Advanced Search

المحرر موضوع: التكامل-الطول-المساحه  (زيارة 10184 مرات)

0 الأعضاء و 1 ضيف يشاهدون هذا الموضوع.

أغسطس 27, 2006, 01:06:39 صباحاً
زيارة 10184 مرات

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
التكامل-الطول-المساحه
« في: أغسطس 27, 2006, 01:06:39 صباحاً »
بسم الله الرحمن الرحيم
طبعا في هذا الفصل سوف نعرض مفهوم تكامل ريمان ونتحدث عن اهم خصائصه ومن المؤكد إن لدى القاري بعض الالمام من دراسته السابقه بهذا المفهوم
لقد برز مفهوم تكامل ريمان على الرغم من بعض مظاهر التعقيد التي تلازم تعريفاته من حاجتنا للتصدي لمساله بسيطه وحدسيه وهي مسالة تعريف وحساب المساحات للاشكال الهندسيه في المستوى فمن مباديء الهندسه الاوليه نستطيع إن نحصل على قوانين لمساحات الاشكال الاوليه كالمستطيلات غير اننا نستطدم بمشكلات عويصه اذا كان الشكل محدود بمنحنيات بدلا من مستقيمات  ولقد كان اول من قام بحساب مساحات مثل هذه الاشكال هو ارخميدس الذي نجح في حساب المنطقه المحصوره بين القطع المكافي y=x^2   ومحور السينات والمستقيم x=1   عن طريق تقريب المساحه بمضلعات وهي ذات الفكره التي يبنى عليها تكامل ريمان نسبه إلى الرياضي الالماني العظيم برنارد ريمان

(1-1)   التجزئه , النظيم والزياده

سنعرف في هذا البند بعض المفاهيم والمصطلحات التي سوف نستخدمها عند تعريف التكامل المحدد وسنستخدم هذه المفاهيم بالارتباط مع الفتره المحدوده والمغلق


او على التمثيل البياني لهذه المجموعه على مستيم الاعداد
إن تجزئة فتره مغلقه [a,b]   هي مجموعه من الفترات المغلقه


تتمتع بالخواص التاليه


تسمى كل فتره من تجزئة [a,b] فتره جزئيه للفتره [a,b]
ومن الواضح إن أي تجزئه تتعين بالاعداد التي تمثل نقاط نهايات الفترات الجزئيه  بهذه التجزئه  فالتجزئه التي تتكون من n   فتره جزئيه تتعين اذن بـ n+1   عددا


حيث


وحيث إن


إن الرمز     يستخدم للتجزئه المعينه بهذه المجموعه المكونه من n+1   عددا أي:


واذا كانت     تجزئه للفتره [a,b]   فاننا نسمي اكبر الاعداد    
بنظيم التجزئه او معيار التجزئه  ونرمز له بالرمز   او  
او أي رمز اخر المهم إن نعرف إن النظيم هو طول اطول الفترات الجزئيه طبعا حتى نوضح دعونا نقول


فانه ينتج من التعريف هذا إن

واقول واكرر يكون النظيم ||p||    للتجزئه     بيانيا هو اطول الفترات الجزئيه في بيان التجزيء P_n
طبعا لن نتكلم عن تنقيح التجزيء وزيادة دقته
اذا كان    تجزي للفتره [a,b]  فاننا ندعو زيادة هذه التجزئه ونرمز لها بالرمز    مجموعه مكونه من n   عدد ننتقيها من الفترات الجزئيه بحيث ناخذ من كل فتره عددا واحدا أي انها مجموعه من الاعداد


بحيث يكون


ومن المهم ايضا إن نلاحظ انه من اجل فتره معينه [a,b]    وعدد صحيح موجب n   يوجد عدد غير منته من التجزيئات التي يحوي كل منها n    فتره جزئيه  كما يوجد لكل واحده منها عدد غير منته من الزيادات ذات n   عنصرا ونقول بشكل اخر إن تعيين فتره [a,b]   وعدد صحيح موجب n   لايحدد بشكل وحيد تجزئه لهذه الفتره كما إن تعيين التجزئه لايحدد بشكل وحيد زياده لها

