المسلمات

[احمد الفارس]

السلام عليكم
لقد قرأت مقالة حول المسلمات في الهندسة الاقليدية ، وهي اربعة مسلمات مع تعديل في الخامسة . المهم ، سؤالي هو هل هناك مسلمات في الفروع الاخرى من الرياضيات ، مثل الجبر ... وما المقصود بالهندسة ا لغير اقليدية .
ياريت تكون هناك دروس خاصة حول المواضيع المنسية في الرياضيات وان لا تقتصر الرياضيات حول المواضيع الخاصة في المراحل الثانوية .
وشكرا

[الخالد]

وعليكم السلام
اشكرك أخ أحمد على هذا السؤال ومن جهة أخرى لك شكر خاص على تفاعلك .

في البداية يجب أن نتعرف على مفهوم المسلمة أو ماذا تعني المسلمة في الهندسة.
تصور لو تحدثنا عن مثلث... ففي هذه الحالة يجب أن نضع مفهوم واضح لمعنى المثلث ، كأن نقول هو عبارة مضلع مغلق له ثلاثة أضلاع .
ولكن هناك سؤال آخر : ما المضلع؟
عندها سيكون الجواب : هو شكل هندسي يتكون قطع مستقيمة متصلة ببعض يحيث تكون نهاية كل قطعة بداية قطعة أخرى ولا تكون القطع على استقامة واحدة.
الآن هذا التعريف يضم مفاهيم كثيرة يجب أن نحدد معناها ... مثل ما معنى شكل هندسي ؟ ما تعني قطعة مستقيمة ؟ ما هي النقطة؟
تلاحظ أن كل كل مفهوم لن يخلو من مفاهيم موجودة في ثناياه.
مالحل إذن ؟
يجب أن نحدد بعض المفاهيم الأولية والذي نقبلها كبديهيات . وهي المسلمات.
لقد وضع إقليدس خمس مسلمات بنى من خلالها هندسته المستوية والمعروفة بالهندسة الأقليدية.
والمسلمات هي كما يلي:
1) يوجد خط واحد فقط يصل بين نقطتين معلومتين.
2) يمكن مد خط مستقيم إلى مالانهاية من الجهتين.
3) يمكن رسم دائرة من أي مركز مفروض بأي نصف قطر معطى.
4) الزوايا القائمة متساوية.
5) إذا قطع مستقيم مستقيميين وكان مجموع الزاويتين الداخليتين الواقعتين من جهة واحدة من القاطع ، مجموعهما أقل من قائمتين فإن المستقيمين سيلتقيا.

ربمى لاحظت بساطة هذه الجمل وبداهتها ، وقد يكون هناك بعض التعقيد في المسلمة الخامسة.
وهذا ما استشعره الرياضيون على مر العصور ، فقد اعتقدوا أن المسلمة الخامسة في تركيبها لا يجب أن تكون مسلمة بل هي أقرب للنظرية ، فحاولوا إثباتها باستخدام ما سبقها من مسلمات بدون جدوى ، مما يدل على عبقرية أقليدس وسعة خياله.
وفي تاريخ الرياضيات يذكر دور علماء عرب مسلمين حاولوا فك طلاسم هذه المسلمة من أمثال أبن الهيثم ونصير الدين الطوسي وعمر الخيام .... وغيرهم.
أما المدهش في محاولة تفسير وتعديل هذه المسلمات هو ما قام به العالم الألماني هلبرت عام (1898-1899) مما أدى إلى اكتشاف الهندسة المعدلة والمنسوبة له.
وعودة للمسلمة الخامسة والتي شغلت الرياضيين على مر العصور ، لقد كانت الدراسات والبحوث حولها السبيل لاكتشاف الهندسة اللاأقليدية وهذا ما اكتشفه جاوس ( 1777-1855) وبولينا (1802-1860) ولوبا تشيفسكي( 1792-1856) وريمان ( 1826 - 1866)
وقد قسمت الهندسة الجديدة المكتشفة فيما بعد لنمطين من الهندسة :
الهندسة الزائدية والهندسة الناقصية.
وكلا الهندستين يدور مفهومهما حول تعديل في المسلمة الخامسة.
أما أغرب ما قيل في الهندسة اللاأقليدية هو:
أن مجموع قياسات زوايا المثلث أكبر من 180 درجة (نظرية)
والمجال هنا لا يتسع لبرهانها ، ولكن تخيل مثلث مرسوم على كرة ستلاحظ أن الزوايا تبدو أكبر من المألوف مما يعني أن المجموع يجب أن يكون أكبر من 180 درجة .
هذه النظرية تتبع ما يسمى بالهندسة الكروية.
يبقى أخيرا ً أن نقول أن كل بناء رياضي ( هندسي أوغير هندسي ) يعتمد على مسلمات أو بديهيات تمكنا من بداية البناء وصولاً لنموذج رياضي متكامل
.
تحياتي

