السلام عليكم
ايجاد المساحه تحت منحنى من حساب مجموع والذي اتخذ له حرف s بعد مده طبعا
كان الشائع ان المساحه هي الفارق بين منحنى المشتقه العكسيه عند اطراف الفتره المراد حساب التكامل عليها
طبعا ريمان ومن قبله كوشي(على فكره المشتقه العكسيه هي التكامل غير المحدد )اكتشفا ان هذه النظريه صالحه فقط لمجموعه من الدوال مثل الدوال المستمر او التي لها مشتقه عكسيه في فترة التكامل بينما هناك دوال كثيره يمكن ايجاد تكاملها ولا تتمتع بهاتين الخاصيتين وهي الدوال التي اسماها ريمان الدوال القابله للتكامل فمثلا الداله
=y=\{{\frac{|x|}{x} \ \ , x\no=\atop 0 \ \ , \ x=0}\. )
قابله للتكامل على اي فتره تحوي النقطه x=0 بمفهوم ريمان الذي سنعرضه بعد قليل
طبعا لتكن f داله منطلقها [a,b] وليكن
تجزئه للفتره معينه بالمجموعه
بنظيم ||p|| ولتكن
زياده لهذه المجموعه نرمز لمجموع ريمان (نفس الكلام بالاعلى مصاغ بطريقه اكثر ترتيب)
= \sum\limits_{i=0}^nf(t_i)\Del x_i )
ونؤكد بشده انه لايمكن اعتبار
 )
حدا عاما من متتاليه ان اختيار قيمه معينه n لايعني بشكل وحيد قيمة
وذلك لانه من اجل قيمه معينه للعدد n يوجد عدد غير منته من التجزيئات الممكنه الى n فتره جزئيه كما يوجد عدد غير منته من الزيادات لكل واحده من هذه التجزيئات لذا لايمكننا ان نتكلم عن نهاية
عندما يزداد n الى مالانهايه بنفس معنى تعريف نهاية متتاليهط
=b )
تعريف التكامل المحددلنفرض ان f داله يحوي منطلقها الفتره المغلقه [a,b] حيث a
من اجل كل
يوجد عدد
بحيث يكون
-I|<\eps )
وذلك من اجل جميع التجزيئات وجميع الزيادات بنظيم
فاننا نسمي هذا العدد الوحيد(يمكن البرهان لكن بخلفيه اعلى على ذلك)تكامل ريمان المحدد للداله f على الفتره [a,b] وعندما يوجد مثل هذا العدد نقول ان الداله قابله للتكامل ونرمز لهذا العدد بالرمز
dx )
اي ان
dx )
ونسمي العدد a الحد الادنى للتكامل و b الحد الاعلى للتكامل والتكامل الذي اتينا على ذكره يسمى تكامل ريمان لتمييزه عن انماط اخرى من التكاملات مثل تكامل ريمان-ستيجلز او تكامل لبيق ومن الان وصاعدا عندما نقول تكامل فاننا نعني تكامل ريمان
طبعا دعونا جانبا قليلا نفكر بسلوك النظيم
نحن نعرف ان النظيم عندما يؤول الى الصفر هذا يعني ضمنيا ان عدد التجزيئات يكبر بدون حدود بالتالي يمكن تعريف صيغه مكافئه لتكامل ريمان لكن نريد الابقاء على هذه الصيغه حتى نقوى على البرهنه على خواص التكامل
طبعا نعرف
dx=0 )
ونعرف كذلك
dx=-\Bigint\limits_{b}^af(x)dx )
خواص التكامل المحدد
ان للتكاملا خواص مهمه تجعل منه اداة فعاله في تطوير الرياضيات وتطبيقاتها
مبرهنه 1
اذا كانت f و g دالتين قابلتين للتكامل على [a,b] فان
+g(x)]dx=\Bigint\limits_{a}^bf(x)dx+\Bigint\limits_{a}^bg(x)dx )
البرهان : من المعلوم ان f , g دالتين قابلتين للتكامل فاذا كان
عددا اختياريا موجبا فانه يوجد عدد
بحيث يكون
-\Bigint\limits_{a}^bf(x)dx|<\eps/2 )
بنفس الشروط مهما كانت التجزئه والزياده بشرط ان يكون
كما يوجد
بحيث يكون
-\Bigint\limits_{a}^bg(x)dx|<\eps/2 )
