المحاضرات والدروس العلمية > المحاضرات العلمية
التكامل-الطول-المساحه
G H Hardy:
بسم الله الرحمن الرحيم
طبعا في هذا الفصل سوف نعرض مفهوم تكامل ريمان ونتحدث عن اهم خصائصه ومن المؤكد إن لدى القاري بعض الالمام من دراسته السابقه بهذا المفهوم
لقد برز مفهوم تكامل ريمان على الرغم من بعض مظاهر التعقيد التي تلازم تعريفاته من حاجتنا للتصدي لمساله بسيطه وحدسيه وهي مسالة تعريف وحساب المساحات للاشكال الهندسيه في المستوى فمن مباديء الهندسه الاوليه نستطيع إن نحصل على قوانين لمساحات الاشكال الاوليه كالمستطيلات غير اننا نستطدم بمشكلات عويصه اذا كان الشكل محدود بمنحنيات بدلا من مستقيمات ولقد كان اول من قام بحساب مساحات مثل هذه الاشكال هو ارخميدس الذي نجح في حساب المنطقه المحصوره بين القطع المكافي y=x^2 ومحور السينات والمستقيم x=1 عن طريق تقريب المساحه بمضلعات وهي ذات الفكره التي يبنى عليها تكامل ريمان نسبه إلى الرياضي الالماني العظيم برنارد ريمان
(1-1) التجزئه , النظيم والزياده
سنعرف في هذا البند بعض المفاهيم والمصطلحات التي سوف نستخدمها عند تعريف التكامل المحدد وسنستخدم هذه المفاهيم بالارتباط مع الفتره المحدوده والمغلق
او على التمثيل البياني لهذه المجموعه على مستيم الاعداد
إن تجزئة فتره مغلقه [a,b] هي مجموعه من الفترات المغلقه
تتمتع بالخواص التاليه
تسمى كل فتره من تجزئة [a,b] فتره جزئيه للفتره [a,b]
ومن الواضح إن أي تجزئه تتعين بالاعداد التي تمثل نقاط نهايات الفترات الجزئيه بهذه التجزئه فالتجزئه التي تتكون من n فتره جزئيه تتعين اذن بـ n+1 عددا
حيث
وحيث إن
إن الرمز يستخدم للتجزئه المعينه بهذه المجموعه المكونه من n+1 عددا أي:
واذا كانت تجزئه للفتره [a,b] فاننا نسمي اكبر الاعداد
بنظيم التجزئه او معيار التجزئه ونرمز له بالرمز او
او أي رمز اخر المهم إن نعرف إن النظيم هو طول اطول الفترات الجزئيه طبعا حتى نوضح دعونا نقول
فانه ينتج من التعريف هذا إن
واقول واكرر يكون النظيم ||p|| للتجزئه بيانيا هو اطول الفترات الجزئيه في بيان التجزيء P_n
طبعا لن نتكلم عن تنقيح التجزيء وزيادة دقته
اذا كان تجزي للفتره [a,b] فاننا ندعو زيادة هذه التجزئه ونرمز لها بالرمز مجموعه مكونه من n عدد ننتقيها من الفترات الجزئيه بحيث ناخذ من كل فتره عددا واحدا أي انها مجموعه من الاعداد
بحيث يكون
ومن المهم ايضا إن نلاحظ انه من اجل فتره معينه [a,b] وعدد صحيح موجب n يوجد عدد غير منته من التجزيئات التي يحوي كل منها n فتره جزئيه كما يوجد لكل واحده منها عدد غير منته من الزيادات ذات n عنصرا ونقول بشكل اخر إن تعيين فتره [a,b] وعدد صحيح موجب n لايحدد بشكل وحيد تجزئه لهذه الفتره كما إن تعيين التجزئه لايحدد بشكل وحيد زياده لها
G H Hardy:
التكامل المحدد
*مجموع ريمان
لتكن f داله معرفه على فتره مغلقه لنجزيء هذه الفتره الى n فتره جزئيه بالنقاط
المحققه للشرط
نعرف التالي
لتكن f داله معرفه على الفتره [a,b] ولتكن P تجزي لهذه الفتره نعرف مجموع ريمان لهذه الداله من اجل تجزئ للفتره المذكوره ونرمز له بالرمز بالشكل:
