علم الرياضيات
تعريف الرياضيات:تعرف الرياضيات على انها دراسة البنية، الفضاء، و التغير، و بشكل عام على انها دراسة البنى المجردة باستخدام المنطق و التدوين الرياضي. و بشكل أكثر عمومية، تعرف الرياضيات على انها دراسة الاعداد و انماطها. البنى الرياضية التي يدرسها الرياضيون غالبا ما يعود اصلها إلى العلوم الطبيعية، و خاصة الفيزياء.
تاريخ الرياضيات:كان الكتبة البابليون منذ 3000سنة يمارسون كتابة الأعداد وحساب الفوائد ولاسيما في الأعمال التجارية ببابل. وكانت الأعداد والعمليات الحسابية تدون فوق ألواح الصلصال بقلم من البوص المدبب. ثم توضع في الفرن لتجف. وكانوا يعرفون الجمع والKUVAJS,PROC JE TO VOBRACENE<ضرب والطرح والقسمة. ولم يكونوا يستخدمون فيها النظام العشري المتبع حاليا مما زادها صعوبة حيث كانوا يتبعون النظام الستيني الذي يتكون من 60 رمزا للدلالة علي الأعداد من 1-60. وطور قدماء المصريين هذا النظام في مسح الأراضي بعد كل فيضان لتقدير الضرائب. كما كانوا يتبعون النظام العشري وهو العد بالآحاد والعشرات والمئات. لكنهم لم يعرفوا الصفر. لهذا كانوا يكتبون 500بوضع 5رموز يعبر كل رمز علي 100.
علماء رياضيات:1) ابن باجة:مؤلفاته:
*تأليف اشراقية
*رسائل ابن باجة الإلهية
مصنفات فى الطب:
*كلام على شيء من كتاب الأدوية المفردة لجالينوس
*كتاب التجربتين على أدوية بن وافد.
*كتاب اختصار الحاوي للرازي.
*كلام في المزاج بما هو طب.
ابن باجة أو ابن باجي ، محمد بن يحيى الصائغ ( ابن الصائغ ) النجيبي السرقسطي . فيلسوف وطبيب ورياضي وفلكي واديب وموسيقي اندلسي . ولد في سرقسطة في اسبانيا في نهاية القرن الحادي عشر الميلادي وقيل مسموما في فاس بالمغرب عام 1138م. نشأ في سرقسطة وعمل وزيرا للمرابطين فيها وفي غرناطة ، ثم هرب من الاخيرة إلى فاس حينما اتهمه الفتح بن خاقان وآخرين بالخروج عن الاسلام . وقيل ان ابن زهير قد سمه في فاس ومات فيها. وقد تأثر ابن باجة تأثرا شديدا بارسطو والفارابي من جهة ، وبالغزالي من جهة أخرى . فتحول عن فلسفة الغزالي التي يهتدي اليها قلب الانسان بذوقه عنده إلى علم نظري قائم على المذهب العقلي . بالاضافة إلى هذا فقد آمن ابن باجة ان للفيلسوف عالمه الخاص الذي يخلو فيه إلى نفسه بعيدا عن كل شيء . وقد أثر ابن باجة في ابن طفيل وابن رشد تأثيرا شديدا ، ثم في اوربا العصور الوسطى عن طريقهما. وكتب ابن باجة شروحا كثيرة على مؤلفات ارسطو والفارابي . ولكن جميع اصول كتبه العربية ضاعت ولم ينتقل الينا منها الا ما ترجم في حينه إلى اللاتينية. واشهر هذه المترجمات ( تدبير المتوحد ) الذي تخيل فيه مدينة لا يشغل اهلها غير ( تدبير ) واحد أو غاية واحدة طريقها العقل فتتحقق لها ولهم السعادة . ويقسم ابن باجة غايات الانسان إلى جسدية وروحانية وعقلية وهذه الاخيرة هي ارقاها. ولابن باجة ايضا ( رسالة الوداع ) التي اهداها لأحد اصحابه وهو على اهبة سفر طويل خشي الا يراه بعده ، و رسالة ( الاتصال ) و ( كتاب النفس ) وكتاب ( الكون والفساد ) ، وكتاب ( رسالة الوداع ) . عرف ابن باجة في الغرب باسم : Avenpace.
