السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته
لدي سؤال أحتاج الإجابة عليه وهو يتعلق بالمعادلات التفاضلية الاعتيادية الخطية غير المتجانسة بمعاملات متغيرة Linear nonhomogeneous ordinary differential equations with variable coefficients.
سأقتصر على الحديث على المعادلات من الدرجة الثانية والمقصود التعميم.
نستخدم لحل هذا النوع من المعادلات طريقة دالامبير المسماة Reduction of Order أو طريقة لاجرانج المسماة Variation of Parameters حيث في الطريقة الأولى يعطينا أحد الحلين للمعادلة المتجانسة ويطلب منا حلول غير المتجانسة. وفي الطريقة الثانية يعطينا حلي المتجانسة ويطلب منا حلول غير المتجانسة. طبعا إذا كانت المعاملات ثابتة فبالإمكان ألا يعطينا أيا من الحلول!
سؤالي هو.... كيف يعرف واضع السؤال أن ما أعطاه إيانا حل من الحلول؟؟؟؟ أهو ساحر magician أم رياضي mathematician ؟؟؟؟؟؟؟؟؟!!!!!!
من خلال ملاحظاتي للعديد من المسائل وجدتُ أن الأسئلة من هذا النوع تنحصر في ثلاث أنواع:
الأول: معامل المشتقة من الدرجة n هو X مرفوع للأس n
الثاني: معامل المشتقة من الدرجة n هو X مرفوع للأس n+1
الثالث: معامل المشتقات هي دوال خطية في X
بحثتُ وقرأتُ ونقبتُ وفتشتُ وسألتُ فعلمتُ أن النوع الأول يُدعى معادلة كوشي وأويلر.... وهناك طريقة جهنمية لحل هذا النوع من المعادلات (ربنا اصرف عنا عذاب جهنم إن عذابها كان غراما)... أتقنتُ هذه الطريقة الرائعة بفضل الله وحللتُ بها الكثير من المسائل!
فهل لدى أحدكم فكرة عن النوع الثاني والثالث؟؟؟ وهل هناك أنواع أخرى؟؟؟ وما هي الطريقة التي يوجد بها واضع السؤال الحل المتجانس والحل الخاص particular؟؟؟؟؟ وهل يمكن أن تدلوني على كتبٍ أو مواقعَ ذكرت شيئا بهذا الخصوص؟؟؟؟
أرجو من الأساتذة المختصين الإجابة وعذرا على الإزعاج!
والسلام عليكم
