للمتفوقين في الرياضيات ولمن يرغب في أن يكون كذلك

[محمد شكري الجماصي]

للمتفوقين في الرياضيات ولمن يرغب في أن يكون كذلك
هذه مجموعة من المسائل المختارة من الكتب المدرسية والمجلات منذ أكثر من 20 سنة وهي مسائل ليست بالسهلة ولكنها تعطي للعقل نمو كبيرا ومجال أكبر للتفكير والإدراك

1) أثبت أن حاصل ضرب أربع أعداد متتالية مضافاً لها واحد صحيح هو دوما مربع كامل
مثل 2×3×4×5+1=121 مربع كامل
2) لديك 38 كرة منها الحمراء والبيضاء والزرقاء ، فإذا علمت ان عدد الكرات البيضاء أقل من نصف عدد الكرات الحمراء وأن مربع عدد الكرات الزرقاء يساوي عدد الحمراء مضروبا في عدد البيضاء فكم كرة من كل لون؟
3)عدلي وتوفيق صديقان منذ أيام الدراسة تقابلا بعد غيبة طويلة في سيارة أتوبيس فبعد تبادل التحية والسؤال عن الصحة والأسرة والأنجال قال توفيق : لنا مدة طويلة لم نتقابل فيها ، إننا نريد أن نستعيد ذكريات الماضي السعيدة، إني أدعوك لتناول العشاء معنا مساء اليوم ، إن زوجتي ولدي سيسر حين يرى زميل أبيه، فقال عدلي : بكل سرور ، ولكن ما هو العنوان؟ فقال توفيق : إني أقطن في الشارع الفردي، إنه سمي بذلك ليس بالنسبة لأن عدد سكانه فرديا ولكن لأن جميع أرقام منازله فردية، إن نمرة منزلي تتكون من 3 أرقام وهي مربع لعدد فردي ولو عكست نمرة منزلي فالناتج مربعا كاملا لعدد فردي هو عكس العدد الفردي الأول فقال عدلي سوف أكون عندك في تمام الساعة السابعة مساء وفي الميعاد المحدد توجه عدلي لصديقه توفيق وتناول طعام العشاء عنده وأمضيا وقتا لطيفا، ولكن مالنا وهذا الحديث، ما هي نمرة منزل توفيق؟ هل لك أن تستنتجها؟

نكتفي بهذا ولا داعي لتضيع الوقت في حلها بل هي مجرد مسائل من الكتب القديمة فالكتب الحالية خاوية على عروشها من هذا النوع من المسائل ، مسائل الفكر

[ahmed1975]

أستاذي
لقد حللت السؤال الأول و سأرسله لك على البريد الإليكتروني لأترك مجالاً أكبر للإخوة كي يفكروا

و الملاحظ دائماً

بأن العدد المربع الناتج يكون من تربيع ( حاصل ضرب أصغر الأعداد الأربعة في أكبرها مجموعاً لها العدد 1 )

مثال (1)

5×6×7×8 +1 = ((5×8)+1)^2 = 41^2

مثال (2)

(-4) × (-3) × (-2) × (-1) + 1 = ((-4) × (-1) +1)= ( 5 )^2 = 25

مثال (3)

(-2) × (-1) × (صفر) × (1) + 1 = ( (-2) × (1) +1)^2 = 1

و بقية الحلول تأتي حين أتفرغ

[ahmed1975]

السؤال الثاني سهل جداً

و الإجابة كالتالي :

عدد الكرات البيضاء = 8 كرات
عدد الكرات الحمراء = 18 كرة
عدد الكرات الزرقاء = 12 كرة

[محمد شكري الجماصي]

استاذ احمد
السؤال الثاني ليس بالسهل حيث لم أطلب الجواب بل أردت البرهان أو الأثبات فمن أين لك هذه الاعداد عذه الرياضيات نريد حلا للمسألة وليس جواب إلا إذا كنت ترى ذلك حلا

ملاحظتك على السؤال الأول رائعة جداً وتستحق الشكر عليها ، احسنت استاذ احمد
تمنياتي لك بالتوفيق

[ahmed1975]

