يالله شبـــــاب...... جبر خطي!!!!! :)

[أرشميدس مصر]

بسم الله الرحمن الرحيم

رب يسر..... رب أعن


الحمد لله رب العالمين والصلاة والسلام على خاتم المرسلين وعلى آله وصحبه أجمعين... أما بعد:،


الحلقة الأولى

ليكن لدينا المعادلتان
 

ونريد بالطبع تحديد x  ; y .... ولكن قبل ذلك دعونا نتساءل: ما المهم في هذه المعادلة؟؟؟

هل هي الحروف؟؟ (أقصد: رموز المتغيرات)؟


بالطبع لا.. فيمكننا تغييرها بكل بساطة، وبدلا من x و y يمكننا أن نضع a و b أو الحرفان

أو حتى: أحمد وعبد الله!!


 مرة ثانية

إذن فما المهم؟؟؟





الأرقام!! هذا صحيح

والأرقام تكون هي الأهم من خلال أمرين اثنين..

الأول    :  عدم تغيير الأرقام (الحفاظ على دلالة الأرقام على العدد)
والثاني  :  عدم تبديل الأرقام (الحفاظ على ترتيب الأرقام في المعادلات)


وبما أن الأرقام هي الأهم فيمكننا إنشاء نظام يحافظ على هذه الأرقام في المعادلتين كما في الطرف الأيسر



ويمكن أيضا أن نضيف إمكانية إبقاء الطرف الأيمن في الاعتبار!!

 


ومن هنا جاءت فكرة إنشاء نظام رياضي جبري يحقق الحفاظ على ترتيب الأرقام ويسمى هذا النظام بالمصفوفة!




تعريف المصفوفة Matrix


A rectangular array with mn real numbers arranged in m raws and n columns is an mxn matrix
                   : m ; n are positive integrs

mn    تلفظ    m times n   أي    m في n
mxn   تلفظ   m by n        أي    m في n


التعريف العربي: إن المصفوفة من الرتبة  m× n هي نظام مستطيليّ يحوي أعدادا حقيقية عددها mn مرتبة في m من الصفوف raws و n من الأعمدة columns. حيث m ، n أعداد صحيحة موجبة.


ولوصف المصفوفة فإننا نطلق عليها اسما محببا.. عبارة عن حرف كبير capital letter بحيث تكون مدخلات المصفوفة entries of matrix لها نفس الحرف ولكن بحرف صغير small letter

وبالنسبة للمدخلات فإنها توضح بهذا الحرف الصغير مصحوبا برقمين صغيرين (يرمز إليهما في الحالة العامة بالرمز i  و j  )  يشير الأول إلى رقم الصف والثاني إلى رقم العمود. كما في الشكل التالي

[أرشميدس مصر]

وسنوضح ذلك بالمثال التالي:

 


(معذرة على رمز $ الظاهر..... لاأعرف كيف أتخلص منه!!! )



ويسمى الصف رقم i  بـ: i-th raw. كما يسمى العمود رقم j  بـ: j-th column. بمعنى أنه يلقب كل صف أو عمود برقمه!

ولكل مصفوفة رتبة تعرف بها ويطلق عليها mxn حيث m كما هو معلوم عدد صفوف المصفوفة وn عدد الأعمدة.

والآن نعرض لكم أمثلة مصفوفات مع رتبها وبعد ذلك نلتقي إن شاء الله في الحلقة القادمة !

[أرشميدس مصر]

السلام عليكم


على فكرة......

هذه الدروس أكتبها لكم تزامنا مع محاضرات أستاذنا في الجامعة الدكتور جريجور دوميترو

المادة: Linear Algebra
الكتاب : Linear Algebra تأليف برنارد / هيل..... الطبعة الثامنة




أتمنى أن يوفقني الله للإكمال معكم حتى النهاية.... رغم أن الموضوع متعب وإدراج المعادلات يأخذ وقتا طويلا...

أرجو التثبيت إن أمكن بعد إذن المشرف!


والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته

[elbasha]

السلام عليكم

موضوع جميل وان اشاء الله اكون متباع معاك ارشيمدس مصر

 

[الجيل الواعد]

 
رغم اني لا افهم في الرياضيات شيئا( انسانا الطب كل شئ) إلا أن الموضوع شدني
وخاصة linear agebra اذكر ان اختي هلكتني من كثر ما تردده على اذاني '>

بارك الله فيك اخي ارشميدس..
بالمناسبة هل مواد الرياضيات مقررة على طلاب الفيزياء لديكم؟؟

[فاطمه العلي]

موضوع جميل أخ ارشميدس ومجهود متقن
وفقك الله لأكماله .