حيث t هي عدد اختياري داخل كل فتره جزئيه(سمينا بالاعلى زياده)
تعريف
اذا انتهى مجموع ريمان نحو العدد الحقيقي L وذلك
1-مهما كانت التجزئه P
2-ومهما كان اختيار الزياده داخل الفترات الجزئيه
وذلك عندما ينتهي ||P|| نحو الصفر فاننا نسمي العدد L بنهاية مجموع ريمان للداله f على الفتره [a,b]
نعني وجود عدد لكل عدد اختياري بحيث يكون الاقتضاء التالي محقق
محقق من اجل كل تجزئه P على الفتره [a,b] تحقق الشرط ومن اجل اي اختيار للاعداد t داخل الفترات الجزئيه لهذه التجزئه
مثال اوجد مجموع ريمان للداله f حيث f(x)=2x+1 على الفتره [1,5] علما بان نقاط التجزئه(انا ما ادري وش فيه مره يكتب عربي ومر انجليزي) لهذه الفتره هي 1,1.5,2,3,4.5,5
وان هي منتصف الفترات الجزئيه
الحل
'طيعا الصف الاخير حاصل جمعه هو مجموع ريمان
طبعا المحاضره القادمه سوف نقدم مفهوم التكامل بصيغتين وحده قويه والثانيه اقوى بحيث تساعدنا على برهان الخاصيه الخطيه ثم نفرد محاضره كامله لكي نبرهن ان اي داله متصله قابله للتكامل اذا طلب احد ذلك واذا لم يطلب نكمل النقاش
مع التحيه
مازن
G H Hardy:
السلام عليكم
ايجاد المساحه تحت منحنى من حساب مجموع والذي اتخذ له حرف s بعد مده طبعا
كان الشائع ان المساحه هي الفارق بين منحنى المشتقه العكسيه عند اطراف الفتره المراد حساب التكامل عليها
طبعا ريمان ومن قبله كوشي(على فكره المشتقه العكسيه هي التكامل غير المحدد )اكتشفا ان هذه النظريه صالحه فقط لمجموعه من الدوال مثل الدوال المستمر او التي لها مشتقه عكسيه في فترة التكامل بينما هناك دوال كثيره يمكن ايجاد تكاملها ولا تتمتع بهاتين الخاصيتين وهي الدوال التي اسماها ريمان الدوال القابله للتكامل فمثلا الداله
قابله للتكامل على اي فتره تحوي النقطه x=0 بمفهوم ريمان الذي سنعرضه بعد قليل
طبعا لتكن f داله منطلقها [a,b] وليكن تجزئه للفتره معينه بالمجموعه بنظيم ||p|| ولتكن زياده لهذه المجموعه نرمز لمجموع ريمان (نفس الكلام بالاعلى مصاغ بطريقه اكثر ترتيب)
ونؤكد بشده انه لايمكن اعتبار حدا عاما من متتاليه ان اختيار قيمه معينه n لايعني بشكل وحيد قيمة وذلك لانه من اجل قيمه معينه للعدد n يوجد عدد غير منته من التجزيئات الممكنه الى n فتره جزئيه كما يوجد عدد غير منته من الزيادات لكل واحده من هذه التجزيئات لذا لايمكننا ان نتكلم عن نهاية عندما يزداد n الى مالانهايه بنفس معنى تعريف نهاية متتاليهط
تعريف التكامل المحدد
لنفرض ان f داله يحوي منطلقها الفتره المغلقه [a,b] حيث a يوجد عدد بحيث يكون
وذلك من اجل جميع التجزيئات وجميع الزيادات بنظيم فاننا نسمي هذا العدد الوحيد(يمكن البرهان لكن بخلفيه اعلى على ذلك)تكامل ريمان المحدد للداله f على الفتره [a,b] وعندما يوجد مثل هذا العدد نقول ان الداله قابله للتكامل ونرمز لهذا العدد بالرمز اي ان
