المحاضرات والدروس العلمية > المحاضرات العلمية
محاضرات في التفاضل والتكامل
G H Hardy:
السلام عليكم
[/U]المحاضره الثانيه
اليوم ننهي التحضير تماما للدخول المحاضره المقبله في النهايات
اليوم سويه سنقوم بدراسه مختصره للاعداد الحقيقيه سوف نقوم بتقدمي ومناقشة نظام الاعداد الحقيقيه وقد يرى القاريء إن معظم مانقوم به هنا جهد ضائع في نقاش واثبات امور بديهيه لكن نود إن نشير إلى مزالق الاكتفاء بالمعرفه الحدسيه فقط فكثير مما هو مقبول حدسا خاطيء
إن الطريق الذي سنسلكه قديم قدم اقليدس ولكنه اضحى الان واسع الاستخدام في كثير من مناحي الرياضيات حيث يقوم الدارس بتقصي نظام رياضي مكون من مجموعه اشياء تحقق خواص مذكوره صراحه تسمى مسلمات او فرضيات ثم ينصرف بعد ذلك إلى توظيف المنطق لوصول إلى نتائج وخواص جديده ولهذا المسلك مزايا عديده فهو محكم وخال من الابهام كما انه اكثر يسرا واقتصاد من غيره
نبدأ بافتراض وجود مجموعه R نسميها مجموعة الاعداد الحقيقيه تحقق اثني عشر مسلمه نبوبها ونفصلها فيما يلي وسنرى إن الاحدى عشرة مسلمة الاولى تعنى بالبناء الجبري لهذه المجموعه وطبعا سيشعر القاريء في انه ملم بها وباثارها اما المسلمه الثانيه عشره فنكهتها مختلفه وهي التي تضعنا في اطار مايسمى بالتحليل الرياضي
لكن هذا ليس موضوعنا الاساسي لكن استخدمت هذا المسلك لانه بنظري اجمل وربط بين الحساب والتحليل في بعض الجوانب السهله
طبعا لو كتب احدهم كتاب بثلاثمائة صفحه لبناء الاعداد الحقيقه ودراستها ربما لايكفي
لكن هي مجرد اساسيات بسيطه والتي هي في متناول يدي
1-مسلمات الحقل
سنفترض وجود دالتين من RxR إلى R يرمز اليهما بالشكل
تسمى الاولى عملية الجمع والثانيه الضرب
سنفترض إن هاتين العمليتين تحققان المسلمات التسع التاليه
م1-
اي ان الجمع ابدالي
م2-
م3-
يوجد عنصر 0 في R يحقق
م4-
-لكل عنصر في R يوجد عنصر في R نرمز اليه بـ -a ويحقق
م5-
م6
يوجد عنصر 1 في R يتلف عن الصفر ويحقق
م7-
لكل عنصر a موجود في R بحيث إن لايساوي الصفر يوجد عنصر اخر يحقق
م8-
م9-
بلغة هل الجبر تقرر المسلمات الاربع الاولى إن الاعداد الحقيقيه وعملية الجمع تكون زمره اما الفرضيات التسع تقرر إن الاعداد الحقيقيه ونظام الجمع والضرب تمثل حقل " ليس زراعي"
ومن هذه المجموعه من المسلمات يمكننا استنباط العديد من الخواص ونقدم هنا مثال
اذا كانت a,b,c اعداد حقيقيه فان
البرهان
افرض إن
من السلمه الرابعه يوجد –a وعليه فان
وهو المطلوب
مسلمات الترتيب
نفترض وجود مجموعه جزئيه غير خاليه من R نرمز لها بـ P تحقق الفرضيات التاليه:
م10-لكل عدد حقيقي a تتحقق واحده من العلاقات التاليه :
م11-
تسمى P مجموعة الاعداد الحقيقيه الموجبه
ونعرف العلاقه < (اكبر من ) بالشكل
ونقول عندئذ إن a اكبر من b او إن b اصغر من a ونكتبها بالشكل b
واذا كانت
فان
وهي مجموعة الاعداد السالبه ومن م10 نحصل على إن
وعندما تكون a>b او تساويها فاننا نكتب
والان
نعرف اصغر عنصر في المجموعه إن وجد بانه ذلك العدد الذي يحقق
كما نعرف اكبر عنصر في A إن وجد بأنه ذلك العدد
الذي يحقق
وقد جرت العاده على الكتابه