أغسطس 27, 2006, 02:02:25 صباحاً
رد #1

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
التكامل-الطول-المساحه
« رد #1 في: أغسطس 27, 2006, 02:02:25 صباحاً »
التكامل المحدد

*مجموع ريمان
لتكن f داله  معرفه على فتره مغلقه لنجزيء هذه الفتره الى n فتره جزئيه بالنقاط

المحققه للشرط



نعرف التالي
لتكن f داله معرفه على الفتره [a,b] ولتكن P تجزي لهذه الفتره نعرف مجموع ريمان لهذه الداله من اجل تجزئ للفتره المذكوره ونرمز له بالرمز  بالشكل:



حيث t هي عدد اختياري داخل كل فتره جزئيه(سمينا بالاعلى زياده)
تعريف
اذا انتهى مجموع ريمان نحو العدد الحقيقي  L  وذلك
1-مهما كانت التجزئه   P
2-ومهما كان اختيار الزياده داخل الفترات الجزئيه
وذلك عندما ينتهي ||P|| نحو الصفر فاننا نسمي العدد L بنهاية مجموع ريمان للداله  f على الفتره [a,b]



نعني وجود عدد لكل عدد اختياري  بحيث يكون الاقتضاء التالي محقق



محقق من اجل كل تجزئه P  على الفتره [a,b] تحقق الشرط   ومن اجل اي اختيار للاعداد t داخل الفترات الجزئيه لهذه التجزئه
مثال اوجد مجموع ريمان للداله f حيث f(x)=2x+1 على الفتره [1,5]  علما بان نقاط التجزئه(انا ما ادري وش فيه مره يكتب عربي ومر انجليزي) لهذه الفتره هي 1,1.5,2,3,4.5,5
وان هي منتصف الفترات الجزئيه
الحل



'طيعا الصف الاخير حاصل جمعه هو مجموع ريمان
طبعا المحاضره القادمه سوف نقدم مفهوم التكامل بصيغتين وحده قويه والثانيه اقوى بحيث تساعدنا على برهان الخاصيه الخطيه ثم نفرد محاضره كامله لكي نبرهن ان اي داله متصله قابله للتكامل اذا طلب احد ذلك واذا لم يطلب نكمل النقاش
مع التحيه
مازن

أغسطس 27, 2006, 02:49:08 مساءاً
رد #2

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
التكامل-الطول-المساحه
« رد #2 في: أغسطس 27, 2006, 02:49:08 مساءاً »
السلام عليكم
ايجاد المساحه تحت منحنى من حساب مجموع والذي اتخذ له حرف s بعد مده طبعا
كان الشائع ان المساحه هي الفارق بين منحنى المشتقه العكسيه عند اطراف الفتره المراد حساب التكامل عليها
طبعا ريمان ومن قبله كوشي(على فكره المشتقه العكسيه هي التكامل غير المحدد )اكتشفا ان هذه النظريه صالحه فقط لمجموعه من الدوال مثل الدوال المستمر او التي لها مشتقه عكسيه في فترة التكامل بينما هناك دوال كثيره يمكن ايجاد تكاملها ولا تتمتع بهاتين الخاصيتين وهي الدوال التي اسماها ريمان الدوال القابله للتكامل فمثلا الداله



قابله للتكامل على اي فتره تحوي النقطه x=0 بمفهوم ريمان الذي سنعرضه بعد قليل
طبعا لتكن f داله منطلقها [a,b] وليكن تجزئه للفتره معينه بالمجموعه  بنظيم ||p|| ولتكن  زياده لهذه المجموعه نرمز لمجموع ريمان (نفس الكلام بالاعلى مصاغ بطريقه اكثر ترتيب)



