Advanced Search

المحرر موضوع: طرق العد  (زيارة 1805 مرات)

0 الأعضاء و 1 ضيف يشاهدون هذا الموضوع.

سبتمبر 07, 2008, 12:02:36 مساءاً
زيارة 1805 مرات

رقية  فلسطين

  • عضو مبتدى

  • *

  • 4
    مشاركة

    • مشاهدة الملف الشخصي
طرق العد
« في: سبتمبر 07, 2008, 12:02:36 مساءاً »
طرق العد

سأحاول أن أتناول هنا شرح بعض طرق العد البسيطة و التي قد نحتاجها في بعض دراستنا أو في الحياة
أول هذه المبادئ

نظرية:
إذا تكونت عملية ما من خطوتين ،الأولى يمكن إجراؤها بعدد m من الطرق و الثانية بعدد n من الطرق، فإن العملية بأكملها قد تتم بعدد mn طريقة.

و ذلك لأن كل طريقة في الخطوة الأولى يقابلها عدد n من الطرق في الخطوة الثانية و عليه فإن العدد الكلي للطرق المختلفة هو
 ( n +n + n + …+ n)  
 n   مرة
و التي تساوي m n .




و هذه يعتبر من أبسط القواعد و غالبا ما نطبقها بدون الانتباه لذلك فمثلا عندما نرمي قطعة نقد مرتين نقول أن هناك 4 إمكانات مختلفة لظهور الصورة و الكتابة في المرتين،


و كذلك الأمر لو أردنا اختيار رقمين من الأرقام العشرة بدون قيود (على أن يكون ترتيب الاختيار مهم) فإن هناك 10 ×10=100طريقة لاختيار العددين.


حسنا ماذا لو أردنا اختيار رقمين مختلفين

 لمعرفة عدد الطرق لاختيار رقمين مختلفين (على أن يكون الترتيب مهم) سيكون عندنا خطوتين الأولى اختيار العدد الأول و أمامنا عشرة اختيارات {0،1،2،3،4،5،6،7،8،9}
الآن لاختيار العدد الثاني أمامي 9 خيارات لأني بالتأكيد سأختار أي من الأرقام العشرة فيما عدا العدد الذي اخترته في الخطوة الأولى.
و علي  ذلك فإن العملية ستتم في 9×10=90 طريقة

و ذلك لأن كل عدد مختار في الخطوة الأولى سيكون هناك تسع خيارات متاحة له في الخطوة الثانية و عليه يصبح مجموع الإمكانات الكلي 90 إمكانية

و هذه النتائج يعبر عنها على شكل أزواج مرتبة

فمثلا في التجارب السابقة الإمكانات يمكن كتابتها

1- { (ص،ص)، (ص،ك)، (ك،ص)، (ك،ك) }.

2- { (0،0)، (0، 1)،(2،0)،(0، 3)،...،(0، 9)
(0،1)، (1،1)، (2،1)، (3،1)،...،(1، 9)
.
.
.
(9، 0)،(9، 1)،(9، 2)، (9، 3)،....(9،9) }

3- { (0، 1) ،(0، 2) ، (0، 3)،...(0، 9)
(1، 0) ، (1، 2)،(1، 3)، ...،(1، 9)
(2، 0) ، (2، 1)،(2،3)، ...،(2، 9)
.
.
.
(9، 0)،(9، 1)،(9، 2)،...،(8،9)}


نلاحظ أن الامكانات في 3 جزء من الامكانات في 2 و تختلف عنها بحذف العناصر (0،0)، (1،1)، (2،2)، (3،3)...(9،9)
لأن كل منها تعني أن العددين المختارين متشابهان

حسنا ماذا لو رمينا قطعتي نقد مختلفتين هل سيختلف عدد الإمكانات عما حسبناه من إلقاء قطعة نقد واحدة مرتين
بالطبع لا ، سيظل عدد الإمكانات بالطبع أربعة



هذه النقطة مهمة جدا لأننا في هذه الحالة أمامنا عملية تتكون من خطوة واحدة و لكني جزأت تلك الخطوة لأجزاء سهلت علي عملية الحساب ، و هذا ما يحدث في الواقع، فالعمليات في غالبية المسائل ليست على خطوات و لكني أتخيل أن العملية تتم على مراحل و هنا يجب توخي الحذر بأن العملية الناشئة و العملية الأساسية لها بالفعل نفس عدد الامكانات.

لفهم ذلك تخيل
لو أن كانت قطعتي النقد في المثال السابق كانت متشابهة و رميت مرة واحدة هل سيختلف الجواب؟
ما رأيك؟
......................
نلاحظ أننا عندما نرمي قطعتي نقد متشابهتين فإن الامكانات هي
ظهور صورتين، ظهور صورة و كتابة ، ظهور كتابتين
و تختلف عن إلقاء قطعة نقد مرتين في أننا لن نستطيع التمييز بين الحالتين
(ص،ك)، (ك،ص)
لتشابه القطعتين   و عليه لن نستطيع ادراك أيها كانت صورة و أيها كانت كتابة

إذن القاعدة في منتهى السهولة
و لكن مهلا
يجب أن ننتبه أن هذه القاعدة حينما تستخدم فإنها تعطينا النواتج مرتبة فمثلا عند اختيار رقمين فإن الامكانية 3،7 تختلف عن 7،3
و في القاء قطعة النقد مرتين ظهور صورة مرة واحدة يقابله إمكانيتين و ليس واحدة، ما هما؟
 هما ببساطة (ص،ك)، (ك،ص)
  

  إذن لا تنفع هذه الطريقة لحساب
 عدد طرق اختيار طالبين من عشرين طالب لتمثيل المدرسة في مسابقة ما،
لماذا
؟؟؟؟؟

 إذا انتبهنا أن تطبيق قاعدة الضرب يعطينا الإمكانات مرتبة و هذا ما لا تفترضه طبيعة المسألة هنا فمثلا لو كان الطالبين هما أحمد و سعيد فهذا لن يعد إمكانية مختلفة عن اختيار سعيد و أحمد و بالتالي ستكون لدينا إمكانات مكررة إذا طبقنا قاعدة الضرب لذا تطبيقها المباشر هنا لا يفلح.
و بنفس المنطق لن تفلح القاعدة لو أردنا اختيار أربعة طلاب للمسابقة


ستقول القاعدة صارت واضحة الآن
لنر ذلك
بكم طريقة يمكنك اختيار الجامعة و التخصص لطالب أنهى الثانوية العامة ، أمامه أربع جامعات و في كل منها 5 تخصصات متاحة؟.............................

العملية تتكون من خطوتين هما اختيار الجامعة ثم التخصص و الترتيب مهم إذن عدد الطرق هو
4×5=20

بكم طريقة يمكنك أن تدرس 4 ساعات على الأكثر في يومين؟ هل يمكن تطبيق القاعدة و لماذا؟
من الواضح أننا لا نستطيع تطبيق القاعدة لأنني رغم أني يمكنني أن أدرس في اليوم الأول 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4 ساعة فإن عدد ساعات الدراسة لن يكون أمامه كل الخيارات متاحة فلو درس في اليوم الأول 3 ساعات فلن يكون متاحا أمامه إلا أن يدرس 0 أو 1 ساعة و لكنه إذا درس في اليوم الأول 1 ساعة سيكون متاحا له أن يدرس في اليوم الثاني   0 أو 1 أو 2 أو 3 و بالتالي عدد الطرق في الخطوة الثانية ليس ثابتا و بالتالي العدد n  ليس واضحا لذا لا يمكن تطبيق قاعدة الضرب

و لحل هذه المسألة يجب عد كل الامكانات
 فلو درس في اليوم الأول 0 ساعة سيكون أمامه في اليوم الثاني  0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4
أما إذا درس في اليوم الأول 1 ساعة سيكون أمامه في اليوم الثاني  0 أو 1 أو 2 أو 3
و إذا  درس في اليوم الأول2  ساعة سيكون أمامه في اليوم الثاني  0 أو 1 أو 2
و إذا درس في اليوم الأول3  ساعة سيكون أمامه في اليوم الثاني  0 أو 1
و أخيرا إذا درس في اليوم الأول4  ساعة سيكون أمامه في اليوم الثاني  0
و سيكون عدد الامكانت الكلي 5+4+3+2+1
=15
حسنا
إذا فهمنا قاعدة الضرب  جيدا يمكن ببساطة أن نعممها
إذا كانت العملية تتم بعدد من الخطوات K و كانت الخطوة الأولى يمكن إجراؤها بعدد m1 طريقة و الثانية بعدد m2 طريقة و هكذا و الأخيرة بعدد mk طريقة فإن العملية بأكملها يمكن إجراؤها بعدد
m1 x m2 x …mk
طريقة مختلفة
بمعنى أن الطالب إذا كان بإمكانه في المثال السابق بعد إكماله الجامعة أن يكمل دراساته العليا و متاح أمامه 3 تخصصات بكم طريقة تتم العملية كلها؟

