تعريف التكامل بدأ من العلاقة

[عسكر]

بسم الله الرحمن الرحيم
من العلاقه الى تعريف التكامل موجز لابد منه
الجداء الديكارتي لمجموعتين: س×ع={(ب،حـ) :ب تنتمي الى س و حـ تنتمي الى ع}
مثلا س={1،2 ،3 } و ع={4'5}   س×ع={(2 ، 4 ) ، (2 ، 5  ) ، (1 ، 4 ) ، (1 ، 5 ) ،(3 ، 4 ) ، ( 3 ، 5 ) }  كل عنصر ثنائيه وهو زوج مرتب
ويمكن الحصول على الجداء الديكارتي ل ع×س من  س×ع  وذلك بتبديل موضعي كل ثنائيه من س×ع
 ان س×ع  لا يساوي ع×س  الا اذا كان س =ع
   س×س=س2 يدعى الجداء الديكارتي ل س في س
العلاقه :
 اذا أخذنا أي مجموعه جزئيه   ن محتواة في  س×ع  فإن  ن يدعى بيان لعلاقة   بين  س وع حيث س منطلقها و ع مستقرها
 مثلا ن1 ={(1،4) ،(3،4)،(3،5)} هو بيان لعلاقة  بين  س وع  هذا ويمكن ايجاد عدد من العلاقات بين س و ع
       ن2 ={(1 ،4) ،(3، 4)،(3، 5)} هو بيان لعلاقة بين ع و س  ويدعى بيان العلاقه العكسيه لـ  ن1 ويرمز ن-1
  فإذا كان  (ب،حـ) ينتمي الى ن1 مثلا فهذا يعني أن ب ترتبط بها حـ  ويرمز  ب ر حـ  
 اذا كانت س = ع  نقول أن لدينا علاقه في المجموعه س وهنا المنطلق = المستقر
 صفات العلاقه في مجموعه : بفرض ب ، حـ ، د عناصر من المجموعة  س  و   ر  هي علاقة معرفة  عليها
1-   الإنعكاسية : اذا ارتبط كل عنصر بنفسه ويعبر عنه أيا كان ب ينتمي الى س فإن  ب ر ب  
2-   التناظريه :  يعبر عنه كلما كان ب يرتبط به حـ فإن حـ يرتبط به  ب أي :اذا كان   ب ر حـ   فان  حـ ر ب
3-   المتعدية  : تكون العلاقه في المجموعة متعديه اذا تحقق ما يلي : اذا كان  ب ر حـ  و  حـ ر د   فان  ب ر د
4-   التخالفيه :  تكون العلاقه في المجموعة  تخالفي اذا تحقق ما يلي : اذا كان  ب ر حـ  و  حـ ر ب   فان  ب = حـ
 نعرف على مجموعة المستقيمات في المستوي  العلاقات :
ر1  : ل1  ر1   ل2  يكافئ ل1 يوازي  ل2  ( واضح انها  انعكاسيه  وتناظريه ومتعديه وغير تخالفيه )
ر2 : ل1  ر2   ل2  يكافئ ل1عمودي على   ل2  ( واضح انها ليست  انعكاسيه  لكنها تناظريه وليست متعديه وليست تخالفيه )
نعرف على مجموعة الأعداد  الحقيقيه العلاقه  ر3  :   ب ر3  حـ  يكافئ  ب >= حـ      
ر3 : واضح انها انعكاسيه وغير تناظريه  ومتعديه  وتخالفيه  
اذا كانت العلاقه تحقق الصفات ( الانعكاسيه  والتناظريه والمتعديه )  نقول عنها انها علاقة تكافؤ  مثل   ر1  المذكوره  سابقا
اذا كانت العلاقه تحقق الصفات ( الانعكاسيه  والتخالفيه والمتعديه )  نقول عنها انها علاقة ترتيب  مثل   ر3   المذكوره  سابقا
*  اذا كانت العلاقة هي علاقة تكافؤ  فيوجد ما يسمى صفوف تكافؤ :
صف تكافؤ ب يرمز [ب] = مجموعة كل العناصر المرتبطة بالعنصر  ب  وفق ر علاقة التكافؤ المفروضة عاى المجموعة  س
                          [ب] = { أ ينتمي الى س  و     أ ر س  }
مثلا في حالة  علاقة التوازي  ر1 المعرفة على مجموعة مستقيمات المستوي  هي علاقة تكافؤ صفوف التكافؤ عددها غير منته
 صف تكافؤ المستقيم ل هو  :   [ ل ] = { كل المستقيمات التي توازي ل }    ،  وهي ما يسمى الحزمة المتوازية
نعرف على المجموعه  ح * =ح/{0}    العلاقه  ر كما يلي :    أ  ر ب  يكافئ    أ × ب > 0
 هي علاقة تكافؤ تحقق الخواص ( الانعكاسيه  والتناظريه والمتعديه )  
 وهنا يوجد صفا تكافئ  الأول  مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة تماما  والثاني مجموعة الأعداد االحقيقية السالبة تماما
 ونلاحظ هنا  [ 3 ] = [ 7 ] =[ أي عدد حقيقي موجب ] = { مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبه }
                 [ -1 ] = [ - 5 ] =[ أي عدد حقيقي سالب ] = { مجموعة الأعداد الحقيقية السالبة }
* اما  اذا كانت العلاقة هي علاقة ترتيب  فيوجد ما يسمى:
1-   ترتيب كلي  :اذا كان كل عنصرين من المجموعة متقارنين بالنسبة  للعلاقة المعرفة على المجموعة
2-   ترتيب جزئي اذا وجد عنصران  من المجموعة لايرتبطان وفق العلاقة المفروضه