مشروعه:
عمد ابن باجة إلى العودة بالفلسفة إلى أصولها الأرسطية خالصة كما هي في كتب أرسطو مبتعدا عن أفكار العرفان و الأفلاطونية المحدثة فكان بذلك أحد أفراد تيار تجديدي أندلسي حاول فصل الأفكار العرفانية التي اختلطت كثيرا بالفكر الإسلامي و الذي بدأ بمشروع ابن حزم الذي عمد إلى تأسيس منهج العودة إلى الأصول و استبعاد القياس في الفقه و استأنف بعد ابن باجه باين رشد الذي عمد إلى فصل نظام البيان الفقهي عن نظام البرهان الفلسفي. بمصطلح آخر فصل الدين عن الفلسفة كأنظمة استنتاجية و ربطهما عن طريق الغايات و الأهداف.
فلسفته:
*في الإنسان
كل حي يشارك الجمادات في أمور, وكل إنسان يشارك الحيوان في أمور... لكن الإنسان يتميز عن الحيوان غير الناطق والجماد والنبات بالقوة الفكرية، ولا يكون إنسانا إلا بها.
*فى منازل الناس
*المرتبة الجمهورية: وهؤلاء لا ينظرون إلا للمعقول.
*المرتبة النظرية : وهؤلاء ينظرون إلى الموضوعات اولاً، وإلى المعقول ثانياً ولأجل الموضوعات.
*مرتبة السعداء : وهم الذين يرون الشيء بنفسه
2) ابن سينا:ابن سينا هو أبو علي الحسين بن عبد الله بن الحسن بن علي بن سينا، اشتهر بالطب والفلسفة واشتغل بهما. ولد في قرية (أفشنة) الفارسية قرب بخارى (في أوزبكستان حاليا) من أب من مدينة بلخ (في أفغانستان حاليا) و أم قروية سنة 370هـ (980م) وتوفي في همذان سنة 427هـ (1037م). عرف باسم الشيخ الرئيس وسماه الغربيون بأمير الأطباء. وقد ألّف 450 كتاب في مواضيع مختلفة، العديد منها يركّز على الفلسفة والطب. إن ابن سينا هو من أول من كتب عن الطبّ في العالم الإسلامى ولقد اتبع نهج أو أسلوب هيبوكراتس و جالين. وقد قال جورج سارتون عن ابن سينا أنّه أشهر عالم في الإسلام . كما أنّه يعتبر من الأعظم شهرة في كل الأزمان و الأماكن والأوقات. وأعظم أعماله المشهورة هى كتاب الشفاء وكتاب القانون في الطب.
مؤلفاته فى الرياضيات:
*رسالة الزاوية
*مختصر إقليدس
*مختصر الارتماطيقي
*مختصر علم الهيئة
*مختصر المجسطي
*رسالة في بيان علّة قيام الأرض في وسط السماء، طبعت في مجموع (جامع البدائع)، في القاهرة سنة 1917م.
نبذة عن ابن سينا:
أبو علي ابن سينا هو امتداد للفارابي و أخذ عن الفارابي فلسفته الطبيعية وفلسفته الإلهية أي تصوره للموجودات وتصوره للوجود وأخذ منه على الأخص نظرية الصدور وطوّر نظرية النفس وهو أكثر ما عني به. ابن سينا ولد في قرية افشنا قريبة من بخاري وهو من أصل فارسي. كان إداريا للجند وكان إداريا سيئا. وكان مقبلا على الحياة إقبالا كبيرا مكثرا من اللذات الحسية حتى أصيب بالقولونج وهو التهاب الأمعاء الغليظة وكان يتألم كثيرا منه ويحاول معالجة ذلك بشرب الخمر ومات في هذا المرض، وعلى الرغم من شربه للخمر كان يدعو للمحافظة على الصلوات فلقد كان مقبلا على العبادة. ابن سينا أكبر موسوعة فلسفية في الإسلام المشرقي (الإسلام المغربي ابن رشد) التيار السينوي أو مؤثرات أفلاطونية / التيار الرشدي أو مؤثرات أرسطوية أبرز مؤلفاته كتاب (الشفاء) وهو يشمل جميع المجالات، لخصه ابن سينا في كتاب (النجاة)، له مؤلفات ذات نزعة صوفية، مجموعة من القصص الرمزية، كتاب الكليات في الطب.
3)ابن البنا المراكشى:أحمد بن محمد بن عثمان الأزدي المعروف بأبي العباس بن البناء المراكشي (721-654هـ/1321-1256 م) هو عالم مراكشي متفنن في علوم جمة، برز بصفة خاصة في الرياضيات، والفلك، والتنجيم، والعلوم الخفية، وكذلك في الطب.