فاطمه العلي.

[أبو عبد العزيز]

بارك الله فيك مشرفنا القدير أرشميدس

أسأل الله أن يجعل ما تقوم به في ميزان أعمالك.

  

[ابو يوسف]

السلام عليكم

جينا بسرعة  

جزيل الشكر لك اخي العزيز ارشميدس مصر

'>

[أرشميدس مصر]

السلام عليكم

QUOTE

جينا بسرعة  

ما شاء الله ماشاء الله....

الاخوة الأعزاء
أحمد
الجيل الواعد
فاطمة
أبو عبد العزيز
أبو يوسف
....... بارك الله فيكم وأثابكم ونفعكم ونفع بكم.

QUOTE

بالمناسبة هل مواد الرياضيات مقررة على طلاب الفيزياء لديكم؟؟

طبعا أختي الكريمة.... مقررة على طلبة الرياضيات والفيزياء وطلبة كلية الهندسة.
بالنسبة للجبر الخطي فهي مادة إلزامية للتخصص (تبدو اختيارية شكلا فقط!!  '> ) وكذلك Calculus B و Calculus C . أما مادة الـ Calculus A فهي إلزامية لكلية العلوم الرياضية والطبيعية.
أتحدث عن جامعتي ولا أعرف النظام في الجامعات الأخرى ... لكنه يبدو متقاربا!

QUOTE

وفقك الله لأكماله .

آميين  '>



والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته!

[أرشميدس مصر]

السلام عليكم


ردا على سؤال الاخوة الأعزاء فإنني أدرس في كلية العلوم بجامعة الكويت!
هذه أول سنة....  '>



والسلام عليكم

[أرشميدس مصر]

بسم الله الرحمن الرحيم


الحلقة الثانية

من وجهة نظر هندسية فإن المصفوفة شكل مستطيليّ، ومن المعروف أن المستطيل rectangle له أربع أضلاع (أو لنقل: جهات!!!) متعامدة.

والمستطيل قد يكون مربعاً وذلك عندما تتساوى أطوال أضلاعه، أو – على الأقل- عندما يتساوى طولا ضلعين متجاورين فيه. وهذا هو تعريف المربع "هو مستطيل تطابق فيه ضلعان متجاوران". أما إذا لم يتطابق ضلعان متجاوران في المستطيل فإنه يظل على حاله (مستطيلا).!!

والمصفوفة – كمستطيل- قد يتساوى فيها عدد الصفوف وعدد الأعمدة، وحينئذ تبدو المصفوفة كمربع.!

تعريف Def.:
If m=n, the matrix is called square matrix
إذا كان m=n يقال إن المصفوفة مربعة.

والمصفوفة المربعة رتبتها mxm حيث عدد الصفوف = عدد الأعمدة.

ومن ثم فالمصفوفات التالية مصفوفات مربعة












نعود للهندسة.!!

نجد أن للمربع  قطران يصلان كل زاويتين متقابلتين... وإن شئت فسمِّ الأول (القطر الرئيس main diagonal). ونحن نحب أن نطلق عليه هذا الاسم لأنه سيفيدنا كثيرا في هذه الحلقة وفي دراسة المصفوفات. وهو القطر الذي يصل الزاوية العليا الأولى بالزاوية السفلى الأخيرة .أما القطر الآخر فدعه ولا تُـسَمِّهِ. أو إن شئت فقل: القطر الثاني second diagonal.

[أرشميدس مصر]

وكذلك المصفوفة المربعة لها قطر يصل بين المُدخَل entry الأول في الصف والعمود الأولين والمدخل الأخير في الصف والعمود الأخريين.
فإذا كانت لدينا المصفوفة Aالمربعة  فإن لها قطرا رئيسا يصل بين المُدخَل a11 و amn

(مرة ثانية رمز الدولار يظهر بطريق الخطأ   )

تعريف Def.:
A square matrix is diagonal if all the entries off the diagonal are zero.
تكون المصفوفة المربعة قطريةً إذا كانت كل المدخلات خارج القطر أصفارا!

تعالوا إلى بعض المصفوفات!