 الدالة أو ( التابع )
  الدالة : هي علاقة يرتبط بكل عنصر من منطلقها عنصر واحد فقط من المستقر
  الدالة تتألف من : 1- المنطلق ، 2- المستقر ، 3-  قاعدة الربط ( البيان )
 د(س) : منطلقها س ومستقرها  ص    ( اذا كانت كل من س و ص مجموعة عدديه  تدعى داله عدديه )
  ملاحظه تتعلق بالدالة : اذا رسمت الدالة في المستوي فان أي مستقيم يوازي محور الصادات يقطعها بنقطة واحدة على الأكثر
 الدالة المتباينه ( اذا اختلف عنصران من المنطلق يجب ان تختلف صورهما )
                    ب1 ،ب2 عنصران من المنطلق اذا كان  ب1 لايساوي ب2  فإن   د(ب1) لا تساوي د(ب2)  وهذا يكافئ :
                     اذا كان :   د(ب1) = د(ب2)  فان   ب1 = ب2
   اذا رسمت الدالة المتباينة  في المستوي فان أي مستقيم يوازي محور السينات يقطعها بنقطة واحدة على الأكثر
الدالة الغامره : أي عنصر من المستقر يرتبط بـ عنصر من المنطلق  
   اذا رسمت الدالة الغامرة  في المستوي فان أي مستقيم يوازي محور السينات يقطعها بنقطة واحدة على الأقل
 اذا كانت الداله متباينه وغامره  تدعى تقابل
  لكل داله تقابل داله عكسيه   قاعدة ربطها  هي البيان العكسي للداله
 ق(س) : منطلقها المجموعه س ومستقرها المجموعه ص
  الداله العكسيه لها ترمز ق-1(س) : منطلقها المجموعة ص ومستقرها المجموعة
  وهنا بيت القصيد :
  لن نتطرق الى موضوع النهايات( الغايات) و المشتقات والتفاضل( فهو بحر بحد ذاته ) لكن :
 بشكل مبسط  وموجز  [   تفاضل داله = مشتقها × تفاضل المتحول ] يرمز تفاضل المتحول بـ     دس  
 نعرف على مجموعة الدوال العددية ق(س) القابلة للإشتقاق على مجال س محتوى في ح  العلاقة : ر كما يلي :
   ق1(س)   ر  ق2(س)   يكافئ   مشتق   ق1(س)   =  مشتق  ق2(س)  
     هي علاقة تكافؤ تحقق الخواص الثلاثة ( الانعكاسيه  والتناظريه والمتعديه )
 صف تكافؤ داله هو :  [ ل(س)] = { كل الدوال التي مشتقها = ل(س)  ]
  أي                       [ ل(س)] = {  ل(س)  + ث  : ث ثابت  حقيقي }        فاذا كان مشتق احدها هو ق(س)
   فان أي عنصر من  [ ل(س)] مشتقه هو الدالة  ق(س)
   ندعو صف التكافؤ [ ل(س)]  مجموعة التوابع الأصليه  للدالة  ق(س)  
  ويرمز  [ ل(س)]  = تكامل ق(س) ×دس     ترمز تكامل بلاشاره المعروفه    المشابه  للحرف s   بشكل معكوس
 أي    تكامل ق(س) ×دس  =  [ ل(س)]  =  {  ل(س)  + ث  : ث ثابت  حقيقي ]        
  حيث    ق(س)  الدالة  المكامله  
            س   متحول  التكامل
           ق(س)  دس     العنصر التفاضلي للتكامل
          ث   ثابت التكامل
وان ما يدعى بالتكامل غير المحدود هو   =    تكامل ق(س) ×دس  =  [ ل(س)]  =  {  ل(س)  + ث  : ث ثابت  حقيقي ]
·   ان عملية التكامل غير المحدد هي العملية العكسية لعملية التفاضل .
 على سبيل المثال :  تكامل (2س)دس =[ 2س] ={  س2  + ث  : ث ثابت  حقيقي }  
التكامل المحدد للدوال المستمره على مجال س محتوى في ح  :
في ماسبق تعرفنا الى صف التكافؤ     [ ل(س)]  = تكامل ق(س) ×دس     وهو يمثل عدد لا نهائي من الدوال
يوجد من بين دوال  الصف  [ ل(س)]  داله وحيده لا(س)  تأخذ القيمه ( 0 ) عندما يأخذ متحول التكامل قيمه معينه  ولتكن س0
 لتعيين هذه الداله :
 لا(س) = ل(س) +  ث
   0    = ل(س0) + ث  وهذا يعطي ان    ث = - ل(س0)  
 لا(س) = ل(س)  - ل(س0)    وهذا ما يسمى بالتكامل المحدود من  س0  الى س  
          س                                س
       تكامل ق(س)دس  = [ ل(س)]      =  ل( س) - ل(س0 )    
          س0                             س0                              
وبفرض الداله معرفه ومستمره على المجال  [ ب ، حـ ]
          ب                                ب
       تكامل ق(س)دس  = [ ل(س)]      =  ل( ب) - ل(حـ )    وهذا ما يدعى التكامل المحدود  من  ب الى حـ  
          حـ                              حـ    