قضى أغلب فترات حياته في مسقط رأسه في مراكش، ولذا نسب إليها، وبها درس النحو والحديث والفقه، ثم ذهب إلى فاس و درس الطب والفلك والرياضيات. وكان من أساتذته ابن مخلوف السجلماسي الفلكي، وابن حجلة الرياضي. وقد حظي ابن البناء بتقدير ملوك الدولة المرينية في المغرب الذين استقدموه إلى فاس مراراً. وتوفي في مدينة مراكش عام 721هـ/1321م.
اسهاماته العلمية:
من إسهامات ابن البناء في الحساب أنه أوضح النظريات الصعبة والقواعد المستعصية، وقام ببحوث مستفيضة عن الكسور، ووضع قواعد لجمع مربعات الأعداد ومكعباتها، وقاعدة الخطأين لحل معادلات الدرجة الأولى، والأعمال الحسابية. وأدخل بعض التعديل على الطريقة المعروفة "بطريقة الخطأ الواحد" ووضع ذلك على شكل قانون.
وجاء في دائرة المعارف الإسلامية أن ابن البناء قد تفوق على من سبقه من علماء الرياضة من العرب في الشرق وخاصة في حساب الكسور، كما عُدَّ من أهم الذين استعملوا الأرقام الهندية في صورتها المستعملة عند المغاربة.
مؤلفاته:
ألف ابن البناء أكثر من سبعين كتاباً في الحساب، والهندسة، والجبر، والفلك، والتنجيم، ضاع أغلبها ولم يبق إلا القليل منها، وأشهرها :
*"كتاب تلخيص أعمال الحساب" : يعترف "سمث" و"سارطون" بأنه من أحسن الكتب التي ظهرت في الحساب. وقد ظل الغربيون يعملون به إلى نهاية القرن السادس عشر للميلاد، وكتب كثير من علماء العرب شروحاً له، واقتبس منه علماء الغرب. كما اهتم به علماء القرنين التاسع عشر والعشرين. وقد ترجم إلى الفرنسية عام 1864م على يد مار Marre، ونشرت ترجمته في روما. وقد أعاد ترجمته إلى الفرنسية الدكتور محمد سويسي، ثم نشر النص والترجمة مع تقديم وتحقيق سنة 1969.
*"مقالات في الحساب"، وهو بحث في الأعداد الصحيحة، والكسور، والجذور، والتناسب ؛
*"كتاب الجبر والمقابلة" ؛
*"كتاب الفصول في الفرائض" ؛
*"رسالة في المساحات" ؛
*"كتاب الأسطرلاب واستعماله" ؛
*"كتاب اليسارة في تقويم الكواكب السيارة" ؛
*"منهاج الطالب في تعديل الكواكب"، وقد حقق المستشرق الإسباني فيرنه خينس مقدمة الكتاب *وبعض فصوله وترجمها إلى الإسبانية سنة 1952 ؛
*"كتاب أحكام النجوم".
4) الخوارزمى: نشأته:
انتقلت عائلته من مدينة خوارزم في خراسان إلى بغداد في العراق، انجز الخوارزمي معظم ابحاثه بين عامي 813 و 833 في دار الحكمة، التي أسسها الخليفة المأمون. و نشر اعماله باللغة العربية، التي كانت لغة العلم في ذلك العصر. ويسميه الطبري في تاريخه: محمد بن موسى الخوارزمي المجوسي القطربلّي ، نسبة إلى قرية قُطْربُلّ من ضواحي بغداد. اللقب مجوسي يتناقض مع بدء الخوارزمي لكتابه (الجبر والمقابلة) بالبسملة. وتجمع الموسوعات العلمية -كالموسوعة البريطانية[1] وموسوعة مايكروسوفت إنكارتا[2] وموسوعة جامعة كولومبيا[3] وغيرها[4]- على أنه عربي، في حين تشير مراجع أخرى إلى كونه فارسي الأصل[5].
الخوارزمي كعالم الرياضيات:
ابتكر الخوارزمي مفهوم الخوارزمية في الرياضيات و علم الحاسوب، (مما اعطاه لقب ابي علم الحاسوب عند البعض)، حتى ان كلمة خوارزمية في العديد من اللغات (و منها algorithm بالانكليزية) اشتقت من اسمه، بالاضافة لذلك، قام الخوارزمي باعمال هامة في حقول الجبر و المثلثات والفلك و الجغرافية و رسم الخرائط. ادت اعماله المنهجية و المنطقية في حل المعادلات من الدرجة الثانية إلى نشوء علم الجبر، حتى ان العلم اخذ اسمه من كتابه حساب الجبر و المقابلة، الذي نشره عام 830، و انتقلت هذه الكلمة إلى العديد من اللغات (Algebra في الانكليزية).