ونؤكد بشده انه لايمكن اعتبار حدا عاما من متتاليه ان اختيار قيمه معينه n لايعني بشكل وحيد قيمة  وذلك لانه من اجل قيمه معينه للعدد n يوجد عدد غير منته من التجزيئات الممكنه الى n فتره جزئيه كما يوجد عدد غير منته من الزيادات لكل واحده من هذه التجزيئات لذا لايمكننا ان نتكلم عن نهاية  عندما يزداد n الى مالانهايه بنفس معنى تعريف نهاية متتاليهط


تعريف التكامل المحدد

لنفرض ان f داله يحوي منطلقها الفتره المغلقه [a,b] حيث aمن اجل كل يوجد عدد بحيث يكون



وذلك من اجل جميع التجزيئات وجميع الزيادات بنظيم فاننا نسمي هذا العدد الوحيد(يمكن البرهان لكن بخلفيه اعلى على ذلك)تكامل ريمان المحدد للداله f على الفتره [a,b] وعندما يوجد مثل هذا العدد نقول ان الداله قابله للتكامل ونرمز لهذا العدد بالرمز اي ان



ونسمي العدد a الحد الادنى للتكامل و  b الحد الاعلى للتكامل والتكامل الذي اتينا على ذكره يسمى تكامل ريمان لتمييزه عن انماط اخرى من التكاملات مثل تكامل ريمان-ستيجلز او تكامل لبيق  ومن الان وصاعدا عندما نقول تكامل فاننا نعني تكامل ريمان
طبعا دعونا جانبا قليلا نفكر بسلوك النظيم
نحن نعرف ان النظيم عندما يؤول الى الصفر هذا يعني ضمنيا ان عدد التجزيئات يكبر بدون حدود بالتالي يمكن تعريف صيغه مكافئه لتكامل ريمان لكن نريد الابقاء على هذه الصيغه حتى نقوى على البرهنه على خواص التكامل
طبعا نعرف


ونعرف كذلك



خواص التكامل المحدد
ان للتكاملا خواص مهمه تجعل منه اداة فعاله في تطوير الرياضيات وتطبيقاتها
مبرهنه 1
اذا كانت f و g دالتين قابلتين للتكامل على [a,b] فان



البرهان : من المعلوم ان f , g دالتين قابلتين للتكامل فاذا كان عددا اختياريا موجبا فانه يوجد عدد  بحيث يكون



بنفس الشروط مهما كانت التجزئه والزياده بشرط ان يكون  
كما يوجد بحيث يكون



مهما كانت التجزئه بشرط ان يكون  
اذن



ولذلك اذا كان    اصغر العددين  فان



مهما كانت التجزيئات والزيادات شرط ان يكون النظيم اقل من , وينتج من ذلك ومن تعريف التكامل ان



الخاصيه الجمعيه للتكامل

اذا كانت الداله f متصله على فتره تحوي الاعداد a,b,c عندئذ يكون



ان برهان هذه الخاصيه يتطلب النظر في سلوك المجموعs الامر الذي هو اعلى من مستوانا الحالي لكن سوف ابرهن لكم الطرف الايمن الى الايسر
البرهان
بما ان f متصله فالتكاملات الثلاثه موجوده نبرهن الان الحاله aليكن اي عدد موجب بما ان  موجود فحواصل جمع ريمان للداله f على [a,c] تتجمع حول التكامل وهذا يعني وجود عدد بحيث ان كل حاصل ريمان للداله f على الفتره المذكوره مبني على تجزيء معياره اقل من يقع في الجوار



اي ان

الذي يدل



بالمثل يمكن اثبات انه يوجد عددين بحيث تتحقق المتباينتين التاليتين على التوالي



لتكن اقل الاعداد السابقه اختر تجزيئين معيار كل منهما اقل من ليكن حاصلا جمع ريمان للدالهf على الفترتين [a,b],[b,c] للتجزيئين المشار اليهما
حاصل الجمع لهما هو حاصل جمع ريمان للداله للداله f  ويكون



