س^3 + ص^3 + ع^3 = -630 ------(1)
س^2 + ص^2 + ع^2 = 158 -------(2)
س + ص + ع = 0 ------------------(3)
من المعادلة (3) نجد: ع = -(س + ص)
ومن ذلك: ع^3 = -(س^3 + 3س^2 ص + 3س ص^2 + ص^3)
وبالتعويض في المعادلة (1) عن قيمة ع نجد:
- 3س^2 ص - 3س ص^2 = -630
وبالقسمة على -3 نجد:
س^2 ص + س ص^2 = 210 -----(4)
وبنفس الشكل نجد أن: ع^2 = س^2 + 2س ص + ص^2
وبالتعويض في المعادلة (2) هذه المرة نجد:
2س^2 + 2ص^2 + 2س ص = 158
وبالقسمة على 2:
س^2 + ص^2 + س ص = 79 -------(5)
نضرب المعادلة (5) في س ونطرح منها المعادلة (4) نحصل على المعادلة التالية:
س^3 = 79س - 210 أو س^3 - 79س + 210 = 0 والتي تحلل على الشكل التالي:
(س - 3)(س - 7)(س + 10) = 0 أي أن الجذور الممكنة للمجهول س هي: 3، 7، -10
أولاً: عندما س = 3 من المعادلة (4) نحصل على المعادلة:
9ص + 3ص^2 = 210 أو ص^2 + 3ص - 70 = 0 والتي تحلل على الصورة:
(ص - 7)(ص + 10) = 0 أي أن الجذور الممكنة للمجهول ص في هذه الحالة هي: 7، -10
عندما ص = 7 نجد من (1) أن ع = -10 (مع التعويض بالقيمة س = 3)
وبتجربة الثلاثي (س = 3، ص = 7، ع = -10) في المعادلات (1)(2)(3) للتأكد من أنه يحقق المعادلات الثلاث آنياً نجد أنه حل لهذا النظام.
عندما ص = -10 نجد من (1) أن ع = 7 وكذلك (3، -10، 7) يمثل حلاً للنظام
ثانياً: عندما س = 7 من (4) نجد المعادلة:
ص^2 + 7ص - 30 = 0 والتي لها الحلين: 3، -10
عندما ص = 3 فإن ع = -10 و (7، 3، -10) حل للنظام.
عندما ص = -10 فإن ع = 3 و (7، -10، 3) حل للنظام.
أخيراً: عندما س = -10 من (4) نجد المعادلة:
ص^2 + 10ص - 21 = 0 والتي لها الحلين: 3، 7
عندما ص = 3 فإن ع = 7 و (-10، 3، 7) حل للنظام.
عندما ص = 7 فإن ع = 3 و (-10، 7، 3) حل للنظام.
الثلاثيات التالية هي جميع الحلول الممكنة للنظام:
(3، 7، -10) و (3، -10، 7) و (7، 3، -10) و (7، -10، 3) و (-10، 3، 7) و (-10، 7، 3)
ملاحظة: في مثل هذه الحالات يجب اختبار كل الحلول التي تستنتج للتأكد من أنها فعلاً حلول.
مع تحيات درويش