أعمال الخوارزمى:
اعمال الخوارزمي الكبيرة في مجال الرياضيات كانت نتيجة لابحاثه الخاصة، الا انه قد انجز الكثير في تجميع و تطوير المعلومات التي كانت موجودة مسبقا عند الاغريق و في الهند، فاعطاها طابعه الخاص من الالتزام بالمنطق. بفضل الخوارزمي، يستخدم العالم الاعداد العربية التي غيرت و بشكل جذري مفهومنا عن الاعداد، كما انه قذ ادخل مفهوم العدد صفر، الذي بدأت فكرته في الهند.
صحح الخوارزمي ابحاث العالم الاغريقي بطليموس Ptolemy في الجغرافية، معتمدا على ابحاثه الخاصة. كما انه قد اشرف على عمل 70 جغرافيا لانجاز أول خريطة للعالم المعروف آنذاك.و من أشهر كتبه في الجغرافيا كتاب (صورة الأرض). عندما اصبحت ابحاثه معروفة في أوروبا بعد ترجمتها إلى اللاتينية، كان لها دور كبير في تقدم العلم في الغرب، عرف كتابه الخاص بالجبر اوروبة بهذا العلم و اصبح الكتاب الذي يدرس في الجامعات الاوروبية عن الرياضيات حتى القرن السادس عشر، كتب الخوارزمي ايضا عن الساعة، الإسطرلاب، و الساعة الشمسية.
تعتبر انجازات الخوارزمي في الرياضيات عظيمة، و لعبت دورا كبيرا في تقدم الرياضيات و العلوم التي تعتمد عليها.
5)أبو جعفر الخازن:سيرته:
هو أبو جعفر محمد بن الحسين الخازن الخراساني، عالم رياضي فلكي من أبناء القرن الرابع الهجري. لا نكاد نعرف شيئاً يذكر من حياته سوى أنه خدم ابن العميد، وزير ركن الدولة البويهي. وهو ابن محمد بن الحسين الخازن الذى توفى وكان ابو جعفر وهو كان في سن 16 او 17
مؤلفاته:
*كتاب كتاب زيج الصفائح.
*كتاب المسائل العددية.
6) البيرونى:علوم البيرونى:
كان عالم رياضيات و فيزياء وكان له إهتمامات في مجال الصيدلة والكتابة الموسوعية و الفلك والتاريخ. سميت فوهة بركانية على سطح القمر بإسمه إلى جانب 300 إسما لامعا تم إختياره لتسمية الفوهات البركانية على القمر ومنهم الخوارزمي و أرسطو وابن سينا [1]. ولد في خوارزم التابعة حاليا لأوزبكستان والتي كانت في عهده تابعة لسلالة السامانيين في بلاد فارس درس الرياضيات على يد العالم منصور أبو نصر (970 - 1036) وعاصر ابن سينا (980 - 1037) و ابن مسكوويه (932 - 1030) الفيلسوفين من مدينة الري الواقعة في محافظة طهران . تعلم اللغة اليونانية و السنسكريتية خلال رحلاته و كتب باللغة العربية و الفارسية. البيروني بلغة خوارزم تعني الغريب أو الآتي من خارج البلدة، كتب البيروني العديد من المؤلفات في مسائل علمية وتاريخية وفلكية وله مساهمات في حساب المثلثات والدائرة و خطوط الطول والعرض، ودوران الأرض و الفرق بين سرعة الضوء وسرعة الصوت،هذا بالإضافة إلى ما كتبه في تاريخ الهند [2] .إشتهر ايضا بكتاباته عن الصيدلة و الأدوية كتب في أواخر حياته كتاباً أسماه "الصيدلة في الطب" وكان الكتاب عن ماهيات الأدوية ومعرفة أسمائها.
مؤلفاته:
*تحقيق ما للهند من مقولة مقبولة في العقل أو مرذولة
*الاستيعاب في تسطيح الكرة
*تجريد الشعاعات والانوار
*الجماهر في معرفة الجواهر
*التنبيه في صناعة التمويه
*الآثار الباقية عن القرون الخالية
*الإرشاد في احكام النجوم
*الاستشهاد باختلاف الارصاد.
7) ابراهيم ابن سنان.
ابن الظاهر البغدادى
9) ابن الهيثم.
10) ابن يونس.