مهما كانت التجزئه بشرط ان يكون
اذن
=\sum\limits_{i=0}^n[f(t_i)+g(t_i)]\Del x_i \\ =\sum\limits_{i=0}^nf(t_i)\Del x_i+\sum\limits_{i=0}^ng(t_i)\Del x_i \\ =S(f \ , \ P_n \ , \ T_n)+S(g \ , \ P_n \ , \ T_n) )
ولذلك اذا كان
اصغر العددين
فان
-(\Bigint\limits_{a}^bf(x)dx+\Bigint\limits_{a}^bg(x)dx)| \\ =|s(f,P_n,T_n)-\Bigint\limits_{a}^bf(x)dx+s(g,P_n,T_n)-\Bigint\limits_{a}^bg(x)dx| \\ \le =|s(f,P_n,T_n)-\Bigint\limits_{a}^bf(x)dx|+|s(g,P_n,T_n)-\Bigint\limits_{a}^bg(x)dx| \\ \le\eps/2+\eps/2=\eps )
مهما كانت التجزيئات والزيادات شرط ان يكون النظيم اقل من
, وينتج من ذلك ومن تعريف التكامل ان
dx+\Bigint_a^bg(x)dx=\Bigint_a^b[f(x)+g(x)]dx )
الخاصيه الجمعيه للتكامل
اذا كانت الداله f متصله على فتره تحوي الاعداد a,b,c عندئذ يكون
dx=\Bigint_a^bf(x)dx+\Bigint_b^cf(x)dx )
ان برهان هذه الخاصيه يتطلب النظر في سلوك المجموعs الامر الذي هو اعلى من مستوانا الحالي لكن سوف ابرهن لكم الطرف الايمن الى الايسر
البرهان
بما ان f متصله فالتكاملات الثلاثه موجوده نبرهن الان الحاله a
ليكن
اي عدد موجب بما ان
dx )
موجود فحواصل جمع ريمان للداله f على [a,c] تتجمع حول التكامل وهذا يعني وجود عدد
بحيث ان كل حاصل ريمان
للداله f على الفتره المذكوره مبني على تجزيء معياره اقل من
يقع في الجوار
dx-\eps/3\ , \ \Bigint_a^cf(x)dx+\eps/3 )
اي ان
dx-\eps/3R_{ac}<\Bigint_a^cf(x)dx+\eps/3)
الذي يدل
dx|<\eps/3 )
بالمثل يمكن اثبات انه يوجد عددين
بحيث تتحقق المتباينتين التاليتين على التوالي
dx|<\eps/3 \\ |R_{bc}-\Bigint_b^cf(x)dx|<\eps/3 )
لتكن
اقل الاعداد السابقه اختر تجزيئين معيار كل منهما اقل من
ليكن
حاصلا جمع ريمان للدالهf على الفترتين [a,b],[b,c] للتجزيئين المشار اليهما
حاصل الجمع لهما هو حاصل جمع ريمان للداله
للداله f ويكون
ولكل حواصل جمع ريمان هذه مع المتباينات بالاعلى تظل صحيحه للعلاقه الاخير بالتالي
dx|+\Bigint_b^cf(x)dx|-\Bigint_a^cf(x)dx \\ =[R_{ac}-\Bigint_a^cf(x)dx]-[R_{ab}-\Bigint_a^bf(x)dx]-[R_{bc}-\Bigint_b^cf(x)dx] )
القيمه المطلقه لحاصل جمع او فرق اعداد اقل من او يساوي حاصل جمع القيم المطلقه وبناء على ذلك وبالاستفاده مما سبق يكون
dx|+\Bigint_b^cf(x)dx|-\Bigint_a^cf(x)dx| \\ \le|R_{ac}-\Bigint_a^cf(x)dx|+|R_{ab}-\Bigint_a^bf(x)dx|+|R_{bc}-\Bigint_b^cf(x)dx| \\ <\eps/3+\eps/3+\eps/3=\eps )
العدد الاول الممثل من الشطر الاول من المتباينه ليس سالبا والمتباينه اقل من كل عدد موجب
فهو يجب ان يكون صفرا ومن ثم يكون
dx+\Bigint_b^cf(x)dx-\Bigint_a^cf(x)dx=0 )
وصلى الله بارك
مبرهنه
اذا كانت f قابله للتكامل على الفتره [a,b] وكان f اكبر او تساوي الصفر على كل الفتره فان
dx )
وطبعا لو كان لدينا على نفس الفتره دالتين f و g قابلتين للتكامل وكان f>g او تساويه يكون
dx\le\Bigint_a^bf(x)dx )
طبعا المحاضره القادمه سوف نتكلم عن مواضيع اخرى
مع التحيه
