مساحة المربع ومساحة المستطيل

[الخالد]

مربع ومستطيل قطر كل منهما له الطول نفسه . أيهم أكبر مساحة؟ ولماذا؟

[darweesh]

الأخ العزيز الخالد:

نحصل على أكبر مساحة عندما يكون الشكل مربعاً. هل تستطيع أن تثبت ذلك؟.

مع تحياتي

درويش

[ghnddr]

الاثبات :
ان مسحة المستطيل تساوي نصف حاصل ضرب القطرين في جيب الزاوية بينهما
واعلى قيمه للجيب هي عندما تكون الزاوية قائمة اى الجيب يساوي 1  اي عندما يكون الشكل مربع
...............................
          وفوق كل ذي علم عليم
                  ...........................

[ghnddr]

الاثبات :
ان مساحة المستطيل تساوي نصف حاصل ضرب القطرين في جيب الزاوية بينهما
واعلى قيمه للجيب هي عندما تكون الزاوية قائمة اى الجيب يساوي 1  اي عندما يكون الشكل مربع
...............................
          وفوق كل ذي علم عليم
                  ...........................

[الخالد]

نعم أخي درويش يمكن إثبات أن مساحة المربع في هذه الحالة أكبر:

أفرض أن :
ب هوطول ضلع المربع
جـ طول المستطيل
د عرض المستطيل
س هو طول القطر

مساحة المربع = ب^2
مساحة المستطيل= جـ د

المطلوب إثبات أن  
ب^2 > جـ د

البرهان:

بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم في المربع:
ب^2 + ب^2 = س^2
اي أن : 2ب^2 = س^2
وبتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم  في المستطيل:
جـ^2 + د^2 = س^2
بمساوات ما سبق:
2ب^2 = جـ ^2 + د^2

ولكن: ( جـ - د) ^2 = جـ^2 + د^2 - 2جـ د

وهذا يكافئ : 2جـ د + (جـ - د )^2 = جـ^2 + د^2

(جـ - د )^2 > 0

إذن : 2جـ د < جـ^ + د^2

ولكن من المساواة في البداية

2ب^2 = جـ ^2 + د^2

إذن :2جـ د < 2ب^2

أي أن :  جـ د < ب^2

مساحة المستطيل < مساحة المربع

تحياتي لك

[darweesh]

السلام للأخوة الأعزاء:

لقد أعجبني جواب أخينا غندر لأنه قصير جداً كما أعجبتني فكرة الخالد في الحل مع ملاحظة أنه لا حاجة للجملتين التاليتين:

"ولكن: ( جـ - د) ^2 = جـ^2 + د^2 - 2جـ د"

"وهذا يكافئ : 2جـ د + (جـ - د )^2 = جـ^2 + د^2"

لأنك تستطيع الوصول إلى النتيجة دون استخدامهما.

الفكرة التي لدي للحل طويلة لذا فلا حاجة لها.

مع تحياتي

درويش