للرياضيين المميزين فقط

[ibraheem2002]

اثبت ان

جا(ط\ن) × جا(2ط\ن)×.......×جا((ن-1)ط\ن) = ن\2^(ن-1)

لكل ن > 1

لكم تحياتي

[ibraheem2002]

ياشباب اروني اي شيئ حتى لو محاولات

لكم تحياتي

[ahmed1975]

أخي العزيز ابراهيم

كيف الحال ؟

أرجو المعذرة و ذلك لإطالتي في التعليق على سؤالك ، إذ أن البحرين تعيش هذه الأيام أفراحاً و أعراساً كثيرة لا تمكنني أن أتابع الإنترنت بشكل دوري و متصل و لا زالت كذلك .

أما تعليقي على هذا السؤال :

إن فكرة حل السؤال تدور حول :

جا (ط/ن) = جا ( (ن-1)ط/ن)
جا (2ط/ن) = جا ( (ن-2)ط/ن)
جا (3ط/ن) = جا ( (ن-3)ط/ن)
........

و هكذا

أوليس كذلك ؟

[ibraheem2002]

فكره جيدة اخ احمد

ارجو كتابة الحل كاملا

لك تحياتي

[ibraheem2002]

اهلا اخ احمد،

تراك طولت علينا،

وقد يكون احد اعمدة الجواب

ان عدد الحدود هو دائما زوجي سواء كانت ن زوجية او فردية

هل تخيلت الجواب ؟

إطرحه في مدرستك و أخبرني بالجواب لاحقاً إن إستعصت عليك الإجابة !!!!

:):)

لك تحياتي

[ahmed1975]

أخي العزيز ابراهيم
كيف الحال ؟

كما أُدينُ أُدان!

ممكن مساعدة الجمهور إذ أن المدرسة هذه الأيام مغلقة ؟

أرجو المعذرة فلدي من الأشغال الكثير و لكن سؤالك لا زال على البال و إشتغلت فيه و وصلت إلى عدة أمور أعرضها في حينها ( عندما أنتهي كلياً من حل السؤال ) ، و سأرسلها لك على بريدك الخاص بالمنتدى ، و لكن ليس الليلة ، فأنا عازم على الذهاب للمنامة

و لك مني تحية

و للجميع لا سيما القارئين لا أكثر من القراءة مني معلومة بسيطة

هل تعلم ؟

هل تعلم عزيزي القارئ بأن جا ((ن-2)ط/2ن) = جتا (ط/ن)؟

و أن جتا (ط/ن) * جا (ط/ن) = (1/2) جا (2ط/ن) ؟

على فكرة أخي ابراهيم
ماذا جرى لمنتدى دار الرياضيات ، إذ أنني لا أستطيع الدخول إليه ؟ عسى المانع خيراً ؟

[ahmed1975]

السلام عليكم جميعاً

وجدت الحل أخي ابراهيم

نعم وجدته ، و لكن هناك نقطتان أساسيتان :

1) نظراً للطول النسبي للإثبات الذي توصلت إليه ، فإني سأكتبه و أنشره هنا في غضون الأيام الثلاثة القادمة !
و إن غدا لناظره لقريب !

2 ) نظراً لطول الإثبات الذي وصلت إليه و تداخل الأفكار فيه بين ذات الحدين و الأعداد المركبة و حساب المثلثات ، فإنني أقف أمام إحتمالين لا أكثر - أرجو أن لا يأخذهما البعض بحساسية أو بقصد الإستهزاء و الإستخفاف بقدرته -
الأول و هو بأن إثبات أخي ابراهيم أقصر بكثير من إثباتي و هذا معناه أن أحد أبناء الأمة العربية و الإسلامية قد كشف عن قوة نفسة و مقدرته على مقارعة الكبار في الرياضيات !!!!!!!! ( كنت أمزح -رغم أنها ممكنة- )

الثاني : و هو أن واضع السؤال قد وضع السؤال و هو يعرف بأن الإثبات طويل و شائك و يحتاج للعديد من الأفكار و الأمور التي قد لا تخطر على البال ، - إن صح هذا الأمر - ماذا يقصد من ورائه و ما هو هدفه من وضع سؤال كهذا المكتوب أعلاه ؟  

عموماً إنتظرني أخي ابراهيم فلدي الحل ، و لا تنسوا أني من سيضع السؤال التالي هنا - كهجمة مرتدة - ، و أطلب من - المميزين منكم - إجابته !