ولكل حواصل جمع ريمان هذه مع المتباينات بالاعلى تظل صحيحه للعلاقه الاخير بالتالي



القيمه المطلقه لحاصل جمع او فرق اعداد اقل من او يساوي حاصل جمع القيم المطلقه وبناء على ذلك وبالاستفاده مما سبق يكون



العدد الاول الممثل من الشطر الاول من المتباينه ليس سالبا والمتباينه اقل من كل عدد موجب  فهو يجب ان يكون صفرا ومن ثم يكون



وصلى الله بارك

مبرهنه
اذا كانت f قابله للتكامل على الفتره [a,b]  وكان f اكبر او تساوي الصفر على كل الفتره فان



وطبعا لو كان لدينا على نفس الفتره دالتين f و g قابلتين للتكامل وكان f>g او تساويه يكون



طبعا المحاضره القادمه سوف نتكلم عن مواضيع اخرى
مع التحيه




أغسطس 27, 2006, 03:03:45 مساءاً
رد #3

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
التكامل-الطول-المساحه
« رد #3 في: أغسطس 27, 2006, 03:03:45 مساءاً »
اريد ان اذكركم للاهميه
ان العنوان
التكامل-الطول-المساحه
هي عنوان اطروحة الدكتوراه والتي قدمها لبيق وكانت تحتوي اراء جريئه في نظرية التكامل
طبعا مفهوم الطول عندنا بسيط جدا
لكن هناك مفاهيم قياس على فضاءات تبولوجيه ومجموعات فيها تعقيد وهذه هي التي يتكلم عنها لبيق
وطبعا انا معجب جدا بالعنوان فحبيت اقتباسه
طبعا اضع لكم صورة ريمان + لبيق





طبعا هذه رسمه تمثل ماقلنا بالاعلى
فلاحظ ان عدد المستطيلات التي قواعدها الفترات الجزئيه وطولها هي نقاط الزياده بعد ان نعوض فيها بالداله نحصل على مستطيلات كلما نزيد عددها ونصغر قاعدتها تنطبق على المنحنى وتعطينا قيمه للمساحه



مع التحيه

أغسطس 31, 2006, 10:56:24 مساءاً
رد #4

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
التكامل-الطول-المساحه
« رد #4 في: أغسطس 31, 2006, 10:56:24 مساءاً »
مبرهنه
اذا كانت F داله مستمره على فتره [a,b] وكان s وr عددين من نفس الفتره على نحو تحقق فيه f(r و f(s  قيمه عظمي وصغرى على التوالي وكان هناك x يقع في الفتره فان



مبرهنه
اذا كانت F داله مستمر على الفتره [a,b] وكانت G داله كنطلقها [a,b] ومعرفه بالشكل
ومن اجل u التي تقع في الفتره المذكوره فان



طبعا هذه نوردها بدون برهان حتى تكون الامور اوضح
هذا جزء الحاقي للمحاضر السابقه ولن نضع عليه تمارين
الان فهمنا فكرة بقي المحاضره السابقه نذكر النظرية الاساسيه في حساب التفاضل والتكامل ونظرية القيمه المتوسطه للتكامل
بعد ذلك نبدأ دراسه للدوال الاسيه واللوغاريتميه والزائديه لكي ندخل في تفاصيل عملية التكامل وطرق حساب التكاملات ان شاء الله
للاسف لم اتمكن من اعطاء محاضره هذا الاسبوع
ولنا محاضره تعويضيه غدا ان شاء الله
مع السلامه
مازن

