الأخت طالبة بالكلية المحترمة ...
تحية صباحية أما بعد ..
إليك حل التمرين الثالث والخامس من المجموعة الثالثة :
x^2 + 6y^2 - 6x + 12y + 13 = 0
بترتيب المعادلة :
x^2 - 6x + 6y^2 + 12y + 13 = 0
بالإتمام إلى مربع كامل :
x^2 - 6x + 3^2 - 3^2 + 6 ( y^2 + 2y + 1 - 1 ) + 13 = 0
بكتابها بشكل مطابقة :
( x - 3 )^2 - 9 + 6 ( y + 1 )^2 - 6 + 13 = 0
( x - 3 )^2 + 6 ( y + 1 )^2 = 2
بقسمة طرفي المعادلة على 2 :
( x - 3 )^2 / 2 + ( y + 1 )^2 / 2/6 = 1
( x - 3 )^2 / 2 + ( y + 1 )^2 / 1/3 = 1
وهي معادلة قطع ناقص مركزه ( 1- , 3 ) محوره المحرقي يوازي محور x'ox ، فيه a^2 = 2 ، b^2 = 1/3 ومن المعادلة :
a^2 = b^2 + c^2 نجد أن c^2 = a^2 - b^2 وبالتالي :
c^2 = 2 - 1/3 ==> c^2 = 5/3 ==> c = 5^1/2 / 3^1/2
أي جذر خمسة على جذر ثلاثة ، وهي عناصر القطع الناقص ، وبإمكانك يا طالبة بالكلية اتمام المراحل في إيجاد إحداثيات المحرقين والذروات الأربع ومن ثم رسم القطع المطلوب .
--------------------------------------------------------------------------------
xy + 2x + y + 5/2 = 0
توصلنا إلى النتيجة أعلاه وكانت :
y = ( - 2x - 5/2 ) / ( x + 1 ) = - ( 2x + 5/2 ) / ( x + 1
وهو تابع كسري تناظري مقارباه :
x = -1 عندما y تذهب إلى اللانهاية .
y = -2 عندما x تذهب إلى اللانهاية .
وباشتقاق المعادلة نجد أن قيمة المشتق موجبة بالتالي فالتابع ( متزايد ) ويبلغ اللانهاية الموجبة عن يسار المستقيم المقارب x = -1 ، واللانهاية السالبة عن يمينه .
أما سلوك نهايات x عند طرفي المستقيم المقارب y = -2 فإن x تذهب إلى اللانهاية السالبة من جهة القيم التي تزيد عن y = -2 ( فوق المستقيم ) .
وتبلغ x اللانهاية الموجبة بقيم أقل من y = -2 ( تحت المستقيم ) .
ويرسم التابع الكسري في الربع الثاني والرابع بالنسبة لمقاربيه ، ويمر من النقطتين :
x1 = 0 ، y1 = - 5/2
x2 = -5/4 ، y2 = 0
وتستطيعين اختيار نقاط مساعدة مختلفة لتسهيل عملية الرسم الدقيق .
وسأحاول تزويدك إن شاء الله بحلول باقي التمارين في القريب ، وأحلى الأماني بعيد الفطر السعيد لكِ يا طالبة بالكلية ولأسرتك الفاضلة ، وكل عام وأنتم بخير .
أخوكم بسام