11) ابو كامل المصرى.
12) ابو كاميل.
13) احمد بن يوسف.
14) الاقليديسى.
15) الكوحى.
16) المهانىو غيرهم ......
بعض فروع الرياضيات:1) المنطق الرياضى.
2) نظرية امجموعات (الفئات)
3) الجبر.
4) نظرية الاعداد.
5) نظرية الزمر.
6) تفاضل و تكامل.
7) التحليل التوافقى.
التحليل الدالى
9) علم المثلثات
10) المنطق الضبابى.
11)الطبولوجيا.
12) الهندسة الجبرية.
13) السيبرنيتيك
14) ميكانيكا الموانع.
15) نظرية الالعلب.
16) علم الاحتمالات و الاحصائيات.
17) نظرية الشواش.
الكمية:عدد – عدد طبيعي – عدد صحيح – عدد كسري – عدد حقيقي – عدد عقدي – عدد فوق عقدي – كواتيرنيون – اوكتونيون – سيدينيون – عدد فوق حقيقي – عدد حقيقي فائق – عدد ترتيبي – عدد كمي – عدد بي – متوالية صحيحة – ثابت رياضي – أسماء الأعداد – اللانهاية – الأساس (رياضيات)
التغير:الحساب – علم الحسبان – الحسبان الشعاعي – التحليل الرياضي – معادلات تفاضلية – جمل متحركة – نظرية الشواش – قائمة الدوال ( التوابع )
البنية:جبر تجريدي – نظرية الأعداد – هندسة جبرية – نظرية المجموعات – مونويد – التحليل الرياضي – الطوبولوجيا – الجبر الخطي – نظرية المخططات – الجبر الشامل – نظرية الزمر – نظرية الترتيب – نظرية القياس
العلاقات الفراغية:طوبولوجيا – هندسة – علم المثلثات – هندسة جبرية – هندسة تفاضلية – طبولوجيا تفاضلية – طوبولوجيا جبرية – جبر خطي – هندسة كسيرية
الراياضيات المتقطعة:التوافقيات – نظرية المجموعات المبسطة – نظرية الحوسبة– علم التعمية
رياضيات تطبيقية:الميكانيك – تحليل عددي – استمثال رياضي – احتمال – احصاء – رياضيات اقتصادية – نظرية الألعاب – البيولوجيا الرياضية – علم التعمية – نظرية المعلومات – ميكانيك السوائل .
المبرهنات و الحدسيات الهامة:نظرية فيثاغورث – مبرهنة فيرما الأخيرة – حدسية غولدباخ – حدسية التوأمين الأولية – مبرهنة عدم الإكتمال لغودل – حدسية بوانكاريه – قطر كانتور – مبرهنة الألوان الأربعة – قضية زورن المساعدة – هوية اويلر – أطروحة تشرش-تورينغ
فرضية ريمان – فرضية الإستمرارية – P=NP – مبرهنة الحد المركزية – المبرهنة الأساسية في التكامل – المبرهنة الأساسية في الجبر – المبرهنة الأساسية في الحساب – المبرهنة الأساسية في الهندسة الإسقاطية – مبرهنات تصنيف السطوح – مبرهنة غاوس-بونيت.
انظمة العد:نظام العد:هو طريقة تعامل الانسان مع رسوم الارقام للتعبير عن قيمتها وكيفية تطبيق العمليات الحسابية عليها .وانظمة العد المستخدمة في العالم اليوم تتنوع بحسب مجال استخدامها.
نظام التشفير الثنائي العشري:النظام الاوسع انتشارا هو النظام العشري المعتمد على الخانات والصفر للتعبير عن الاختلافات بين قيم رسم الرقم الواحد فمثلا الرقم 6 يحمل قيمة ستون عندما يوضع في الخانة الثانية ، وقد تم ابتداع الصفر في مرحلة متأخرة نسبيا عن ابتداع الارقام واستخدم مع نظام الخانات للتعبير عن خلو هذه الخانة من القيمة .
