حان تعني حا^ن ، حا^2 س تعني مربع حا س
التفاضـل
القسم التاسع
المشتقة الأولى للدوال غير الجبرية
أولاً : حاس
رسم منحنى الدالة مبين بالشكل حيث – 1 <= حا س <= 1
د(س) = حا س .............. (1)
د(س + هـ) = حا( س + هـ ) ........... (2) بإحداث تغير صغير جداً قدره هـ
وبالطرح (1) ، (2)
ت(هـ) = حا( س + هـ) – حا س حيث ت(هـ) = د(س + هـ) – د(س) وبتطبيق قوانين حساب المثلثات نحصل على
ت(هـ) = [حا( س + هـ) – حا س]
ت(هـ) = 2 حتا½(س + هـ + س) حا½(س + هـ –س)
ت(هـ) = 2 حتا½(2س + هـ) حا½(هـ) وبالقسمة على هـ نحصل على م(هـ) وهو متوسط معدل التغير
م(هـ) = [2 حتا½(2س + هـ) حا½(هـ)] ÷ هـ= حتا½(2س + هـ) × [حا½(هـ) ÷ ½هـ] وبأخذ النهاية عندما هـ تؤول للصفر
م(هـ) = حتا½×2س × 1 لأن نهاية [حا½(هـ) ÷ ½هـ] = 1 عندما ½هـ تؤول للصفر
د¯(س) = حتاس
نتيجة : د(س) = حا[ق(س)] فإن : د¯(س) = حتا[ق(س)] × ق¯(س)
نتيجة : د(س) = حان[ق(س)] فإن : د¯(س) = ن [حان – 1ق(س)] × حتاق(س) × ق¯(س)
مثال(1) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = س2 حا س
الحــل :
مشتقة حاصل ضرب دالتين (س2 ، حاس) = الدالة الأولى × مشتقة الدالة الثانية + مشتقة الدالة الأولى × الدالة الثانية
ص¯ = س2حتاس + 2 س حا س
مثال(2) :
إذا كانت د(س) = حا( 2 س + 3 ) فأوجد د¯(س) عند س = 43.5
الحــل :
د¯(س) = حتا(2 س + 3) × 2 مشتقة الدالة الدائرية × مشتقة الزاوية
د¯(س) = 2 حتا(2 س + 3) عند أي قيمة للمتغير س
د¯(43.5) = 2حتا( 2 × 43.5 + 3) = 2 حتا90 = 2 × 0 = 0
مثال(3) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة ق(س) = 3 حا3(2 س2 + 3س +1)
الحـل :
ق¯(س) = 3 × 3[حا2(2 س2 + 3س +1)] × [حتا(2 س2 + 3س +1)] × ( 4 س + 3)
ق¯(س) = 9(4 س + 3)حا2(2 س2 + 3س +1)حتا(2 س2 + 3س +1)
مثال(4) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = حا2س حتا2س
الحـل :
يمكن حل المسألة على أساس حاصل ضرب دالتين ولكن لدينا قانون حا2س = 2 حاس حتاس وهذا يقودنا لجعل المسألة في جيب الزاوية
ص = 4 حا2س حتا2س ÷ 4
ص = ¼ حا2(2س)
ص¯ = ¼ × 2 حا2س × حتا2س × 2
ص¯ = حا2س × حتا2س
ص¯ = ½ حا4س
ثانياً : حتاس
رسم منحنى الدالة مبين بالشكل حيث – 1 <= حتا س <= 1
د(س) = حتا س .............. (1)
د(س + هـ) = حتا( س + هـ ) ........... (2) بإحداث تغير صغير جداً قدره هـ
وبالطرح (1) ، (2)
ت(هـ) = حتا( س + هـ) – حتا س حيث ت(هـ) = د(س + هـ) – د(س) التغير في الدالة
وبتطبيق قوانين حساب المثلثات نحصل على
ت(هـ) = [حتا( س + هـ) – حتا س]
ت(هـ) = –2 حا½(س + هـ + س) حا½(س + هـ –س)
