السلام عليكم ورحمة الله وبركاته،
4/مراجعة الحل
حتى أمهر الطلاب عندما يحصلون على الحل ويكتبون خطواته واضحة يميلون إلى إقفال الكراسات والتطلع إلى شيء جديد، وبذا يفقدون ناحية من أهم نواحي الحل وأكثرها افادة. فهم إذا راجعوا الحل بعد أن يكتمل واعادوا النظر في النتيجة وتفحصوها وتمعنوا في الخطى التي أدت بهم إلى هذه النتيجة تزداد معلوماتهم تركيزا ويزدادون مقدرة على حل المسائل.
والمدرس الناجح يعرف ويؤكد لطلابه أن ليس من مسألة يمكن أن يقال أن قد فرغ منها نهائيا، فبعد حلها يبقى دائما شيء يمكن أن يعمل، فبالدراسة الكافية وامعان النظر قد يعدل الحل أو قد يتوصل إلى فهم أعمق.
والآن نفذ الطالب خطته وكتب حله وحقق خطواته، فلديه ملء الحق في أن يعتبر أن حله صحيح. ورغم ذلك فالخطأ مجاله واسع لا سيما حيث ينطوي الحل على حجة طويلة مشعبة. ولذا فالتثبت امر مستحب لاسيما إذا تبدت طريقة حدسية سريعة تستطيع اختبار النتيجة أو الحجة، فعندها ينبغي ألا نتغاضى عن ذلك: أتستطيعون التثبت من النتيجة؟ أتستطيعون التثبت من الحجة؟
ونحن كي نقتنع بوجود شء ما أو بصفة معينة فيه نطلب أن نراه وأن نلمسه.وكما نفضل الاحساس عن طريق حاستين مختلفتين كذلك نفضل الاقتناع عن طريق برهانين مختلفين: هل تستطيعون الحصول على النتيجة بطريقة أخرى؟ والحجة القصيرة البديهية أفضل لا شك من الحجة الطويلة المثقلة الأطراف: هل يمكنك أن تراها بلمحة؟
ومن أول واجبات المدرس وأهمها ألا يتيح لطلابه أن يعتقدوا بأن المسائل الرياضية منفصل بعضها عن بعض ولا رابطة بينها وبين أي شيء آخر.
ولدينا فرصة طبيعية للنظر في ارتباطات المسألة بغيرها عند مراجعة حلها. والطلبة يجدون لذة كبيرة في المراجعة إذا هم بذلوا جهدا حقيقيا وشعروا بأن ما عملوه كان صوابا. فحينئذ تبدو عندهم الرغبة في تلمس ما يمكن أن يستفيدوه من جهدهم هذا وكيف يمكن أن يكون عملهم صائبا في مرات أخرى. فليشجعهم المدرس على تخيل حالات يمكن أن يستغلوا بها طريقتهم أو نتيجتهم: أيمكنكم استخدام النتيجة أو الطريقة في حل مسائل أخرى.
مثال: في القسم السابق توصل الطلاب إلى هذه النتيجة: في متوازي المستطيلات إذا كانت الأحرف الثلاثة التي تلتقي عند ركن واحد أطوالها أ، ب، ج، كان قطره يساوي: جذر(أ^2+ب^2+جـ^2)
أيمكن تحقيق هذه النتيجة؟ ولا يجوز للمدرس أن يتوقع جوابا مرضيا عن هذا السؤال من طلاب خبرتهم ضئيلة. ولكن ينبغي أن يدرك الطلاب من وقت مبكر أن المسائل التي تنطوي على رموز تمتاز عن المسائل العددية الخالصة في أن نتيجة المسألة الرمزية تصمد لاختبارات عدة لا تصمد لها النتيجة العددية. ومثالنا، على بساطته، يكفي لتبيان ذلك. فالمدرس يجد حول النتيجة أسئلة عديدة سرعان ما يجيب عنها الطلاب "بنعم"، أما "لا" فجواب قد ينم عن خلل جدي في النتيجة.