و لكم مني كل التقدير و الإحترام .
و كلما درسنا و تعلمنا أكثر سنظل نكتشف مدى اتساع جهلنا ببحور العلم و مكنوناتها .

[ahmed1975]

السلام عليكم

وعد الحر دين عليه

و ها أنا ذا أفي بوعدي

و أرجو ان تعلقوا على إثباتي او تنقضوه إن كان خاطئاً أو تأتوا بأقصر و أوجز منه ، و إقبلوا إعتذاري مقدماً إذ أن مجال الكتابة ضيق و عليه فأرجو أن يكون إثباتي مفهوماً

لا سيما و أنه إذا حكم أخي ابراهيم بصحته كان دوري في كتابة السؤال التالي للمميزين

البرهان :

جذور المعادلة س^(2ن) - 1 = صفر هي :

1    ،    -1    ،    جتا(ط/ن) + ت جا(ط/ن)    ، جتا(2ط/ن) + ت جا(2ط/ن) ، جتا(3ط/ن) + ت جا(3ط/ن) ، .....................، جتا((2ن-2)ط/ن) + ت جا((2ن-2)ط/ن) ، جتا((2ن-1)ط/ن) + ت جا((2ن-1)ط/ن)

إذاً :

س^(2ن) - 1 = (س - 1) × (س + 1) × (س- جتا(ط/ن) - ت جا(ط/ن)) × (س - جتا(2ط/ن) - ت جا(2ط/ن)) × ( س - جتا(3ط/ن) - ت جا(3ط/ن)) ×.........................× ( س - جتا((ن-1)ط/ن) - ت جا((ن-1)ط/ن)) × ( س - جتا((ن+1)ط/ن) - ت جا((ن+1)ط/ن)) × .......................... × (س - جتا((2ن-2)ط/ن) - ت جا((2ن-2)ط/ن)) × ( س - جتا((2ن-1)ط/ن) - ت جا((2ن-1)ط/ن)

كما نعلم بأن  جتا((2ن-ك)ط/ن) = جتا(ك ط/ن)

و             جا((2ن-ك)ط/ن) = (-) جا(ك ط/ن)

بإستثناء (س - 1) (س + 1)  من اللعبة التالية ، لو ضربنا أول جذر في آخر جذر :

(س- جتا(ط/ن) - ت جا(ط/ن)) × ( س - جتا((2ن-1)ط/ن) - ت جا((2ن-1)ط/ن)

= (س- جتا(ط/ن) - ت جا(ط/ن)) × (س- جتا(ط/ن) + ت جا(ط/ن))

= س^2 - 2س جتا(ط/ن) + 1

و لو ضربنا ثاني جذر في الجذر قبل الأخير :

(س- جتا(2ط/ن) - ت جا(2ط/ن)) × ( س - جتا((2ن-2)ط/ن) - ت جا((2ن-2)ط/ن)

= (س- جتا(2ط/ن) - ت جا(2ط/ن)) × (س- جتا(2ط/ن) + ت جا(2ط/ن))

= س^2 - 2س جتا(2ط/ن) + 1

و تستمر اللعبة هكذا إلى أن نصل لضرب الحدين الأوسطين

المهم

سيصبح لدينا :

س^(2ن) - 1 = (س - 1) × (س + 1) × (س^2 - 2س جتا(ط/ن) + 1) × (س^2 - 2س جتا(2ط/ن) + 1) × (س^2 - 2س جتا(3ط/ن) + 1) ×.........................× × (س^2 - 2س جتا((ن-1)ط/ن) + 1)

بقسمة الطرفين على (س - 1) × (س + 1) :