ت(هـ) = –2 حا½(2س + هـ) حا½(هـ) وبالقسمة على هـ نحصل على م(هـ) وهو متوسط معدل التغير
م(هـ) = [–2 حا½(2س + هـ) حا½(هـ)] ÷ هـ= – حا½(2س + هـ) × [حا½(هـ) ÷ ½هـ] وبأخذ النهاية عندما هـ تؤول للصفر
م(هـ) = – حا½×2س × 1 لأن نهاية [حا½(هـ) ÷ ½هـ] = 1 عندما ½هـ تؤول للصفر
د¯(س) = – حاس
نتيجة : د(س) = حتا[ق(س)] فإن : د¯(س) = – حا[ق(س)] × ق¯(س)
نتيجة : د(س) = حتان[ق(س)] فإن : د¯(س) = ن [حتان – 1ق(س)] × – حاق(س) × ق¯(س) وهذا ينطبق على باقي الدوال الدائرية
مثال(1) :
إذا كانت س حا ص + ص حتا س = 0 فأوجد ص¯
الحـل :
بإجراء الاشتقاق لحاصل ضرب دالتين على حديّ المعادلة
س حتا ص × ص¯ + 1× حا ص + ص × – حاس + ص¯ حتا س =0
ص¯( س حتا ص + حتا س) – ( ص حا س – حا ص ) = 0
ص¯ = ( ص حا س – حا ص ) ÷ ( س حتا ص + حتا س)
مثال(2) :
إذا كانت د(س) = 2 حتا2س – 1 فأوجد د¯(45)
الحـل :
د¯(س) = 2 × 2 حتا س × (– حا س)
د¯(س) = –4 حتا س حا س يمكن وضعها بالصورة
د¯(س) = –2 حا2س حيث حا 2س = 2 حاس حتاس
د¯(45) = –2 حا2×45
د¯(45) = –2 حا90
د¯(45) = –2 × 1
د¯(45) = –2
حـل آخر
د(س) = حتا2س لأن حتا2س = حتا2س – حا2س = 2 حتا2س – 1 = 1 – 2 حا2س
د¯(س) = – حا2س × 2
د¯(س) = –2 حا2س
د¯(45) = –2 حا90 = – 2 × 1 = – 2
ثالثاً : طا س
د(س) = طا س يمكن البرهنة بنفس الطريقة السابقة ولكن سنستخدم الطريقة التاللية
د(س) = حا س ÷ حتا س بالاشتقاق كقسمة دالتين
د¯(س) = [ حتا س × حتا س – حا س × – حا س ] ÷ حتا2س
د¯(س) = [ حتا2س + حا2س ] ÷ حتا2س
د¯(س) = 1÷ حتا2س
د¯(س) = قا2س
نتيجة : د(س) = طا[ق(س)] فإن : د¯(س) = قا2[ق(س)] × ق¯(س)
رابعاً : طتا س
هنا يمكن استخدام الطريقة العادية باستخدام المبادئ الأولية أو طتاس = حتاس ÷ حاس أو طتاس = طا(½ ط – س) أو طتاس = 1 ÷ طاس
د(س) = طتا س
د(س) = طا(½ ط – س)
د¯(س) = قا2(½ ط – س) × – 1
د¯(س) = – قتا2س
خامساً : قا س
د(س) = قا س
د(س) = 1 ÷ حتا س
د¯(س) = [ حتا س × 0 – 1 × – حا س ] ÷ حتا2س
د¯(س) = حا س ÷ حتا س جتا س
د¯(س) = قا س طا س
سادساً : قتا س
د(س) = قتا س
د(س) = 1 ÷ حا س
د¯(س) = [ حا س × 0 – 1 × حتا س ] ÷ حا2س
د¯(س) = – حتا س ÷ حا س جا س
د¯(س) = – قتا س طتا س
أو
د(س) = قتا س
د(س) = 1 ÷ حاس = حا-1س
د¯(س) = – حا-2س × حتا س
د¯(س) = – حتا س ÷ حا س جا س
د¯(س) = – قتا س طتا س
أمثلــة :
1) أوجد المشتقة الأولى للدالة د(س) = قا3س½ بالنسبة إلى س ثم احسب قيمة المشتقة عند س = صفر
الحــل :
د¯(س) = 3 قا2س½ × قا س½ طا س½ × ½ س–½
د¯(س) = 1.5س–½ قا3س½ طا س½
د¯(س) = 1.5س–½ قا3س½ طا س½
د¯(0) = صفر
2) أوجد ص¯ لكل من المعادلات الآتية :