سبتمبر 06, 2006, 11:06:53 مساءاً
رد #5

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
التكامل-الطول-المساحه
« رد #5 في: سبتمبر 06, 2006, 11:06:53 مساءاً »
بسم الله الرحمن الرحيم
المحاضره العاشره
نظرة القيمة المتوسطه للتكامل
اذا كانت f  داله متصله على الفتره [a,b]  فلابد من وجود عدد c   ينتمى الى الفتره المفتوحه (a,b)   بحيث يكون



النظرية الاساسيه في حساب التفاضل والتكامل
اذا كانت F   متصله على الفتره المغلقه [a,b]   وكانت F   داله اصليه للداله f   قابله للاشتقاق على الفتره [a,b]   فان :



الداله اللوغاريتميه الطبيعيه
تمهيد   
لاحظ فيما يلي ان
2^3=8
10^2=100
نسمي في الاولى 3 لوغاريتم 8 بالنسبه للاساس 2 ونفسه في الثانيه
بشكل عام اذا كان x   عدد كسريا وكان a   عددا حقيقيا موجبا لايساوي الوحده فان



فيما يلي سنقدم دراسه مفصله عن الداله اللواغاريتميه الطبيعيه والتي نرمز لها بالرمز  ثم نتحدث في خاتمة المطاف عن العلاقه بين الداله اللوغاريتميه العامه من الاساس a  والداله اللواغاريتميه  الطبيعيه
تعريف
تعرف الداله اللوغاريتميه الطبيعيه والتي نرمز لها بالرمز    بالقاعده


وذلك لكل عدد حقيقي موجب x  
طبعا



لماذا؟
تسمى \lnx   باللوغاريتم الطبيعي للعدد x   يجب ان نلفت النظر هنا الى ان الداله اللوغاريتميه الطبيعيه غير مرعفه ولامعنى لها لغير قيم x الموجبه
نستنتج من التعريف السابق ان مشتقة الداله الداله اللوغاريتميه


ولو كان لدينا u=g(x) فان    



حيث u   قابله للاشتقاق على مجالها وغير معدومه



وهذه اول قاعده ناخذها بالتكامل ارجوا ان يتم فهمها واستحضارها وسوف نورد قواعد اخرى تكون الخط الرئيسي لنا عند دراسة طرق حلول التكاملات ومعنى هذه القاعده لو كان لدينا داله بسطها مشتقة المقام فتكاملها يساوي الداله اللوغاريتميه الطبيعيه للقيمه المطلقه للمقام

نظريه



دعونا نبرهن الاولى
من الواضح ان مشتقات lnx و ln ax متساويه بالتالي الفرق بين الدوال هو ثابت بالتالي نكتب

lnax-lnx=c
 لو عوضنا عن x=1 لتحديد قيمة الثابت نجد ان lna=c بالتالي
lnax=lna+lnx
ضع x=b
نحصل على المطلوب
برهان ولا احلى
تعريف
نعلم ان الداله ln  داله متزايده على الفتره الموجبه وهي دتقبل داله عكسيه  بالتالي فان كل قيمه للمتغير x يوافقها قيمه وحيده للمتغير y  والعكس صحيح بشكل خاص اذا كانت y=1  فان



والعدد الوحيد x في هذه الحاله يسمى بالاساس الطبيعي للوغاريتمات ونرمز له بالرمز e
ln e=1

ونستطيع ان نبرهن ان  e  يقع بين العددين
2.71 و 2.72
مثال
حل المعادله التاليه



الحل
من الواضح ان x>0  بالتالي فان المعادله السابقه تكتب على الشكل



وبما ان الداله اللوغاريتميه دالة تقابل نجد ان
x=1

الداله الاسيه من الاساس e
لنضع  حيث x عدد قياسي حسب خواص  اللوغاريتمات فان



اذن



حيث x عدد قياسي

نظريه



نظريه



وبشكل عام اذا كانت u داله في متغير x فان



مثال اوجد مشتقة الدوال التاليه



الحل



نتيجه
اذا كانت الداله u المعرفه بالمساواه u=g(x وكانت قابله للاشتقاق بالنسبه للمتغير  x فان