س^(2ن-2) + س^(2ن-4) + س^(2ن-6) +............+ س^4 + س^2 + 1

=  (س^2 - 2س جتا(ط/ن) + 1) × (س^2 - 2س جتا(2ط/ن) + 1) × (س^2 - 2س جتا(3ط/ن) + 1) ×.........................× (س^2 - 2س جتا((ن-1)ط/ن) + 1)

عندما س = 1 :

إذاً :

ن = (2 - 2جتا(ط/ن)) × (2 - 2جتا(2ط/ن)) × (2 - 2جتا(3ط/ن)) ×..................× (2 - 2جتا((ن-1)ط/ن))

كما يعلم الجميع ، فإن 2 - 2جتاأ = 4(جا(أ/2))^2

إذاً بالتعويض في المعادلة السابقة :

ن = (4^(ن-1)) × (جا(ط/2ن))^2 × (جا(2ط/2ن))^2 × (جا(3ط/2ن))^2 × (جا(4ط/2ن))^2 ×...............× (جا((ن-1)ط/2ن))^2

إذاً :

جا(ط/2ن) × جا(2ط/2ن) × جا(3ط/2ن) × جا(4ط/2ن) ×...............× جا((ن-1)ط/2ن)
= ( جذر(ن))/ (2^(ن-1))        *

و بنفس الطريقة نجد بأنه عندما  س^(2ن+1) - 1 = صفر:

جا(ط/(2ن+1)) × جا(2ط/(2ن+1)) × جا(3ط/(2ن+1)) × جا(4ط/(2ن+1)) ×...............× جا((ن-1)ط/(2ن+1))
= ( جذر(2ن+1))/ (2^ن)        **

نرجع الآن للسؤال الأصلي :

عندما تكون ن عدداً زوجياً (ن = 2ك)

جا(ط/ن) × جا(2ط/ن)×.......×جا((ن-1)ط/ن) = جا(ط/2ك) × جا(2ط/2ك)×.......×جا((2ك-1)ط/2ك) = ( جا(ط/2ك) × جا(2ط/2ك)×.......×جا((ك-1)ط/2ك)^2 = (( جذر(ك))/ (2^(ك-1)))^2 = ك/(2^(2ك-2))=ن/2^(ن-1)  

و عندما تكون ن عدداً فردياً (ن = 2ك+1)

جا(ط/ن) × جا(2ط/ن)×.......×جا((ن-1)ط/ن)  = ( جا(ط/(2ك+1)) × جا(2ط/(2ك+1))×.......×جا(ك)ط/(2ك+1))^2 = (( جذر(2ك+1))/ (2^ك))^2 = (2ك+1)/(2^2ك)= ن/2^(ن-1)  

QED

أعتذر على الإطالة ، و لكن هذا هو الحل الذي توصلت إليه

هل عندك حل أقصر و أسهل أخي ابراهيم ، الكرة في ملعبك ، أنتظر ردك !

[ibraheem2002]

أهلا اخ احمد

سأكتب ردي لاحقا ان شاء الله

لك تحياتي

[ibraheem2002]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
حياك الله اخوي احمد،
وقبل ان ابدي رأيي باجابتك، أود ان استفسر منك عن معنى عبارتك التالية

Quote

Quote: from ahmed1975 on 1:21  صباحاً  في فبراير. 15, 2002 الأول و هو بأن إثبات أخي ابراهيم أقصر بكثير من إثباتي و هذا معناه أن أحد أبناء الأمة العربية و الإسلامية قد كشف عن قوة نفسة و مقدرته على مقارعة الكبار في الرياضيات !!!!!!!! ( كنت أمزح -رغم أنها ممكنة- ) الثاني : و هو أن واضع السؤال قد وضع السؤال و هو يعرف بأن الإثبات طويل و شائك و يحتاج للعديد من الأفكار و الأمور التي قد لا تخطر على البال ، - إن صح هذا الأمر - ماذا يقصد من ورائه و ما هو هدفه من وضع سؤال كهذا المكتوب أعلاه ؟

من تعني بالكبار بالرياضيات؟؟؟؟

ثم لماذا لم تضع احتمالا ثالثا وهو انني لا اعرف الجواب ;)