أ) س ص – س قا ص – ص طا س – 16 = 0
ب) س2 حا ص – ص2 حا س – 8 = 0
الحـل :
أ) س ص¯ + 1 × ص – ( س قا ص طا ص × ص¯ + 1 × قا ص ) – ( ص قا2س + ص¯ طا س) – صفر = 0
س ص¯ + ص – س ص¯ قا ص طا ص – قا ص – ص قا2س – ص¯ طا س = 0
س ص¯ – ص¯ طا س – س ص¯ قا ص طا ص + ص – قا ص – ص قا2س = 0
ص¯ ( س – طا س – س قا ص طا ص ) = قا ص + ص قا2س – ص
ص¯ = ( قا ص + ص قا2س – ص ) ÷ ( س – طا س – س قا ص طا ص )
ب) (س2حتاص × ص¯ + 2 س حاص ) – ( ص2حتا س + 2 ص ص¯ حا س ) – صفر = 0
س2حتاص × ص¯ + 2 س حاص – ص2حتا س –2 ص ص¯ حا س = 0
س2حتاص × ص¯ –2 ص ص¯ حا س + 2 س حاص – ص2حتا س = 0
ص¯( س2حتاص –2 ص حا س ) + 2 س حاص – ص2حتا س = 0
ص¯( س2حتاص –2 ص حا س ) = ص2حتا س – 2 س حاص
ص¯ = ( ص2حتا س – 2 س حاص ) ÷ ( س2حتاص –2 ص حا س )
=============================
بالنسبة للدوال الدائرية العكسية الستة حا–1س، حتا–1س، طا–1س، طتا–1س، قا–1س، قتا–1س سيكون اشتقاق أي منها بعد وضعها في صورة جديدة ولنأخذ دالة الجيب كمثال حيث سنكتبها بالصورة س = حا ص ومن ثم نشتق بالنسبة إلى ص وبعد ذلك نوجد المشتقة المطلوبة، هذا ويجب أن نهتم بقوانين حساب المثلثات ومن أهمها
حا^2 س + حتا^2 س = 1 ومنها حا^2 س = 1 – حتا^2 س ، حتا^2 س = 1 – حا^2 س
قا^2 س – طا^2 س = 1 ومنها قا^2 س = 1 + طا^2 س ، طا^2 س = قا^2 س – 1
قتا^2 س – طتا^2 س = 1 ومنها قتا^2 س = 1 + طتا^2 س ، طتا^2 س = قتا^2 س – 1
سابعاً : حا–1س ، حتا–1س
من منحنى الدالة نجدها متعددة القيم فإذا أعطينا للمتغير س قيمة مثل 0.5 فالدالة تأخذ قيماً متعددة مناظرة والمستقيم س = 0.5 يقطع المنحنى في عدة نقط كما هو مبين بالرسم ، ولإيجاد المشتقة نقول :
بنفس الطريقة يمكن استنتاج اشتقاق الدوال الأخرى
الدالة الأسية هـ^س
من المعلوم أن هـس = 1 + س + س2÷ 1×2 + س3÷ 1×2×3 + س4÷ 1×2×3×4 + ... مالانهاية
وعلى فرض أن هذه المتسلسلة متقاربة وهو صحيح فبالاشتقاق نحصل على الدالة نفسها حيث يكون
(هـ^س )¯ = 0 + 1+ 2س ÷ 1×2 + 3س2÷ 1×2×3 + 4س3÷ 1×2×3×4 + ... مالانهاية
(هـ^س )¯ = 1+ 2س ÷ 1×2 + 3س2÷ 1×2×3 + 4س3÷ 1×2×3×4 + ... مالانهاية
(هـ^س )¯ = هـ^س أي مشتقتها نفس الدالة وهي خاصية تمتاز بها هذه الدالة وتمتاز بخاصية أخرى طول تحت المماس عند أي نقطة = 1 دوماً ويتضح ذلك من الرسم المرفق حيث أن
ص = هـ^س
ص¯ = هـ^س وهو ميل المماس
أي ميل المماس = ص
ولكن الميل هو ظل الزاوية أي طا د ب حـ = ص
لكن طا د ب حـ = د حـ ÷ ب حـ = ص ÷ ب حـ
أي ص = ص ÷ ب حـ
ب حـ = 1
طول تحت المماس = 1 مهما كان موضع النقطة د
الدالة الأسية ب^س
يتنبع أمثلـة وتمارين :