أستاذي العزيز
بالنسبة للسؤال الثاني :
لم أستهلك إلا ورقة دفتر عادي لحلها ، و لم اجرب بشكل عشوائي
و سأكتب لك طريقة إيجادها ، و كذلك برهان السؤال الاول فيما بعد

[ahmed1975]

إجابة السؤال الثالث
هو أن رقم منزل توفيق

169 أو أنه 961 و كلتا الإجابتان صحيحتين

و سأوضح الحلول في وقت لاحق

[mohem]

أخواني أنا جديد في هذا المنتدى وهذا الصرح العلمي الذي اسأل المولى عز وجل ان يديمه عاليا وزاخرا وزاهرا بالعلم والمعرفة

واعتقد اني عرفت احد حلول الاسئلة والذي هو السؤال الثالث

انه الرقم 121 وهو مربع كامل للعدد 11 والذي اذا قلب بدوره اصبح كما هو كما ان جذره عكس جذر العدد الأول

[mohem]

اخدواني :

اعتقد ان هناك علاقة بين المربعات الكاملة وجذورها للاعداد 10 - 11 - 12 -13 وعكسها ( 11 - 21 -31 ) فهي جميعا عند رفعها للقوة الثانية وقلب الناتج وجذره نستخلص عددا عكس الاول بالارقام كما التالي :
                        __
10^2 = 100 ==> /\001  = 1

                       __
11^2 = 121 ==> /\121  = 11
                        __
12^2 = 144 ==> /\411  = 21
                        __
13^2 = 169 ==> /\961  = 31
                        __
21^2 = 441 ==> /\144 = 12
                        __
31^2 = 961 ==> /\169 = 13

واذا استثنينا االعدد 100 و العدد 144 لانهما زوجيان وكذا العدد 441 فجذره العدد 21 وعكسه عدد زوجي  فيصبح جواب سؤالك اذا ثلاث ارقام هي 121 و ( 169 و 961) كما قال الاستاذ احمد

(Edited by mohem at 2:10  صباحاً  في أغسطس. 10, 2001)

[ahmed1975]

إجابة السؤال الأول :
لنقل بأن الأعداد الاربعة هي : س ، س+1 ، س+2 ، س+3

إذاََ : س (س+1) (س+2) (س+3) + 1

= س^4 + 6س^3 + 11س^2 + 6س +1

أو بشكل آخر :

= (س^4 + 6س^3 + 9س^2) + (2س^2 + 6س) +1

= س^2 (س^2 + 6س + 9) + 2س (س + 3) +1

= (س(س+3))^2 + 2(س(س+3)) +1

= (س(س+3) +1)^2

= (العدد الاول × العدد الرابع +1)^2

و لكن السؤال المطروح ماذا لو قلنا اننا نستطيع أن نعمم القاعدة اعلاه على أي أربعة أعداد تشكل متتابعة ( متتالية ) حسابية ، فكيف ستجري الامور معنا؟

[ahmed1975]

حسناً لنقل بأن الحدود الأربعة هي : أ ، أ+د ، أ+2د ، أ+3د

و سنحدد ما سنضيفه على حاصل ضرب الحدود الأربعة التي تشكل متتابعة حسابية فيما بعد

إذاََ : أ (أ+د) (أ+2د) (أ+3د)

= أ^4 + 6دأ^3 + 11د^2أ^2 + 6أد^3

أو بشكل آخر :

= (أ^4 + 6دأ^3 + 9د^2 أ^2) + (2د^2 أ^2 + 6أد^3)

= أ^2 (أ^2 + 6أد + 9د^2) + 2أد^2 (أ + 3د)

(أ(أ+3د))^2 + 2د^2(أ(أ+3د))

إذاً ما تنقصنا إضافته هو المقدار د^4

و عليه يكون حاصل ضرب الحدود الأربعة مجموعاً عليها مربع مربع أساس المتتابعة مربعاً كاملاً

و هذا يعني أن :

= أ (أ+د) (أ+2د) (أ+3د) + د^4 =( أ(أ+3د) +د^2)^2

= (الحدالاول × الحد الرابع +مربع أساس المتتابعة )^2

و منه نستطيع ان نستنتج الحالة الخاصة بسؤال الأستاذ محمد شكري أعلاه ، و ذلك بقولنا بأن أساس المتتابعة هو 1