نظرية بيك

[الخالد]

بسم اللة الرحمن الرحيم

الأخوة الكرام...
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته



نظرية بيك  Pick's Theorem *

في البداية دعونا نتأمل الشكل التالي:



هذا الشكل يمثل مستوى ديكارتي وبه مجموعة من النقاط ذات الاحداثيات السينية والصادية
تم انشاء مضلع في المستوى بحيث توجد مجموعة من النقاط واقعة داخل المضلع ومجموعة أخرى على محيط المضلع.
لننظر لو قسمنا المضلع إلى مساحات صغيرة ( كما في الشكل أعلاه )
سنلاحظ أن المربعات الصغيرة مساحتها الوحدة ، كذلك المثلثات يمكن ملاحظة ان كل منها يمثل مساحة مطابقة لمساحة المربع.
أما الجزء الأخير ( الملون بالبني ) فهو يمثل نصف مساحة المربع.

نظرية بيك تنص على التالي :

مساحة المضلع = عدد النقاط داخل المضلع + نصف عدد النقاط الوا قعة على المحيط -1

أو بشكل آخر لو افترضنا اسم المضلع P و عدد النقاط داخل المضلع P هي i وعدد النقاط على حد المضلع هي b

فإن :

Area(P) = i + (b/2) - 1

وهذا مثال آخر:


Area(P) = i + (b/2) - 1

Area(P) = 31 + (15/2) - 1 = 37.5

هذه النظرية لها أهمية كبيرة في الهندسة وقد اهتم بها الكثير من الرياضيين مثل " أويلر "
وهناك برهان معروف لهذه النظرية ، وقد نستعرضه في المستقبل


*Georg Alexander Pick " بيك " رياضي نمساوي ولد في فينا عام 1859 ومات حوالي عام 1943