السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الحلقة الرابعة
تابع: العمليات على المصفوفات
cont. Operation on Matrices
تعريف Def.
ضرب عدد في مصفوفةScalar Multiplication If
and
is an mxn matrix, then :
إذا كان r عددا ينتمي إلى R مجموعة الأعداد الحقيقية،
وكان
مصفوفة من الرتبة mxn، فإن حاصل الضرب العددي Scalar Multiple العدد r في المصفوفة A هو مصفوفة B من نفس الرتبة mxn. حيث:
والمقصود بهذا التعريف أنه إذا أن نضرب عددا في مصفوفة فإننا نضرب هذا العدد في جميع مدخلات المصفوفة. وحينئذ ستنتج بالطبع مصفوفة لها نفس الرتبة ولكن جميع مدخلاتها تختلف عن المصفوفة الأصلية بسبب العدد Scalar الذي تم ضربه في المصفوفة.
مثال Exampleإذا كان
أوجد 5A.
الحل}&{(5\times3)}&{(5\times- 5)}\\{(5\times4)}&{(5\times2)}&{(5\times1)}\\\end{array}}\right]\\\quad=\left[{\begin{array}[{10}& {15} & { - 25}\\{20} & {10} & 5\\\end{array}}\right]\\\end{array})
مثال Example 
جميل جدا هذا المثال انتبهوا له!!
المتجه
هو 3-vector يعرض أسعار ثلاث سلع في متجر ما. فإذا أراد المتجر أن يعمل خصما على السلع بواقع 20% فأوجد باستخدام 3-vector:
(1) مقدار التخفيض في سعر كل سلعة من السلع الثلاث.
(2) السعر الجديد لكل سلعة من السلع الثلاث.
الحل(1) بما أن كل سلعة قد انخفض سعرها بواقع 20% ، وبما أن الأسعار موضحة بالمتجه p فإن مقدار الانخفاض في سعر كل سلعة يبينه المتجه 0.2p الذي هو عبارة عن سعر السلعة الأصلي مضروبا في 0.2 .
18.95} & {(0.2)14.75} & {(0.2)8.60}\\\end{array}}\right]\\\quad\quad=\left[{\begin{array}[{3.79} & {2.95} & {1.72}\\\end{array}}\right]\\\end{array})
وهذا هو مقدار الثمن الذي انخفض من كل سلعة على الترتيب (وقد بينا في الحلقة الأولى أن ميزة المصفوفات هي الحفاظ على الترتيب!!)
(2) السعر الجديد للسلعة هو: سعرها الأصلي مطروحا منه ما خصم منه، أي أن السعر الجديد = p - 0.2p
وهو المطلوب.....
لاحظ: أنه يمكن الحصول مباشرة على السعر الجديد باستخدام المتجه 3-vector التالي:
حيث p-0.2p = 0.8p
ملحوظة لطيفة على الضرب العددي!.لم نذكر طرح المصفوفات عند الحديث عن جمع المصفوفات. وذلك لأن الطرح أقرب إلى الضرب العددي منه إلى الجمع. ويمكنك أن تلاحظ أن A-B=A+(-1)B !.
وهكذا انتهى الحديث عن الضرب العددي. ويأتي الآن دور عملية أخرى لا تقل عنها أهمية.The Transpose of a Matrixنذكر أولا التعريف ثم نقوم بشرحه إن شاء الله.
تعريف Def.If A=[aij] is an mxn matrix, then the nxm matrix
where
إذا كانت المصفوفة A=[aij] مصفوفة من الرتبة mxn فإن المصفوفة من الرتبة nxm
عندما
ويقصد بعملية الـ Transpose أن تحول الصفوف في المصفوفة إلى أعمدة. وحينئذ ستتكون لدينا المصفوفة
نجد المدخل
ولعل ذلك يتضح بالمثال التالي...
مثال Exampleإذا كان لدينا المصفوفة
فأوجد
الحل: طبعا الطريقة لإيجاد الـ Transpose لهذه المصفوفة ........
أن تأخذ أول صف... فتجعله أول عمود
ثم تأخذ ثاني صف..... فتجعله ثاني عمود....................... كما يتضح بالشكل التالي...
وهكذا تنشأ المصفوفة الجديدة
لذا فإن عملية الـ Transpose هي عملية تحويل الصفوف إلى أعمدة.
لاحظ أن المصفوفة A رتبتها 2×3 ولكن الترانسبوز رتبتها 3×2.
ملحوظة لطيفة!في عملية الترانسبوز نحول صفوف المصفوفة إلى أعمدة...، وكذلك الأمر إذا حولنا الأعمدة إلى صفوف.
ويتضح ذلك بالشكل التالي...
ومن الواضح أن النتيجة هي نفس النتيجة....
تقبل الله منا ومنكم...
والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته!