[احمد الفارس]

مشكور اخوي خالد وانا انتظر منك البرهان على النظرية الخاصة بمجموع زوايا المثلت ، لانو البرهان مهم جداً لفهم النظرية .واتمنى انو يكون دروس خاصة في برهان النظريات الاساسية في الرياضيات . وتكون دروس ثابتة كمرجع لنا .
على اقل من مهلك اخوي خالد ، انا مو حاب اتعبك معي  '>  '>

[احمد الفارس]

السلام عليكم
اخوي خالد لم تجبني عن سؤالي السابق بالكامل : هل يوجد هناك مسلمات في علم الجبر . على سبيل المثال هل تعتبر المسألة واحد زائد واحد يساوي اثنين هي مسلمة ام تحتاج إلى اثبات ؟

[الخالد]

السلام عليكم
أخي العزيز أحمد

البناء الرياضي يبدأ بمسميات وهي عناصر أولية كالنقطة مثلاً أو العدد ، ثم يأتي دور العلاقات وهي اسلوب للربط بين المسميات كأن تقول : 9>5 فهذه علاقة أكبر من تربط بين العدد 9 والعدد 5.
أما المسلمات أو البديهيات فهي محدد لخواص العلاقات وتكون مبسطة وواضحة لدرجة قبولها بدون برهان.
بعد ذلك يأتي دور النتائج أو النظريات وهي نتائج أو استنتاجات يمكن اثباتها بواسطة المسلمات أو نظريات تسبقها في المستوى.

أما بخصوص المسلمات في علم الجبر فدعني أخبرك أولاً أن الرياضيات الحديثة أوجدت ترابط مدهش بين مختلف العلوم الرياضية ( جبرية أو هندسية أو ...) مما يعني وجود ترابط بين المسلمات في مختلف العلوم الرياضية.
الآن ... عندما نقول : 1+1=2  ،فيجب أن نحدد معنى المسميات أو العناصر ( 1 ، 2 ) كأعداد تتبع النظام العشري المعروف لدينا
أما + فهي أيضاً مسمى له تعريف محدد ( حسب النظام المستخدم أو كما يسمى في علم الجبر بعملية)
= هي العلاقة الرابطة بين 1+1 و 2
يبقى المسلم هنا وهو خواص النظام المستخدم في عملية الجمع  .ففي النظام العشري ، من المؤكد 1+1=2
ولكن ... هل تعرف 1+1 كم يساوي في النظام الثنائي؟ (مثلاً)
الجواب : 1+1 = 10
الخلاصة :واحد زائد واحد يساوي اثنين هي مسلمة حسب النظام العشري

تحياتي لك

[احمد الفارس]

جزاك الله خيرا اخوي الخالد ، ولا حرمنا الله من علمك .
سؤالي الاخير في هذا الموضوع ، هل هناك كتب باللغة العربية أو مواقع على الشبكة ، تتكلم عن هذه المواضيع بشكل مفصل، كالاستنتاجات والبراهين ، والمسميات ....الخ
وجزاك الله خيرا مرة ا خرى  '>

[الخالد]

السلام عليكم
بارك الله فيك أخي أحمد
بخصوص المواقع العربية المتخصصة ... فمع الأسف هي نادر ، والقليل الموجود منها يمثل اجتهادات شخصية قد لا تفي بالغرض.
اما المواقع الأجنبية فلا حصر لها ..
بالنسبة للكتب العربية المتخصصة ... فحقيقة توجد كتب كثيرة ، وأنصحك حالياً بالكتاب التالي:
مبادئ الهندسة الحديثة (الأقليدية واللأقليدية)  ، محمد ابراهيم راشد ، عبد الله حمود الزغبي ،الناشر : دار عمان للنشر والتوزيع

وإذا سنحت الفرصة في المستقبل القريب سنقوم بحول الله بعرض بعض أفكاره ، وخاصة الأفكار المتعلقة بالهندسة اللا أقليدية.

تحياتي وشكري الجزيل لك
أخوك خالد

[احمد الفارس]

بارك  الله فيكم اخي الخالد
وهذا يعتمد عليكم ، بخصوص انشاء مواقع خاصة تتكلم بهذا المواضيع الرائعة والمنسية للاسف .
وجزاكم الله خيرا