هذه المصفوفة المربعة ليست قطرية لأن رقم 2 هذا يثير الضيق!! ولكي تكون قطرية يجب أن تكون أن كل أرقام المصفوفة التي خارج القطر أصفارا!! أي أن تستبدل بالـ 2 صفرا! '>







هذه المصفوفة المربعة مصفوفة قطرية لأن جميع المدخلات خارج القطر أصفار.


تمرين خفيف: هل هذه المصفوفة ( C ) قطرية؟؟؟؟؟!!!





بالطبع هذه المصفوفة قطرية.... لأن جميع المدخلات خارج القطر أصفار....!  '>
لاحظ أنه لا توجد شروط على مدخلات القطر!! فلتكن أصفارا أو أعدادا غير الصفر. هذا لا يهم! ما يهمنا هو أن تكون الأعداد التي لا تنتمي للقطر الرئيس جميعها أصفاراً !


تمرين آخر:هل يمكن أن نعرِّف المصفوفة القطرية بطريقة أخرى كالتالي:
"تكون المصفوفة المربعة قطريةً إذا كانت كل المدخلات أصفارا عدا مدخلات القطر."
حلوها وبعدين نشوف الأجوبة  '>  



تعريف Def.:
A diagonal matrix is scalar if all the entries on the diagonal are equal.
إذا تساوت مدخلات القطر في المصفوفة القطرية قيل إنها مصفوفة عددية.


والمثال التالي يوضح مصفوفة عددية scalar matrix




لاحظ أن المصفوفة العددية مصفوفة مربعة قطرية(انظر الشكل) . ويوجد نوع من المصفوفات محتوى في المصفوفات العددية وسنتكلم عنه لاحقا إن شاء الله.
والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته

[hayaa]

نظام جامعتكو قريب من نظام جامعتنا والجبر كملتو زمان وحصلت في على 91 كان سهل وحلو.......
الان نسيتو لكن حلو استرجاع المعلومات.

[أرشميدس مصر]

السلام عليكم

مرحبا hayaa...

أتمنى لك الفائدة!!

QUOTE

حلوها وبعدين نشوف الأجوبة  '>    

أشوف انكم ما حليتوا؟؟؟!!!    

على العموم الجواب على السؤال:

QUOTE

هل يمكن أن نعرِّف المصفوفة القطرية بطريقة أخرى كالتالي:
"تكون المصفوفة المربعة قطريةً إذا كانت كل المدخلات أصفارا عدا مدخلات القطر."

لا طبعا... هذا خطأ.. لماذا نستثني مدخلات القطر؟؟؟.... وقد قلنا من قبل

QUOTE

لاحظ أنه لا توجد شروط على مدخلات القطر!! فلتكن أصفارا أو أعدادا غير الصفر. هذا لا يهم! ما يهمنا هو أن تكون الأعداد التي لا تنتمي للقطر الرئيس جميعها أصفاراً !

والسلام عليكم '>

[أرشميدس مصر]

السلام عليكم

حلقة اليوم خفيفة جدا وهي أقل من أن يطلق عليها أنها حلقة..... سمها: فاصلا إعلانيا!!!!

سنتكلم فقط عن حالة خاصة (تعريف جديد) لنوع من أنواع المصفوفات.

                   ماذا يحدث إذا كانت المصفوفة تحتوي على صف واحد أو عمود واحد؟؟؟
بعبارة أخرى: ماذا يحدث إذا كانت رتبة المصفوفة 1xn أو nx1؟؟؟






إيش اللي سيحصل يعني؟     ... حينفجر كتاب الجبر؟؟؟؟؟ طبعا لا '>....


كل ما في الأمر أننا سنحصل على نوع خاص من المصفوفات يسمى بالـ ـمتجه vector، أو لنقل: n-vector

تعريف Def.
Every 1x n or nx1 matrix is called: n-vector.
إن كل مصفوفة من الرتبة 1x n  أو  nx1تسمى n-vector



انظر الأمثلة التالية

 

3-vector

 

4-vector

 

5-vector

لاحظ أننا هنا لا نفرق بين صف وعمود عندما نقول n-vector. ما نعنيه بالـ n هو عدد المدخلات في الصف أو في العمود الواحد. أما في ذكر الرتبة فإننا نعتبر المتجه مصفوفة كباقي المصفوفات فنقول: mx1 ونقول 1xn.

إذن فالشكل العام للمتجه mx1


والشكل العام للمتجه 1xn



استعدوا للحلقة القادمة وتمارينها!!  '>


والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته