السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مرحباً
يمكن حل السؤال بثلاث طرق مختلفة
الأولى : الحل الجبرى لنظام معادلتين ذات مجهولين
من معادلة المستقيم نجد أن س = (19 - 4 ص ) \ 3
بالتعويض فى معادلة الدائرة عن قيمة س
نحصل على معادلة من الدرجة الثانية فى ص
(361 - 152 ص + 16 ص2)\9 + ص2 - ( 76 - 16 ص )\ 3 + 6 ص - 12 = 0
وبضرب الطرفين × 9 والفك والتجميع
25 ص2 - 50 ص + 25 = 0 وبقسمة الطرفين على 25
ص2 - 2 ص + 1 = 0
( ص - 1 )2 = 0 ومنها ص =1 وهذا يؤدى إلى أن س = 5
أى أن المستقيم يشترك مع الدائرة فى نقطة واحدة ( 5 , 1)
فهو مماس للدائرة عند هذه النقطة
الحل الثانى : مركز الدائرة ( -4\-2 , 6\-2 ) = ( 2 , - 3 ) ونصف قطرها = 5
الشرح
نوجد طول العمود ( ل) الساقط من مركز الدائرة على هذا المستقيم
فإذا كان
ل > نق ( دل ذلك على أن المستقيم لا يقطع الدائرة ومجموعة الحل فاى)
ل = نق ( دل ذلك على أن المستقيم يمس الدائرة) ولإيجاد نقطة التقاطع توجد معادلة العمودى على المستقيم المعطى والمار بمركز الدائرة ثم نحل معادلتى المستقيمين معا لإيجاد نقطة التماس
ل < نق ( دل ذلك على أن المستقيم يقطع الدائرة فى نقطتان )
الحل
طول العمود الساقط من التقطة ( د , هـ) على المستقيم الذى معادلته أ س + ب ص + جـ = 0
يعطى من القانون
ل = | أ د + ب هـ + جـ | \ الجذر التربيعى ( أ 2 + ب 2 )
ل = | 3×2 + 4 ×(-3) - 19 | \ 5 = 25\5 = 5 = نق
نستنتج أن المستقيم مماس للدائرة
ميل المماس = -3\4 فيكون ميل العمودى عليه = 4\3
معادلة العمودى على المماس
ص + 3 = 4( س - 2 )\ 3
معادلة العمودى على المماس هى
4س - 3 ص - 17 = 0 بالضرب × 4 نجد أن 16س - 12ص -68 = 0
معادلة المماس هى
3س + 4 ص - 19 = 0 بالضرب × 3 نجد أن 9س + 12 ص - 57 = 0
بالجمع
25 س - 125 = 0 ومنها س =5 وهذا يؤدى إلى أن ص = 1
نقطة التماس هى ( 5 , 1)
الطريقة الثالثة
الصورة العامة لمعادلة الدائرة هى
س2 + ص2 - 2أ س - 2 ب ص + جـ = 0 مركزها ( أ , ب )
الصورة العامة لمعادلة المماس لهذه الدائرة عند النقطة (س1 , ص1) الواقعة عليها
س1 س + ص1 ص - أ( س1 + س) - ب ( ص1 + ص ) + جـ = 0
وبتطبيق هذه الصورة على معادلة الدائرة المعطاة نجد أن
معادلة المماس لها عند النقطة ( س1 , ص1) الواقعة عليها هى
س1 س + ص1 ص - 2 ( س1 + س ) + 3 ( ص1 + ص) -12 =0
( س1 -2) س + ( ص1 + 3) ص + (-2س1+ 3ص1 - 12) =0
ولكى يكون المستقيم 3س + 4ص - 19 = 0 مماس لها يجب أن تكون
س1 - 2 = 3 ومنها نستنتج أن س1 = 5
ص1 + 3 = 4 ومنها نستنتج أن ص1 = 1
فإذا كانت هذه النتائج تؤدى أيضا لتطابق الحدان المطلقان كان المستقيم مماس للدائرة
وبالتعويض فى الحد المطلق ( -2س1 + 3 ص1 -12 )
عن س1=5 , ص1 =1 نجد أن ( -10 + 3 - 12 ) = -19 الحد المطلق للمستقيم المعطى
نستنتج أن المستقيم يمس الدائرة عند النقطة ( 5 , 1)
تحياتى