حيث c ثابت
وهذه ثاني قاعده بالتكامل
اتمنى ان تكون محاضرة اليوم مفيده
بقي جزء بسيط عن تعميم هذه الدوال وسوف نتكلم لاحقا عن طرق التكامل
مع التحيه
مازن

سبتمبر 11, 2006, 12:44:56 صباحاً
رد #6

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
التكامل-الطول-المساحه
« رد #6 في: سبتمبر 11, 2006, 12:44:56 صباحاً »
السلام عليكم
اكمال للمحاضره العاشره
الداله الاسيه العامه
نعلم ان العدد الموجب a>0  يكت حسب خواص الداله اللوغاريتمي الطبيعيه على الصوره



وان العدد حيث r عدد قياسي يكتب على الشكل



نسمي الداله المعرفه بالقاعده  بالداله الاسيه العامه من الاساس a  ونفس خواص الداله الاسيه الطبيعيه محققه
طبعا انا يهمني الاشتقاق هنا



وحسب قاعدة السلسله



حيث u داله في متغير x
وطبعا الداله الاسيه العامه داله تزايديه تقبل داله عكسيه  ونرمز لها بالرمز  

ونقبل بالتعريف ان



طبعا يمكن كتابة



وبالتالي فان المشتقه



واذا كانت u داله في متغير x فحسب قاعدة السلسله



طبعا مما سبق نجد



حيث u قابله للاشتقاق
وهذه ثالث قواعد التكامل
الان في رد مستقل سنضع اول جدول للتكاملات بالاستفاده من النظريه الاساسيه التي ربطت بين التكامل المحدد والاشتقاق (الدوال الاصليه)
وذلك لكي نقراها ونستوعبها جيدا
ثم في الغد نضع اول طرق التكامل وهي التكامل بالتعويض
طبعا انا اقفت التمارين لان التمارين سوف نضعها لحساب التكاملات لان هذا هدفنا الرئيسي




سبتمبر 11, 2006, 01:01:45 صباحاً
رد #7

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
التكامل-الطول-المساحه
« رد #7 في: سبتمبر 11, 2006, 01:01:45 صباحاً »


وهذه اول التكاملات
افهموها او احفظوها لكن اهم شيء دققوا كيف نستخدمها
الى هنا تنتهي محاضرة اليوم
وارحب بالضيف الذي يراقبنا هنا بصمت
مع التحيه
مازن

سبتمبر 12, 2006, 12:20:14 صباحاً
رد #8

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
التكامل-الطول-المساحه
« رد #8 في: سبتمبر 12, 2006, 12:20:14 صباحاً »
السلام عليكم
المحاضره (11)
نكمل شوي تكاملات مضيفها للقائمه
طبعا من الان وصاعدا u معناها داله في متغير x





[/U]التكامل بالتعويض

نظريه
اذا كانت الداله F داله اصليه للدالهf  وكانت g داله قابله للاشتقاق على فترة ما [a,b] واذا كانت u=g تقع في مجال F لكل قيم الفتره فان



البرهان
استنادا لقاعدة السلسله فان



بتكامل طرفي المساواه

نحصل على



واجر خطوه مماثله مع طرف المساواه الاخر وتحصل على البرهان

مثال
اوجد التكامل



الحل
المشكله كما تشاهدون تكمن في الجذر
بالتالي نحتاج الى عمل خطوات لكي نحصل على صوره مشابهه لما يحتوي جدولنا القياسي من تكاملات
الان نبحث عن علاقات اشتقاقيه بالمثال(طبعا هذا شرح بدائي ولن يتكرر لاحقا لذلك ارجوا التركيز هنا) وفي مثالنا هذا ربما لاتوجد علاقات واضحه جدا لكن المشكله بالتحديد تكمن في الجذر لذلك نحاول التخلص من الجذر والتخلص من الجذر بالتربيع  عادة بالتالي نحتاج ان نعوض عن مابداخل الجذر بقيمه تربيعيه تخلصنا من هذا الجذر الى الابد فهناك واحد من اثنين اما ان نتخلص من الجذر او الجذر يتخلص منا واتمنى ان لا يتحقق الامر الثاني  '<img'>
دعونا نضع التالي بناء على ماتقدم



