مسابقة رياضيات جديدة

[محمد شكري الجماصي]

إذا كانت س ، ص ، ع ثلاثة حدود متتالية من المتتابعة :
(2 + 1)، (2^2 + 2)، (2^3 + 3)، (2^4 + 4) ، ....
بين أن : 3ص = 2 س + ع + 1   حيث س < ص < ع

[الخالد]

السلام عليكم
الحد العام للمتتابعة هو  2^ن+ن
س ، ص ، ع ثلاثة حدود متتالية    ،    س < ص < ع

بفرض :
 س = 2^م+م      ،        م عدد طبيعي
إذن:
ص = 2^(م+1)+(م+1)
ع = 2^(م+2)+(م+2)

3ص =3[2^(م+1)+(م+1)]

2 س + ع + 1= 2[2^م+م ]+2^(م+2)+(م+2)+1
               =2^(م+1)+2م +2^(م+2)+م+2+1
               =3× 2^(م+1) +3م+3
               =3[2^(م+1)+(م+1)]


إذن :3ص = 2 س + ع + 1

تحياتي

[محمد شكري الجماصي]

كل عام وأنتم بخير
الاثبات صحيح
لك وضع المسألة

[الخالد]

السلام عليكم
كالعادة بطيئ في وضع السؤال ... أرجو المعذرة.

السؤال:على الشكل التالي:


مثلث أنشأنا على ضلعين من أضلاعه مربعين .
في منتصف الضلع الثالث حددنا النقطة م ، وأنشأنا منها القطعتين [م س] , [م ص] حيث س,ص مركزي المربعين  ( توالياً )
أثبت أن : [م س] , [م ص]  متعامدتان ولها نفس الطول .

عيد سعيد على الجميع

[محمد شكري الجماصي]

السلام عليكم

نصل كل من : حـ هـ ، أ د ، أ هـ ، حـ د
بتطبيق النظرية
الواصل بين منتصفي ضلعين في مثلث //الثالث ويساوي نصفه
م س // أ هـ ، = نصفه في المثلث هـ حـ أ ...(1)
بالمثل
م ص // حـ د ، = نصفه في المثلث حـ د أ ...(2)
المثلثان هـ ب أ ، حـ ب د متطابقان لأن
هـ ب = حـ ب
ب أ = ب د
<هـ ب أ = < د ب حـ بإضافة < أ ب حـ للقائمتين
ينتج من التطابق أن هـ أ = حـ د ، <1 = <2
ومن (1) ، (2) يكون م س = م ص لكل منهما يساوي هـ أ ، د حـ المتساويين  *****(3)
<3 =<4 + <5 خرجة عن المثلث
<1 = <2 برهاناً (أعلاه)
<2 + <4 + <5 = قائمة من المثلث ب د أ
إذن <1 + <3 = قائمة
إذن <6 قائمة
إذن هـ أ عمود على حـ د
إذن هـ أ عمود على م ص لأنه يوازيه
إذن م س عمود على م ص لأنه يوازي هـ أ
إذن م س ، م ص متعامدان *****(4)
من (3) ، (4) تحقق المطلوب

[الخالد]

السلام عليكم
حل رائع استاذ محمد
هذا أقل وصف يمكن أن يوصف به هذا الحل.
مع أجمل تحية ... السؤال لك الآن ، وننتظر مشاركة بقية الأخوة

[محمد شكري الجماصي]

السلام عليكم ورحمة الله
أستاذنا الفاضل الخالد - أروع ما في المنتدى أنه أبقاني في عالم الرياضيات وأقدم اليوم مسألة في موضوع المحل الهندسي وهي:
أ ب حـ مثلث قاعدته ب حـ ثابتة الطول والوضع، وزاوية رأسه أ ثابتة، ونقطة تلاقي المستقيمات المتوسطة هي و
أوجد المحل الهندسي للنقطة و

[tanx]

السلام عليكم
المحل الهندسي  عبارة عن دائرة

[محمد شكري الجماصي]

ليس بدائرة

[عسكر]

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته  

أ  ترسم قوسي  دائرتين  الأول فوق ب جـ والثاني تحت ب جـ

 ( المحل الهندسي للنقاط التي ترى منها ب جـ ضمن زاوية ثابتة

و بفرض م منتصف ب جـ   ـ  م و  = 1/3  م أ

وبالتالي   و     تنتج عن   أ     بالتحاكي الذي مركزه  م  ونسبته ثلث

المحل الهندسي للنقطة  و هو مجموعة النقط التي تنتج عن القوس المكافئ السابق الذي ترسمه النقطة أ  بلتحاكي الذي مركزه م ونسبته 1/3       ووتره = ثلث ب جـ

حاولنا ادراج الرسمة لكن النظر ضعيف واليد أضعف فإن لم تكن واضحة يرجى حذفها



xzx

[محمد شكري الجماصي]

الأستاذ عسكر - السلام عليكم عدما تصل أ إلى النقطة ب هل يكون هذا الحد النهائي لوضع أ أم تنحدر لأسفل ب حـ فالمثلث ينعدم بوجود أ فوق ب بمعنى يجب إلا ننتقل للجهة السفلى بل يجب ألا تصل أ إلى ب وإلا انعدم وجود المثلث - فما رأيك بالاكتفاء للقوس من الدائرة الموجود فوق ب حـ
على العموم : الحل صحيح مع الخلاف المذكور والسؤال التالي نحن في إنتظاره منك

[محمد شكري الجماصي]

رسم توصيحي للمحل الهندسي وتحليلاً يكون معادلته
9س^2 + 9ص^2 - 6هـ ص + حـ = 0   حيث حـ = هـ^2 - نق^2

[tanx]

السلام عليكم
أنا  اوافق اخي ومعلمي محمد شكري في رايه لانني حصلت على القوس الاعلى من ب ج فقط
ولكنني كنت راسم الشكل بيدي  فظننت ان الجزء المتبقي من الدائرة ولم يظهر هو ناتج عن عدم دقة الرسم

[عسكر]

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته  


شكرا للأستاذ محمد على المداخلة والخلاف في الرأي لا يفسد للود قضية بل يكون مفيدا أكثر

باعتبار أ  زاوية ثابتة فإنها إما أن تكون فوق  ب جـ  أو تحتها  ( وينبغي اخذ الحالتين حسب النص بالمطلق )

ما رأيكم لو جاء أحدهم ورسم   ب  جـ  بشكل شاقولي النقطة  أ تقع إما يمين أو يسار  ب جـ  

ويكون المحل الهندسي للنقطة  أ  هو اجتماع القوسين عدا النقطتين ب ، جـ

ولعل الفائدة تكون أكبر بمشاركة بقية الأعضاء

السؤال :

لدينا القطع المكافئ الممثل بالمعادلة :

س² = - 4 ( س + ص )

أوجد المحل الهندسي لمنتصفات الأوتار المارة من بؤرة هذا القطع


x z x

[محمد شكري الجماصي]

أرى الانتقال من جهة لأخرى من ب حـ في كافة أوضاعه يعني موجب وسالب