باستخدام المسلمات الجديده مع السابقه يمكن اثبات العديد من النتائج
مثال
اثبت خاصية التعدي للعلاقه > أي
البرهان
افرض إن a
G H Hardy:
امثله
اوجد قيمة الحل للمتباينه
الحل
من الخاصيه 4 بالنظريه نحصل على
باضافة العدد 3 لاطراف المتباينه ثم القسمه على العدد 2 نحصل على
وهي المجموعه التي تحقق الحل
مثال:
جد مجموعة الحل للمتباينه
الحل
نكون الان التالي لان المتباينه تتحقق عند الاعداد التي تعطي ناتج موجب كما في الجدول التالي ثم نستنبط ان مجموعة الحل هي
G H Hardy:
تمارين
أ- جد مجموعة الحل للمتباينات التاليه
ب- اذا كانت a,b اعداد حقيقيه فاثبت ان
ج- اثبت ان
د- استخدم الاستقراء الرياضي (خارج نطاق معالجتنا)لاثبات ان
حيث n عدد طبيعي و x اكبر من سالب واحد
هـ- اذا كان كل من a,b اعداد حقيقيه موجبه فاثبت ان جذر العدد 2 دائما يقع بين
و
و-باستخدام المسلمات من 1 الى 9 اثبت انه لكل عددين a,b حقيقين يكون للمعادله
a+x=b
حل وحيد هو
x=b-a
ز- برهن على انه لايوجد عدد نسبي يحقق المعادله
ح-(اختياري جدا) اذا كان وكان a>0 فاثبت ان هناك عدد حقيقي x يحقق
طبعا البرهان الكامل يعتمد على المسلمات التي ذكرنا كامله
انتهت المحاضره
اتمنى ان تكون اعجبتكم
من هنا لساحة النقاش
ساحة النقاش
ومع تمنياتي لكم بقضاء اجمل الاوقات
مع التحيه
روجر بنروز
G H Hardy:
بسم الله الرحمن الرحيم
المحاضره الثالثه
مقدمه للنهايات
خذ في الاعتبار الداله f(x)=2x+1 نتسال سؤالين
1-ماقيمة الداله عندما x=1
2- هل يوجد عدد عدد تكون الداله قريبه منه لكل x قريبه من ولكن لاتساوي العدد 1 ؟
الاجابه عن السؤال الاول سهله حيث f(1)=3 للحصول على اجابه للسؤال الثاني نسب f(x)
لقيم متعدده قريبه من ولكن لاتساوي العدد 1 ثم نحاول تخمين العدد دعونا ننظر للجدول
طبعا من خلال القراءات بالجدول اتوقع إن العدد المطلوب هو العدد 3 طبعا لكتب الان
وتقرأ نهاية الداله f عندما تقترب x من العدد واحد هي ثلاثه
طبعا بالجدول بالاعلى يمكننا كتابة التالي
اذا كان
فان
وكذلك اذا كان
فان
طبعا يمكن كتابة الصيغه بالاعلى تقريبيا على الشكل
فان
طبعا اذا كانت
فان
بالتالي فان
فان
ولو اضفنا الشرط وجعلناx لاتساوي الواحد يمكننا الكتابه عندها
فان
إن الرمزين ابسيلون ودلتا يزوداننا بمعيار للقرب يجعل تعابير مثل تقترب من او تزداد قربا التي وردت في صدر نقاشنا تحمل معنى محدد فالمجموعه
هي مجموعة الاعداد الحقيقيه التي تبعد عن العدد 1 باقل من دلتا ولكن من دون إن تاخذ القيمه 1وهي الاعداد التي يمكننا اعتبارها قريبه من العدد 1 متى ما اتفقنا إن يكون دلتا هو مقياسنا للقرب وكذلك فان المجموعه
هي مجموعه قيم الداله f التي بعد العدد 3 اقل من ابسيلون واذا كانت المتباينه متحققه لكل الاختيارات الموجوده والممكنه لـ ابسيلون فان هذا يجعل قيم الداله f تبعد عن العدد 3 باقل من أي عدد تختاره وهذا مانعنيه بان f تقترب قربا كافيا من العدد 3 ومن هذا الايضاح يمكن ايراد التعريف
تعريف
لتكن I فتره مفتوحه تحوي العدد a ولتكن الداله f معرفه على الفتره فرق العدد a نقول عن العدد الحقيقي L انه نهاية الداله f عند a ونرمز لذلك بالرمز