سؤال اخر
ما معنى QED ان اعرف ان معناها نهاية البرهان لكن من اين اتت الحروف Q, E , and D

نأتي الان لجوابك،

جوابك رائع جدا ويدل على عقلية رياضية واعدة،

فانت استطعت الجمع بين فروع كثيرة لحل هذا السؤال و من النادر وجود اشخاص لديهم هذه القدرة

اسمح لي ان اقدر اعجابي بطريقة حلك وفكرك المنظم،

والان انا انتظر سؤالك المميز والذي ارجو ان يكون فيموضوع اخر غير الجا والجتا للتنويع

حلك الرائع فيه عيب واحد فقط فهو طويل جداجدا.

وبالطبع لدي حل اقصر منه ولكني سانتظر وخلال 3 ايام ان شاء الله سأكتب الحل

لك تحياتي يا مبدع

[ahmed1975]

أخي العزيز ابراهيم

كيف الحال ؟

أشكرك شكراً جزيلاً ، و بالمنسبة للأمور التي تسائلت فيها ، فانا أوضحها لك كالتالي :

بالنسبة للكبار فأنتم (قدها و قدود ) ، لا سيما و اني أتابعكم باستمرار في منتدى دار الرياضيات :wink:

أما بالنسبة للإحتمالين فلا أظن أن لهما ثالث  ، فما خبرت أحدأً يُسْتَفَزُّ ( أو يظن بأنه يُسْتَفَزُّ و أرجو أن تسمح لي باستخدام هذه الكلمة رغم انني لم أكن أقصدها)في قدرته في مهارة ما ( لا سيما الرياضيات) و يسكت ، بل لا بد أن يخرج و يعرض على صاحبه سؤالاً يرد به عليه ( هل تذكر سؤال التكامل ؟ )

و بالنسبة للحروف QED  فهي مشهورة و معناها ( و هو المطلوب إثباته ) و ترجمتها باللاتيني هي ( Quod Erat Demonstrandum ) ، و أخبر أن هناك برنامجاً علمياً تقدمه ال BBC  بهذا الاسم و يتناول كل الأمور العلمية ، و قد عرضت إحدي حلقاته موضوع نظرية فيرمات الأخيرة .

أما بالنسبة للسؤال و الجواب ، فأنا أشكرك شكراً كثيراً ، فمنذ زمن لم أفكر بحل سؤال ما كما فكرت في حل هذا السؤال ، لقد أرجعت لي عنادي و إصراري اللذان إفتقدتهما منذ تخرجي من تلك الجامعة و إلتحاقي بمهنة التدريس .

قد يكون جوابي طويل حقاً ، و لكنه حل صحيح ـ، و الحمد لله أنني توصلت إليه قبل غيري .

هذا ما لزم ذكره في حينه و أنا أنتظر أن تكتب إثباتك و أعرف بأن كتابة الجا و الجتا مملة و متعبة ، كي تعم الفائدة و من ثم أطرح في موضوع جديد سؤال المتميزين الثاني .

و لك مني كل التحية و التقدير

ملاحظة : أرسلت إليك رسالة خاصة لم أحبذ نشرها هنا ، إذ أنها ملاحظات أود أن أبقيها بيني و بينك فقط .

[ibraheem2002]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

ومرحبا بك اخ احمد

وانا بانتظار سؤالك للميزين، وارجو ان يكون في موضوع مختلف عن الجا والجتا والتكاملات.

واعتقد انك شاهدت حل الدكتور الخوارزمي في منتدى الديار،

وهو نفس الحل الذي كنت ساكتبه.

ملاحظة:

لم تصلني منك اي رسالة خاصة، ربما بسبب انقطاع المنتدى،

وبانتظار سؤالك

[ahmed1975]

'>

السلام عليكم

أخي العزيز ابراهيم ، كيف الحال ؟

صار لنا فترة ما شفناك ؟

عموماً بالنسبة للسؤال :

إن (غداً ) لناظره لقريب

و شكراً لكم على تواصلكم
أخوك الأصغر