تطبيقات التكامل المحدد

[adad]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
السؤال هو
أوجد طول القوس من المنحنى المعطى                             y= e ^ x

من  x=0                       الىx=b


أرجو الحل بالخطوات
وشكرا

[الخالد]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

طول منحنى من a إلى b  يحسب بالقانون التالي:

sqr[1-(dy/dx)^2] dx

b ó ô õ a

ولكن : dy/dx=e^x

وبالتالي طول المنحنى المطلوب يحسب بالشكل التالي:

sqr[1-(e^x)^2] dx

b ó ô õ 0

ويمكن حل هذه المسألة بالتعويض التالي:

u=e^x
du=e^x dx

وطبعاً ستتغير حدود التكامل بناء على التعويض الجديد

تصبح المسألة :

sqr[1-u^2] du/u

e^b ó ô õ 1

=

sqr[(1-u^2)/u^2] du

e^b ó ô õ 1

ومن جدول التكاملات القياسية يمكن ايجاد التكامل الأخير:
Sin^-1(x)-sqr(1-x^2)/x-  

ويبقى التعويض بـ ( 1 إلى  e^b )