سؤال اليوم(2)

[ahmed1975]

أيهما أكبر

99^ن + 100^ن

أم

101^ن؟

حيث ن تنتمي لمجموعة الاعداد الطبيعية

[الشبل]

السلام عليكم ورحمة وبركاته

[ahmed1975]

للرفع  لا أكثر من هذا

[funny girl]

الأكبر هي 99أس ن + 100أس ن

 '>    '>

اقووووووووول
من وين اقدر اكتب العلامة الدالة على الأس بواسطة الكي بورد
 '>

[darweesh]

الحل:
ن^99 + ن^100 > ن^101  عندما  ن = 1 ، عوض وسترى النتيجة.

ن^99 + ن^100 < ن^101  عندما  ن >= 2 ، ولإثبات ذلك نبين أن:

بما أن  ن >= 2 ، وبضرب طرفي هذه المتباينة في  ن  نجد إن:

ن^2 >= 2 ن = ن + ن > ن + 1

أي أن:  1 + ن < ن^2 ، وبضرب طرفي هذه المتباينة في  ن^99  نجد إن:

ن^99 + ن^100 < ن^101

وبهذا يكتمل المطلوب.

مع تحيات درويش

[محترف]

الى المتألق درويش
يبدو انك فهمت السؤال خطأ

السؤال هو 99 ^ ن وليس ن ^ 99
مع ثقتي انك قادر على حل السؤال بالصيغتين

تحياتي

[رانيا00]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته،،،
كما تفضل استاذي درويش،،،
بالتعويض المباشر عن قيمه ن={1 ، 2 ، 3 ، .......}=ط نجد ان:
99 اس ن + 100 اس ن > من  101 اس ن
أو :
عندي اختراح اخر ، نستخدم اللوغارتم وذلك للتسهيل
لو 101 اس ن = ن لو 101=2.00432ن  ......( 1)
و
 لو 99 اس ن + لو 100 اس ن= ن لو 9900=3.9956ن ..... ( 2)
 نجد ان  ( 2) > (1)
 

تحياتي  ،،،

[darweesh]

لحل هذه المسألة نبحث إشارة المقدار  101^ن - 100^ن - 99^ن  التي هي في الواقع نفس إشارة المقدار  (1.01)^ن - (0.99)^ن - 1  (الذي نتج لدينا من القسمة على  100^ن).

الآن نبحث سلوك الدالة  د(س) = (1.01)^س - (0.99)^س - 1  حيث  س >= 0.

أولاً لاحظ أن المشتقة الأولى موجبة [ دَ(س) = (1.01)^س × لو(1.01) - (0.99)^س  × لو(0.99) ،  لأن لو(0.99) سالب ] وهذا يعني أن الدالة د متزايدة باطراد.

ثانياً: لاحظ أن  د(0) = -1 < 0  و  د(50) = 0.039625755 > 0  وهذا يعني أن د لها جذر بين 0 و 50 وهذا الجذر وحيد لأن د متزايدة ويمكن حساب هذا الجذر بطريقة نيوتن فنجد أنه 48.2275243 ومنحنى الدالة د تحت محور س عند القيم الأصغر من الجذر وهو فوق محور س عند القيم الأكبر من هذا الجذر.

ومن هذا نجد أنه إذا كان  ن  عدداً طبيعياً فإن: د(ن) < 0  عندما  ن =< 48  و  د(ن) > 0  عندما  ن > 48 .

إذن: 99^ن + 100^ن > 101^ن  عندما  ن =< 48   ،    99^ن + 100^ن < 101^ن  عندما  ن > 48

درويش

ملاحظة: لقد حصل لدي خلط وذلك لأني معتاد على كتابة المعادلات بالأحرف اللاتينية من اليسار إلى اليمين، كما أشكر "محترف" للتنبيه. هل يوجد حل مختلف؟