الان اوجدنا قيمتين للجذر وللمتغير x بقي نوجد قيمة dx بالتكامل ونرى ماذا تساوي
دعونا في المساواه الاخيره ندرس الطرف الايمن لسبب واحد وهو انه بسيط
نشتقه الان


الان نعوض كلا بما يساويه في التكامل فنجد



وش رايكم عاد بالتعويض
طريقه خطيره جدا
الان ندخل في الامثله الاكثر دقه
اوجد



الحل

نضع  

والان نكتب التكامل على الشكل التالي



وانتهى الحل
الان نتجه للتكامل الاخر ونخلص عليه خالص
التكامل الثاني يريد حكمه وبعد نظر ودقه في الاختيار لكي نضع الامور بشكل قريب لما يرد في التكاملات القياسيه او بالاصح بشكل مطابق حتى نجري التكامل



والتكامل يصبح على الشكل التالي



والان انتهى التكامل وراح برحمة ربه
طبعا الان نورد تمارين انا انصح بحلها لمن يريد ان يتعلم فهي تمارين منتقاه بعنايه من كتب ممتازه الى حد ما
تمارين



اتمنى ان اراها محلوله اتمنى ذلك
وطبعا لايعتقد احد انه بقراء المحاضره وفهمها ان ذلك يعني نهاية المطاف لكن المقياس الحقيقي هو تطبيق ماتعلمناه في حل المشكلات التي تواجهنا
المحاضره القادمه مع الطريقه الاخرى وهي التكامل بالتجزيء
بعد ذلك ننتقل الى مفاهيم اخرى ناتجه عن التعويض والتجزيء بطريقه تكون اكثر تفصيل وهي مايسملى بالتعويضات المثلثيه ونصف الزاويه وتفريق الكسور
واشكر الاخ المهلهل على مشاركته معي وعلى العروض المغريه التي قدمها لي
مع التحيه
اخوكم
مازن

سبتمبر 13, 2006, 02:44:52 صباحاً
رد #9

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
التكامل-الطول-المساحه
« رد #9 في: سبتمبر 13, 2006, 02:44:52 صباحاً »
السلام عليكم
المحاضره (12)
التكامل بالتجزيء

الطريقه الثانيه من طرق التكامل هي طريقة التجزيء وهي من الطرق الفخمه لاجراء التكامل ومفيده جدا خصوصا في حساب التكاملات للدوال التي تكون بالغالب من طراز مختلف
مثلا داله اسيه ومثلثيه او كسريه واسيه وعلى هذا الشكل
نظريه
لتكن

اذا كانت مشتقة f , g  موجودتين ومتصلتين على الفتره المغلقه [a,b] فان



للبرهان على هذه الحقيقه استخدم فكرة اشتقاق حاصل ضرب دالتين وكامل طرفي المساواه وتحصل على هذه النتيجه

المهم التكامل بالتجزيء غالبا يستخدم مع كثيرة حدود وداله مثلثيه او مثلثيه عكسيه او اسيه او لوغاريتميه او اسيه ومثلثيه  يعني يخدم مع الدوال المختلفه

طبعا راح اعمل ثلاث تكاملات بالتفصيل بعد ذلك اترك لكم تمارين تحلوها على كيفكم
مثال
احسب التالي



الحل

انا ابي احل الاخيره
يعني من باب التغيير
لاجراء هذا التكامل  نستخدم التجزيء لانه بغير هذه الطريقه لن تحل شيئا
نضع