الشيفرات العددية Numerical Codes نظام التشفير الثنائي العشري Binary Coded Decimal عندما نستخدم نظام العد الثنائي للتعبير عن القيم العددية يتضح أمامنا مزايا ومساوئ هذا النظام فمثلا من مزايا نظام العد الثنائي 1- يتألف من رقمين فقط هما ( 0-1 ) 2- العلاقة المكتشفة مابين الصفر والواحد كأعداد ثنائية و الصفر و الواحد كقيمة منطقية أما من مساوئه 1- تمثيل الرقم العشري بالرقم الثنائي يمكن أن يكون من أربع أو خمس خانات بينما يكون الرقم العشري مكونا من خانتين فقط 2- عملية التحويل بين الأعداد العشرية والثنائية لا تتصف بالسهولة وللتغلب على هذه السيئة نلجأ في كثير من الأحيان باستخدام نظام التشفير الثنائي العشري و هو العنوان الأساسي لهذا الموضوع نظام التشفير الثنائي العشري BCD نستخدم في هذا النظام من التشفير أربعة أرقام ثنائية لتمثيل كل رقم عشري أي
0101 5 0000 0 0110 6 0001 1 0111 7 0010 2 1000 8 0011 3 1001 9 0100 4 وعندما نريد أن نمثل عدد مكون من أكثر من رقم عشري نستخدم لكل عدد عشري تشفيرة ثنائية ABCD وكمثال على ذلك العدد العشري 5706 باستخدام الشيفرة BCD العدد العشري 6 0 7 5 تشفيرهBCD 0110 0000 0111 0101 الشيفرة 0101011100000110 العدد العشري 8 8 9 1 تشفيرهBCD 0111 0111 1001 0001 الشيفرة 0001100101110111 وعلى الرغم من سهولة التحويل من عشري إلى ثنائي واستخلاص العدد العشري من تشفيره BCD إلا أن هناك مساوئ لهذا النظام 1- صعوبة إجراء العمليات الحسابية 2- استخدام عشرة تركيبات فقط من التركيبات الممكن تشكيلها من أربعة أرقام ثنائية
العمليات على الأعداد المشفرة في نظام BCD الجمع : حيث يتم جمع هذا النوع من الأعداد كل رقمين على حدة أي الرقم الأول من العددين المجموعين يضافان إلى بعضهما وكذلك الثاني والثالث والرابع وهي عملية بسيطة وتعطي النتيجة الصحيحة بشكل مباشر وسريع إذا كان الناتج أقل من عشرة وكمثال على ذلك
3= 0011 5 = 0101
+ 4 = 0100 + 4 = 0100
7 = 0111 9 = 1001
أما إذا كان الناتج أكبر من العدد العشري (9 ) فإن النتيجة التي نحصل عليها غير مقبولة لأن نظام التشفير هذا لا يسمح بالقيم من( 10 ) وحتى ( 15 ) ضمن ناتج كل مجموعة حسابية فإننا غي هذه الحالة نضيف الرقم الستة العشري وهو ( 0110 ) إلى الناتج الغير مقبول فتؤدي عملية الجمع هذه إلى توليد منقول من المرتبة الأعلى فنحصل على الجواب الصحيح في نظام التشفير المذكور
17 = 10001 9 = 1001
+ 6 = 0110 + 8 = 1000 (17)BCD = 10111 17 = 10001 بإضافة الرقم ستة تحول الناتج الغير مقبول في نظام التشفير إلى ناتج صحيح ومقبول ناتج غير مقبول وغير متوفر في نظام التشفير BCD وتسمى هذه الستة العشرية في نظام التشفير BCD بالستة التصحيحية وتنتج لدينا الآن القاعدة الأساسية لجمع الأعداد العشرية المشفرة ثنائياً وهي : 1- إضافة العددين وكأنهما عددين ثنائيين عاديين 2- إذا كان الناتج مؤلف من أربع خانات ومنحصر بين الصفر والتسعة يكون الناتج صحيحاً وموجوداً في نظام التشفير BCD 3- إذا كان الناتج مؤلف من أربع خانات وأكبر من العدد تسعة العشري فإننا نضيف العدد ستة العشري لنحصل على الناتج الصحيح والموجود في نظام التشفير BCD 4- إذا كان الناتج مؤلف من خمس خانات أي تولد لدينا منقول فإننا أيضاً نضيف العدد ستة العشري لنحصل على الناتج الصحيح والموجود في نظام التشفير BCD الضرب : ويتم في هذا النظام ضرب العددين على التوالي كما في النظام العشري أي كل رقم من أرقام المضروب يضرب بكل رقم من أرقام المضروب به وتشكل كل عملية ضرب ناتجاً جزئياً فنقوم بجمع النواتج الجزئية لنحصل على الإجابة الصحيحة والمقبولة حصراً مع العلم أن ضرب الواحد بالصفر يساوي الصفر وضرب الصفر بالصفر يساوي الصفر أما ضرب الواحد بالواحد فيساوي واحد ملاحظة إن عملية الضرب لا تولد منقول حتماً وكمثال على ذلك المضروب 1110 المضروب به 101 ×