اذا كان لكل يوجد بحيث إن:
كلما كان
ملحوظات
1-بما إن ابسيلون اختياري ويمكن اختياره صغيرا جدا فان المتباينتين الواردتين في التعريف يمكن قرائتهما على النحو التالي تكون الداله f قريبه قربا كافيا من L عندما تكون x قريبه قربا كافيا من a
2-قيمة الداله عند a لاتلعب أي دور في تعريف النهايه بل اننا لانشترط إن تكون النقطه a تنتمي إلى المجال
3-دلتا الوارده في التعريف ليست وحيده في الواقع اذا كان هناك قيمه لدلتا تحقق التعريف فكل قيمه تحقق المتباينه
تحقق التعريف ايضا
-بالامكان صياغة التعريف للنهايه على الشكل التالي
لكل يوجد بحيث
سنحاول الان ايضاح هذا التعريف باستخدام الرسم في الشكل
لدينا بيان داله f المعرفه على الفتره المفتوحه تحوي نقطه a دون الاصرار على تعريفها عن a
ليكن أي عدد تعطينا فتره مفتوحه حول L في محور y والمستقيمان الافقيان يقطعان بيان الداله y=f(x عند نقطتين احداثيهما x0,x1 , ونلاحظ انه اذا كان فان الان عندما تقترب x من a فان x تقع بين x0 وx1 بالتالي في الغالب لن تكون a مركز للفتره (x_0,x_1)
ونختار \delta على انها اقل العددين a-x_0 , x_1-a أي إن دلتا هي اقصر المسافتين بين a وطرفي الفتره (x_0,x_1) ونلاحظ إنه اما
كما في الشكل او
وفي كلتا الحالتين في انه اذا كانت فانها تحقق
وبالتالي
أي إن
G H Hardy:
طبعا نضيف الان مثالين على هذا الكلام وانا قصرت في المحاضره بسبب ان بعض الاخوه اقترح التقصير ولكن لتدارك الوضع سوف اضيف محاضره اخرى يوم الاثنين حتى يوم الاربعا نخلص تماما النهايات وندخل الاسبوع القادم في المشتقات
طبعا اليوم لن اطرح تمارين لان ايجاد النهايه بالتعريف يرافقه نو من الصعوبه وخصوصا عندما تكون الدوال مثلثيه او كثيرات حدود من الدرجه الثانيه فما فوق لكن سوف نعطي نظريات المحاضره القادمه تعالج لنا مثل هذه الحالات دون اللجوء الى التعريف
مثال 1.
اثبت ان
الاثبات
هنا L=3 و a=2
علينا ان نثبت انه كلما اعطينا قيمه ابسيلون اكبر من الصفر فانه يوجد عدد دلتا بحيث
كلما كانت
اي انه
كلما كانت
لايجاد دلتا نكتب المتباينه على الصوره
وهو الشكل الذي يرد في المتباينه 2
علينا الان ان نختار دلتا بحيث ان المتباينه 3 تتحقق كلما تحققت المتباينه 2 وهذا يمكن باختيار
ولاثبات ان هذه القيمه تحقق التعريف نفرض ان x تحقق المتباينه 2 وبما ان فان
وعليه فان المتباينه 3 تتحقق وهذا يثبت ان
طبعا من المثال نستخلص النهج العام لاثبات النهايات
1-نفرض ان العدد معطى
2-نحاول ايجاد عدد يحقق شرط التعريف وذلك بايجاد علاقه بين دلتا وابسيلون وهنا يمكن الاستفاده من الملاحظه التي وردت بعد التعريف وهو ان قيمة دلتا ليست وحيد وعليه يمكننا وضع قيود على دلتا لتسهيل عملية الحساب
مثال
اثبت ان
الحل
نفرض ان اي
اذا اذا اخذنا نضمن ان يكون x يقع في الجوار (لاتزعجك كلمة جوار) او الفتره وتجعل تقع في الجوار
الى هنا تنتهي المحاضره الثالثه
اذا هناك اي خطأ نبهوني
مع التحيه
مازن
تصفح
[0] فهرس الرسائل
[#] الصفحة التالية
[*] الصفحة السابقة
الذهاب الى النسخة الكاملة