فنجد



ومنه



طبعا لحل التمرين الاول نضع n=0 وينتهي الامر الان ننتقل للتمرين الثاني

والله طويل هذا

نضع



فنجد



ومنه



الان نجزيء التكامل بالطرف الايمن مع المحافظه على نفس الخيارات لنحصل على



الان بالتعويض عن هذا التكامل في مساواه رقم 1 نحصل على



طبعا يجب ان اشير الى ان اختيار dv خصوصا هي على قابليتها للتكامل بسهوله
الان التمارين



اذا كان    فاثبت ان



الى هنا تنتهي المحاضره
اي سؤال انا حاضر
وارحب مره اخرى بمن يتابعنا بصمت
اتمنى ان تستفيدوا
المره القادمه مع طرق عمليه لحساب تكاملات اقوى قليلا ومع نهاية المحاضرات كل الدوال التي نبحث عن دوال اصليه لها سوف نعرف طرق ايجادها وما عدا ذلك يدرس في مقررات متقدمه
مع التحيه
مازن

سبتمبر 14, 2006, 11:06:29 مساءاً
رد #10

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
التكامل-الطول-المساحه
« رد #10 في: سبتمبر 14, 2006, 11:06:29 مساءاً »
السلام عليكم
كيف حالكم
المحاضره 13
التكاملات من الشكل

طبعا هناك ثلاث حالات
 1-اذا كان m عددا فرديا نفرض ان cosx=t
2-اذا كان n عدد فرديا نفرض ان sinx=t
3-اذا كان كلاهما زوجيين نستخدم الصيغه



مثال
اوجد التكاملات



الحل
1-
لنضع



يصبح التكامل على الشكل



2-
لنضع



يصبح التكامل على الشكل



طبعا ارجعوا الامور الى شكلها الاصلي بترجيع التعويض

3-


تمارين



طبعا حتى لايقول احدكم انه لايوجد تجديد بطريقة المحاضرات فقد قمت بتغيير اللون وهذا بحد ذاته تغيير مهم
للموضوع بقيه
مع التحيه
مازن

سبتمبر 16, 2006, 03:02:28 مساءاً
رد #11

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
التكامل-الطول-المساحه
« رد #11 في: سبتمبر 16, 2006, 03:02:28 مساءاً »
السلام عليكم
نكمل المحاضره السابقه
وسوف ننتهي من هذا قريبا ولعلنا بعده نتحرك الى عرض التكامل بطريقه اكثر رقي  '<img'>
التكاملات من الشكل

حيث n ,m عددان طبيعيان وقد يساوي احدهما الصفر وتصادفنا هنا ثلاث حالات اساسيه
1-n زوجي نستخدم التعويض التالي tanx=u
2-m,n فرديين نستخدم التعويض secx=u
3-n=0 نكت التكامل على الشكل



ونكرر الخطوه حتى نخلص خالص على التكامل
مثال
احسب



نكتب التكامل



لاحظ ان  

اجر التغيير u=tanx ونحصل على



والباقي يكمله القاريء ومن لا يعرف اجراء هذا التكامل فليرجع للبدايه ويقرا من جديد

مثال على الحاله 2
احسب



الحل
نضع التكامل على الشكل



نستخدم العلاقه التاليه
ونستخدم التعويض التالي u=secx ونحصل على



واكمل الحل لانه من هنا يصبح تافهه
المهم اتمنى ان ارى نقاش فاما ان القراء الذي بلغ عددهم اكثر من 1000 افذاذ جدا واما ان شرحي غير واضح
وفي كلا الحالتين من عنده نقد ارجوا ان يقدمه
طبعا اريد ان اقول لكم شيء جميل
يقول فولتير احضر لي ثلاث جمل من اشد الكتاب حرصا لاستخرج منها معنى يستحق عليه الاعدام
وهذه الجمله لمن لايحب الرياضيات ولا اريد ان يخرج احد من هنا خالي الوفاض
مع التحيه
اخوكم
مازن