النواتج الجزئية 1110 0000 1110 الناتج النهائي 1000110
إن تنفيذ عملية الضرب أمر سهل ويعتمد على البدء بالخانة الأقل مرتبة وعلى إزاحة النواتج الجزئية المتتالية عن بعضها بمقدار خانة واحدة إلى اليسار كما توضح في المثال والقيام بعملية جمع النواتج الجزئية بشكل صحيح ومن الممكن أن يكون عدد خانات الناتج أكبر من عدد خانات المضروب أو المضروب به بمقدار واحد على الأكثر . القسمة : تعتبر عملية القسمة في النظام الثنائي أو نظام التشفير BCD أكثر سهولة من عملية القسمة في النظام العشري فإننا في النظام الثنائي نبحث عن إمكانية تنزيل المقسوم عليه تحت الخانات الثلاثة الأولى منت المقسوم فإذا كان ذلك غير ممكناً فإننا نقوم بتنزيل المقسوم عليه تحت الأربع خانات الأولى ولسنا بحاجة لتقدير النتيجة فهي إما صفر أو واحد وتستمر عملية القسمة كما تستمر عملية القسمة في النظام العشري وكمثال على ذلك الناتج النهائي 11101… المقسوم 10010011 المقسوم عليه 101
استمرار عملية القسمة 1000 101 100 101 111 101 الباقي 10.
أنظمة عد قديمة:كان لدى الرومان نظام عدّ يعتمد على رسم تتابع من الاشكال ، تعبر في مجموعها عن عدد ما وليس فيها استخدام للخانات او الصفر ، انظر الاعداد الرومانية. ونجح الهنود والمايا بالوصول إلى تقييم الارقام تبعا لمراكزها في الخانات وقام الهنود بإيجاد رسم معين لكل رقم مما مكنهم من القيام بعمليات حسابية كبيرة استحالت على غيرهم.
ولكن الهنود لم يعرفوا الصفر في بداية نظامهم ، فكان يضطرون لوضع علامة لتمييز العدد 408 عن 48 مثلا، وقاموا بشغل الفراغ الضروري للعمليات الرياضية بدائرة او نقطة و اطلقوا عليه اسم الفراغ او الثقب ورسموه على شكل دائرة او نقطة. ويبدو ان العرب هم من اعطوا الصفر قيمة حسابيّة بالرغم من ان الهنود كانوا قد استخدموه كشكل للتمييز ،وابقى العرب على رسمه الهندي ، واوضح الخوارزمي في كتاباته دور الصفر في عمليات الجمع والطرح مثل 75-35 = 40 فقال :"في عمليات الطرح ، اذا لم يكن هناك باق ، نضع صفرا ولا نترك المكان خاليا حتى لا يحدث لبس بين خانة الآحاد وخانة العشرات".ويضيف "إن الصفر يجب ان يكون عن يمين الرقم ، لان الصفر على يسار الاثنين مثلا 02 لا يغير من قيمتها ولا يجعل منها عشرين" ونلاحظ ان الشعوب التي اخذت النظام العربي المطور عن النظام الهندي قد نقلو هذا النظام حرفيا في طريقة كتابته اي من اليمين إلى اليسار وبعضهم حتى نظام قرائتها كالالمان مثلا.
ومن الانظمة التي استخدمت ايضا انظمة تعتمد على تقسيم الاعداد إلى منازل من ستين واخرى من 12 ، ومن الموروث الحضاري لهذه الانظمة نظام الوقت ، الدقائق والساعات المستخدم .
ويبدوا ان البابلين استخدموا نظاما ستينيا في كتابة ارقامهم التي كانت على الشكلين V و > تعبيرا عن الواحد والعشرة ، ورسموهم في مجموعات يعبر تتابعها عن ضرب كل مجموعة إلى بستين مرفوعة لقوة مقدارها ترتيب المجموعة ابتداء من الصفر ، تماما كما في النظام العشري الذي ابدلت فيه الخانات بالمجموعات .
فلسفة الرياضيات: الواقعية الرياضية أو الإفلاطونية:تعتبر الواقعية الرياضية الكائنات الرياضية ذات وجود مستقل عن العقل الإنساني. لذلك فإن مهمة الإنسان هو استكساف هذا العالم الرياضي وليس اختراعه، كما إن أي كائن ذكي مفترض في هذا الكون قادر على استكشاف هذا العالم الرياضي و سبر أغواره. يطلق على هذه المدرسة اسم الإفلاطونية باعتبارها تماثل وجهة نظر أفلاطون من حيث إيمانه بعالم المثل والأفكار، الذي يمثل لديه العالم الكلي اللامتغير، وما العالم اليومي الذي نعيش فيه إلا مقاربات غير مكتملة لهذا العالم المثالي.
