه ولافرديه ولا متزايده ولا متناقصه
3-الدوال الاوليه
طبعا هناك دوال كثيره من اشهرها
1-دالة القوه وشكلها
حيث n عدد صحيح موجب و a`s ثوابت
وهناك الداله الكسريه
حيث تكون عباره عن قسمة كثيرتي حدود
وهناك داله جذريه حيث تحتوي على جذور
وهناك الدوال الاسيه وللوغاريتميه والزائديه لكن هذه نتكلم عنها لاحقا
والدوال المثلثيه لكن قبل ذلك نريد إن ناخذ زياره سريعه للداله العكسيه وشروط وجودها
4-الداله العكسيه
لتكن
داله
1-تكون الداله احاديه اذا حققت الشرط
2-تكون الداله f شامله اذا كان مدى الداله هو B اي ان لكل y تنتمى الى مدى الداله نستطيع ايجاد x تنتمى الى المجال بحيث يكون
f(x)=y
3-نسمي الداله تقابلا اذا كانت احاديه (متباينه) وشامله(غامره)
مثال اثبت ان الداله
f(x)=x^3
احاديه وشامله
الحل
لنفرض ان x,y اعداد حقيقيه بحيث انهما غير متساويين
اذن
ومن ثم فان الداله f احاديه كذلك لكل x
بالتالي فان الداله شامله
طبعا على حسب كثرة التمارين يتعود الشخص على سرعة الحل
ليكن لدينا تقابل
بما ان الداله f شامله فانه لكل عنصر y في المدى يوجد عنصر x في المجال على الاقل بحيث يكون f(x)=y وبما ان الداله احاديه فان هذا العنصر وحيد بالتالي نستطيع تعريف داله على الشكل
تعريف
اذا كان الداله
تقابلا فان معكوس الداله
التي تحقق
,ولاحظ ان
كيفية ايجاد المعكوس
اذا كان لدينا داله f تقابل فان الخطوات التاليه تساعدنا على ايجاد المعكوس
1- ضع
2- من تعريف دالة المعكوس نجد ان x=f(y)
3-حل هذه المعادله لايجاد y بدلالة x ان امكن ذلك
مثال
جد معكوس الداله
الحل نحن نعرف ان الداله تقابليه بالتالي ضع x=f(y) ومن ثم فان
وبحل هذه المعادله نجد ان