ونسمي العدد a الحد الادنى للتكامل و b الحد الاعلى للتكامل والتكامل الذي اتينا على ذكره يسمى تكامل ريمان لتمييزه عن انماط اخرى من التكاملات مثل تكامل ريمان-ستيجلز او تكامل لبيق ومن الان وصاعدا عندما نقول تكامل فاننا نعني تكامل ريمان
طبعا دعونا جانبا قليلا نفكر بسلوك النظيم
نحن نعرف ان النظيم عندما يؤول الى الصفر هذا يعني ضمنيا ان عدد التجزيئات يكبر بدون حدود بالتالي يمكن تعريف صيغه مكافئه لتكامل ريمان لكن نريد الابقاء على هذه الصيغه حتى نقوى على البرهنه على خواص التكامل
طبعا نعرف
ونعرف كذلك
خواص التكامل المحدد
ان للتكاملا خواص مهمه تجعل منه اداة فعاله في تطوير الرياضيات وتطبيقاتها
مبرهنه 1
اذا كانت f و g دالتين قابلتين للتكامل على [a,b] فان
البرهان : من المعلوم ان f , g دالتين قابلتين للتكامل فاذا كان عددا اختياريا موجبا فانه يوجد عدد بحيث يكون
بنفس الشروط مهما كانت التجزئه والزياده بشرط ان يكون
كما يوجد بحيث يكون
مهما كانت التجزئه بشرط ان يكون
اذن
ولذلك اذا كان اصغر العددين فان
مهما كانت التجزيئات والزيادات شرط ان يكون النظيم اقل من , وينتج من ذلك ومن تعريف التكامل ان
الخاصيه الجمعيه للتكامل
اذا كانت الداله f متصله على فتره تحوي الاعداد a,b,c عندئذ يكون
ان برهان هذه الخاصيه يتطلب النظر في سلوك المجموعs الامر الذي هو اعلى من مستوانا الحالي لكن سوف ابرهن لكم الطرف الايمن الى الايسر
البرهان
بما ان f متصله فالتكاملات الثلاثه موجوده نبرهن الان الحاله a
G H Hardy:
اريد ان اذكركم للاهميه
ان العنوان
التكامل-الطول-المساحه
هي عنوان اطروحة الدكتوراه والتي قدمها لبيق وكانت تحتوي اراء جريئه في نظرية التكامل
طبعا مفهوم الطول عندنا بسيط جدا
لكن هناك مفاهيم قياس على فضاءات تبولوجيه ومجموعات فيها تعقيد وهذه هي التي يتكلم عنها لبيق
وطبعا انا معجب جدا بالعنوان فحبيت اقتباسه
طبعا اضع لكم صورة ريمان + لبيق
طبعا هذه رسمه تمثل ماقلنا بالاعلى
فلاحظ ان عدد المستطيلات التي قواعدها الفترات الجزئيه وطولها هي نقاط الزياده بعد ان نعوض فيها بالداله نحصل على مستطيلات كلما نزيد عددها ونصغر قاعدتها تنطبق على المنحنى وتعطينا قيمه للمساحه
مع التحيه
G H Hardy:
مبرهنه
اذا كانت F داله مستمره على فتره [a,b] وكان s وr عددين من نفس الفتره على نحو تحقق فيه f(r و f(s قيمه عظمي وصغرى على التوالي وكان هناك x يقع في الفتره فان
مبرهنه
اذا كانت F داله مستمر على الفتره [a,b] وكانت G داله كنطلقها [a,b] ومعرفه بالشكل
ومن اجل u التي تقع في الفتره المذكوره فان
طبعا هذه نوردها بدون برهان حتى تكون الامور اوضح
هذا جزء الحاقي للمحاضر السابقه ولن نضع عليه تمارين
الان فهمنا فكرة بقي المحاضره السابقه نذكر النظرية الاساسيه في حساب التفاضل والتكامل ونظرية القيمه المتوسطه للتكامل
بعد ذلك نبدأ دراسه للدوال الاسيه واللوغاريتميه والزائديه لكي ندخل في تفاصيل عملية التكامل وطرق حساب التكاملات ان شاء الله
للاسف لم اتمكن من اعطاء محاضره هذا الاسبوع
ولنا محاضره تعويضيه غدا ان شاء الله
مع السلامه
مازن
تصفح
[0] فهرس الرسائل
[#] الصفحة التالية
الذهاب الى النسخة الكاملة