"هل استعملتم كل المعطيات؟ هل تظهر المعطيات أ، ب، جـ، كلها في القانون الذي حصلتم عليه للقطر؟"
"الطول والعرض والارتفاع تلعب دورا واحدا في هذه المسـألة، فالمسألة إذًا متماثلة من حيث الطول والعرض والارتفاع. فهل العبارة الجبرية التي حصلنا عليها للقطر متماثلة من حيث أ، ب، ج؟ هل تبقى بلا تغير إذا استبدلنا أ، ب، جـ، بعضها ببعض؟"
"مسألتنا مسألة في الهندسة الفراغية: إيجاد قطر متوازي المستطيلات الذي أبعاده أ، ب، جـ. وهي تقابل مسألة في الهندسة المستوية هي إيجاد قطر مستطيل بعداه أ، ب. فهل النتيجة التي حصلنا عليها في مسألة الهندسة الفراغية على قياس نتيجة مسألة الهندسة المستوية؟"
"إذا تناقض الارتفاع جـ حتى تلاشى نهائيا يصير متوازي المستطيلات مستطيلا، فإذا جعلتم جـ=صفرا في الفانون فهل ينتج القانون لقطر المستطيل؟"
"إذا تزايد الارتفاع جـ تزايد القطر فهل قانونكم يؤيد ذلك؟"
"إذا تزايدت الأبعاد أ، ب، جـ على نسبة واحدة يتزايد القطر على النسبة ذاتها. ففي قانونكم إذا وضعتم 12أ، 12ب، 12جـ، بدل أ، ب، جـ، على التوالي فطول القطر يلزم أن يتضاعف 12 مرة. فهل يؤيد القانون ذلك؟"
"إذا قيست أ، ب، جـ بالأقدام كان القطر بالأقدام فإذا حولتم جميع الأطوال إلى بوصات لا يختل القانون. فهل هذا صحيح؟"
(لاحظ أن السؤالين الأخيرين متكافئان في الجوهر)
وتترك هذه الأسئلة عدة آثار طيبة، أولها أن الطالب النبيه لا يملك إلا أن يعجب لهذا القانون الذي يصمد لكل هذه الاختبارات. فهو قد اقتنع من قبل بأن القانونو صحيح لأنه بذل كل عناية في استنتاجه، وهو الآن قد ازداد ثقة فيه، وازدياد ثقته أتى عن طريق آخر: طريق "الدليل التجريبي". وبسبب من هذه الأسئلة تتجلى لعناصر القانون قيم جديدة وتترابط به حقائق كثيرة. فهو من أجل ذلك قد يزداد رسوخا في الذاكرة ومعرفة الطالب تزداد تكاتفا. وأخيرا ان هذه الأسئلة يسهل استعمالها في مسائل مماثلة، وبدراسة هذه المسائل المماثلة قد يدرك الطالب النبيه الأفكار العامة الأساسية: استعمال كل المعطيات، وتغييرها والتماثل والقياس. وإذا هو جعل من عادته أن ينتبه إلى مثل هذه الأمور فمقدرته على حل المسائل تزداد بالتأكيد.
هل يمكنك أن تحقق طريقتك؟ إن تحقيق الطريقة خطوة خطوة قد يلزم في المسائل الصعبة و الهامة. وفيما عدا ذلك يكفي المراجعة الدقيقة للخطوات. ففي حالتنا هذه قد يكفي أن نعود إلى مناقشة السؤال الذي تجنبناه قبل الوصول إلى الحل: أتستطيع أن تبرهن على أن المثلث الذي أضلاعه س،ص، جـ قائم؟ (انظر المثال المتعلق بالخطوة السابقة: تنفيذ الحل).
هل يمكنك أن تستفيد من هذه النتيجة أو الطريقة في حل مسألة أخرى؟ مع شيء من التشجيع، وبعد مثال أو مثالين، يصبح من السهل على الطالب أن يجد تطبيقات تنطوي في جوهرها على تفسير ملموس للعناصر الرياضية المجردة في المسألة. ومثل هذا التفسير الملموس لجأ إليه المدرس نفسه عندما حول المسألة من متوازي المستطيلات إلى حجرة الدرس. إن الطالب الذي يقترح كإحدى التطبيقات إيجاد قطر قاعة الطعام بدل حجرة الدرس طالب محدود الذكاء. فإذا لم يبتكر الطلاب مسائل أكثر لماعية فقد يرى المدرس أن يثير هو مسألة جديدة مثل: " أوجد البعد بين مركز متوازي المستطيلات وأحد أركانه إذا أعطيت طوله وعرضه وارتفاعه".
وهنا يستطيع الطلاب أن يستخدموا نتيجة المسألة السابقة إذا هم لاحظوا أن البعد المطلوب هو نصف القطر الذي أوجدوه، أو هو يستطيعون أن يستخدموا طريقتها ببحث مثلثات قائمة مناسبة (والاختيار الثاني أقل خطورا علىالبال وأقل رشاقة في مسألتنا الحاضرة).
بعد هذا يستطيع المدرس أن يناقش أوضاع الأقطار الأربعة لمتوازي المستطيلات والأهرام الستة التي تكون قواعدها وجوه المتوازي ورؤوسها في مركزه واحرفها انصاف اقطاره. فإذا نشط خيال الطلاب الهندسي امكن المدرس أن يعود إلى سؤاله السابق: هل يمكنكم أن تستفيدوا من النتيجة أو الطريقة في حل مسألة أخرى؟ وهنا يكون الطلاب أكثر توفيقا في إيجاد امثلة ملموسة جديدة كهذا:
"يراد إقامة علم ارتفاعه 8 ياردات في منتصف سطح عمارة. فإذا كان السطح مستطيل الشكل طوله 21 ياردة وعرضه 16 وجعلنا قطب العلم ممسوكا بأربعة حبال تبدأ من نقطة تحت رأسه بياردتين وينتهي كل منها عند ركن من أركان السطح، فما طول كل من هذه الحبال؟"
وهنا يستطيع الطلاب أن يستخدموا طريقة المسألة التي سبق حلها فيتخذوا مثلثين قائمين أحدهما في مستوى رأسي والآخر في مستوى أفقي أو هم يستطيعون أن يستخدموا نتيجة المسألة بتخيل متوازي مستطيلات قطره س حد الحبال واحرفه أ=10.5 ، ب=8، جـ=6، وبالتعويض المباشر في القانون ينتج أن س=14.5.
