اهلا
نكمل
بعد ان صرح لي احد الاقراء انه لم يفهم شيء
وهذا شعور طبيعي جدا لانه لو فهم كان ترك موضوعي على جنب
على العموم التكامل يعتمد على القياس والقياس صعب والموضوع يحتاج الى صبر
2-تكامل دوال قابله للقياس وغير سالبه
افرض ان
 )
فضاء قابل للقياس وان
داله قابله للقياس من نظريه(لن اذكرها لانه يكفي تشتيت) توجد متتاليه متزايده
 )
من الدوال البسيطه غير السالبه بحيث
\uparrow f(x) \ \ \for x\in X )
طبعا حنا عرفنا بالمرحله الاولى التكامل لدوال بسيطه الان سنستفيد من هذا في تعريف تكامل دوال غير سالبه وقابله للقياس نعرف
طبعا سابرهن لاحقا ان هذا التعريف حسن
نظريه 5-11
لتكن
قابله للقياس (الان انتبهت اني لم اعطي معيار قابلية القياس لداله) ولتكن fn متتاليه من الدوال البسيطه غير السالبه بحيث
=\lim f_n(x) \ \ \for x\in X )
اذا كانت g داله بسيطه غير سالبه تحقق
فان
نظريه 5-12
دالتين قابلتين للقياس و c>0 فان
d\mu=\Bigint fd\mu+\Bigint gd\mu \\ 2-\Bigint(cf)d\mu=c\Bigint fd\mu \\ 3-f\le g \Longrightarrow \Bigint fd\mu\le\Bigint gd\mu \\ 4-f=g \ a.e(\mu)\Longrightarrow \Bigint fd\mu=\Bigint gd\mu )
ونضيف خاصيه اخرى
 )
سوف ابرهن الاولى
خذ متتاليه
 )
من الدوال البسيطه غير السالبه بحيث
اذا
الان fn+gn داله بسيطه لانها مركبه من دالتين بسيطتين بالتالي
من التعريف نجد
d\mu=\lim\Bigint(f_n+g_n)d\mu \\ =\lim[\Bigint f_nd\mu+\Bigint g_nd\mu] \\ =\lim\Bigint f_nd\mu+\lim\Bigint g_nd\mu \\ =\Bigint fd\mu+\Bigint gd\mu )
مثال
في نحن بالاعلى نقدم التكامل بقياس بشكل عام الان سوف نحسب تكامل داله بالنسبه لقياس العم لبيق
وحسابه ليس باللعبه مع ان الداله التي سوف نحسب لها داله وناسه (يعني داله بايخه)لكن خلونا نشوف كيف نحسب التكامل ونشوف هل تستمر الوناسه ام تتوقف
لتكن
=x \ , \ x\in[0,1] )
احسب
ان وجد
الحل
بما ان f داله متصله اذا فهي قابله للقياس (المعيار الاول الدوال المتصله قابله للقياس) نعرف تكاملها على فضاء قياس (هذا المفهوم قبل 100 سنه مطور والله المستعان)
,\cal L) )
(لاتنسوا قياس لبيق هي القياس المستخدم هنا) كما يلي
حيث fn هي متتاليه الدوال البسيطه غير السالبه التاليه (الشكل التالي شكل ميسر وممتاز للاستخدام كما انه يمكن تعريف شكل اخر)
= \sum\limits_{i=1}^{n2^n}a_i\Im_{A_i}+n\Im_{A_{(n+1)}} )
حيث
) \\ =[\frac{i-1}{2^n},\frac{i}{2^n}) )
لكل i=1,2,.....2^n
)=[1] )
سؤال لماذا وقفنا عند العدد
ولم نكمل للعدد
لنحسب التكامل كما يلي
=\sum\limits_{i=1}^{n2^n}a_i\cal L(A_i)+n\cal L(A_{n+1}) \\ =\sum\limits_{i=1}^{2^n}(\frac{i-1}{2^n})\cal L([\frac{i-1}{2^n},\frac{i}{2^n}))+n\cal L(1) \\ =\sum\limits_{i=1}^{2^n}(\frac{i-1}{2^n})(\frac{i-}{2^n}-\frac{i-1}{2^n}) \\ =\frac{1}{2^n}\sum\limits_{i=1}^{2^n}(i-1) \\ =\frac{2^n(2^n+1)}{22^{2n}}-\frac{2^n}{2^2n}=\frac{2^n+1}{22^n}-\frac{1}{2^n} )
اذا
اذا
'>
مع التحيه