العملية أصبحت تتمون من ثلاث خطوات
اختيار الجامعة ثم اختيار التخصص ثم اختيار التخصص في الماجستير
و عليه عدد الطرق هو
4×3×5=120


تعليق
كما أوضحت سابقا هذه القاعدة بسيطة جدا و نحن نطبقها غالبا بصورة بديهيية و لكن وضعها في صورة نظرية يسهل علينا تأطير العلم و تفسير كل شيء له علاقة بطرق العد من نقطة الانطلاق تلك

و من ناحية أخرى هناك أسئلة كثيرة ليست سوى تطبيق سهل للنظرية و لكن يغيب ذلك عن بالنا
فما رأيكم بهذا السؤال الآن
بكم طريقة يمكن الإجابة بطريق عشوائية على اختبار يتكون من عشرين سؤال (صح و خطأ)؟
و بكم طريقة يمكن الإجابة عليها كلها بطريقة صحيحة؟

.
...
........
.....

ملاحظة: يجب الانتباه لنقطة و هي أن البعض يختلط علي الأمر حول تكون العملية من خطوتين كلاهما ضروري لاتمام العملية و لا تتم العملية إلا بتحققهما معا و هذا مجال تطبيق النظرية كما أوضحنا مسبقا و بين عملية أمامها خيارين كل منهما له امكانات مختلفة ففي الحالة الأولى تطبق قاعدة الضرب و في الحالة الثانية نجمع ببساطة لايجاد كل الطرق الممكنة كما رأينا في سؤال ساعات الدراسة
اللهم إنا نعوذ بك أن نكون ممن قلت فيهم



"وَمَنْ أَضَلُّ مِمَّنِ اتَّبَعَ هَوَاهُ بِغَيْرِ هُدىً مِنَ اللَّهِ ،إِنَّ اللَّهَ لا يَهْدِي الْقَوْمَ الظَّالِمِينَ"

سبتمبر 07, 2008, 11:52:25 مساءاً
رد #1

الخالد

  • عضو خبير

  • *****

  • 2286
    مشاركة

  • مشرف الرياضيات

    • مشاهدة الملف الشخصي
    • http://
طرق العد
« رد #1 في: سبتمبر 07, 2008, 11:52:25 مساءاً »
السلام عليكم
بارك الله بك اختي الكريمة..
مشاركة قيمة  '<img'>
الله يحفظك.

تحياتي


كفى بك داء أن تـرى الموتَ شـافيـاً                و حسبُ المنـايا أن يكنّ أمانيـــا

سبتمبر 08, 2008, 06:05:11 صباحاً
رد #2

شرشبيل

  • عضو خبير

  • *****

  • 2558
    مشاركة

  • مشرفة الكيمياء

    • مشاهدة الملف الشخصي
طرق العد
« رد #2 في: سبتمبر 08, 2008, 06:05:11 صباحاً »
السـلام عليـكم ورحمة الله وبركاته ...

       الأخت الكريمة  " رقية  فلسطين "
  
        بداية جميلة ومشـاركة أجمـل .. بارك الله فيك وننتظر المزيـد.. '<img'>

        دمتِ بخير... أختك: شرشبيـــل
      نـحـن والكيميـاء..(للمـناقشة)

                                          ** "وَاتَّقُـوا يَوْماً تُرْجَعُونَ فِيهِ إِلَى اللَّه" **
          


                      دعــــــــــــــواتكم لي بالتوفيــــــــــــــــق

سبتمبر 08, 2008, 02:27:30 مساءاً
رد #3

رقية  فلسطين

  • عضو مبتدى

  • *

  • 4
    مشاركة

    • مشاهدة الملف الشخصي
طرق العد
« رد #3 في: سبتمبر 08, 2008, 02:27:30 مساءاً »
أخي الكريم الخالد
أختي الكريمة شرشبيل
أشكركما جزيل الشكر
نرجو من الله أن نستفيد و نفيد من هذا الموقع الرائع
بارك الله فيكما
اللهم إنا نعوذ بك أن نكون ممن قلت فيهم



"وَمَنْ أَضَلُّ مِمَّنِ اتَّبَعَ هَوَاهُ بِغَيْرِ هُدىً مِنَ اللَّهِ ،إِنَّ اللَّهَ لا يَهْدِي الْقَوْمَ الظَّالِمِينَ"