من المحتمل أن جذور فكرة أفلاطون تأتي من عند فيثاغورس الذي كان يؤمن هو وتلاميذه من الفيثاغورسيين أن العالم مكون حرفيا من الأعداد. وعلى ما يبدو فإن هذه النظرة ذات جذور أعمق في التاريخ لا يمكن تحديد بدايتها .
يعتبر العديد من علماء الرياضيات واقعيين رياضيين ، فهم يعتبرون أنفسهم مكتشفين يتجولون لرؤية روائع هذا العالم الرياضي و ليس مخترعين لها . أمثلة هؤلاء كثر : مثل باول ايردوس و كورت غودل و الفيزيائي الرياضي روجر بنروز . السبب النفسي وراء هذا الإعتقاد أنه من الصعب القبول أن شخصا ما يشغل نفسه لفترة طويلة من الزمن ما لم يكن مقتنعا فعلا بوجوده . يؤمن غودل بنوع من الواقع الرياضي الموضوعي يمكن إدراكه بطريقة مشابهة لإدراك الحواس . بعض المبادئ يمكن ان تعتبر صحيحة مباشرة لكن بعض الحدسيات conjecture مثل فرضية الإستمرار continuum hypothesis لا يمكن البت فيها استنادا لهذه المبادئ . لذلك يقترح غودل منهجية شبه تجريبية quasi-empirical methodology يمكن أن تؤمن تأكيدا كافيا لإفتراض هذه الحدسية conjecture .
المشكلة الأساسية في وجهة النظر لاواقعية للرياضيات: هي أين و كيف تتواجد هذه الكائنات الرياضية؟ هل هي في عالم كامل الانفصال عن عالمنا تسيطر عليه الكائنات الرياضية؟ كيف لنا أن نتواصل مع ذلك العالم ونستكشف حقائقه؟ يقدم كلا من أفلاطون قديما و غودل حديثا إجابات لهذه الأسئلة لكن هذه الإجابات لا تبدو مقنعة للكثيرين.
الشكلية:تقوم المدرسة الشكلية على فكرة أنه من الممكن التفكير بالعبارات الرياضية على أنها نتائج لقواعد معالجة المقولات الأولية. فمثلا، الهندسة الإقليدية تعتبر مؤلفة من مقولات تدعى البديهيات (axioms). بالإضافة إلى بعض قواعد الدلالة التي تسمح باستنباط مقولات جديدة من المقولات الأولى المعطاة. وبما أنك قادر على البرهنة على مبرهنة فيثاغورس وحدك، فهذا يعني أنك قادر فعلا على إنشاء المقولة التي تمثل هذه المبرهنة.
وفقا لبعض مذاهب الشكلية، فإن مسألة الموضوع في الرياضيات هي حرفيا الرموز المكتوبة ذاتها. وعندها تصبح القضية لعبا بهذه الرموز ولا يهم ما هي نوع اللعبة فجميع الألعاب متكافئة ويمكنك أن تلعب أي واحدة تختار، لكن هذه الرؤية لا تعطي حلولا للأسئلة الجوهرية: ما هي هذه الرموز الرياضية؟ هل توجد حقا في عالم تخيلي غير متغير؟ ولماذا هي مفيدة في شرح العالم الواقعي؟ هذه النظرة تحول الرياضيات إلى مجرد فعالية بشرية متفوقة لعبتها الرموز والأرقام لكنها لا تقدم حلولا لذلك لم تلق انتشارا كبيرا.
تقول مدرسة ثانية من الشكلية بالاستنتاجية (deductivism)، فمبرهنة فيثاغورس في هذه الحالة لا تعود حقيقة مطلقة إنما حقيقة نسبية: إذا نسبت معنى و حقيقة للمقولات الرياضية بحيث تصبح قواعد اللعبة صحيحة، عندئذ عليك قبول المبرهنة أو أن التفسير الذي تعطيه للمبرهنة يجب أن يكون عبارة صحيحة. (أي أن صحة العبارات الرياضية مرتبطة بصحة البدهيات الأساسية بشرط اعتماد قواعد "لعبة" تحفظ هذه الصحة).
انتهى.
و لكم جزيل الشكر .....
'>