 ربنا لا تؤاخذنا إن نسينا أو أخطأنا ....                        
أمل أن يستفيد البعض من بعض ما ذكر وأرجو من ادارة المنتدى  والمشرفين  اذا كان بالامكان  كتابة بعض الرموز
 او تعليمنا طريقه مبسطه ولا تأخذ حجم  لادراج بعض الرموز التي لايمكن الاستغناء عنها  في التوضيح مع جزيل الشكر

[رائد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
اضافةبسيطة
علاقة الترتيب الجزئي هي ان تكون العلاقة عاكسة وتخالفية ومتعدية
وتكون ترتيب كلي اذا حققت بالاضافة الى ماسبق شرط هو
لكل عنصرين  م، ن ينتمون للمجموعة ش فان
                          م ع ن  او  ن ع م
حيث ع تدل على العلاقة
 ودمتم

[عسكر]

وعليكم السلام والرحمة والاكرام
 شكرا على اهتمامك يا أخ رائد
ذكر سابقا
اذا كانت العلاقه تحقق الصفات ( الانعكاسيه  والتخالفيه والمتعديه )  نقول عنها انها علاقة ترتيب  مثل   ر3   المذكوره  سابقا
ثم تم ذكر
* اما  اذا كانت العلاقة هي علاقة ترتيب  فيوجد ما يسمى:
1- ترتيب كلي  :اذا كان كل عنصرين من المجموعة متقارنين بالنسبة  للعلاقة المعرفة على المجموعة
2- ترتيب جزئي اذا وجد عنصران  من المجموعة لايرتبطان وفق العلاقة المفروضه
 ودائما ننتقل من العام الى الخاص ترتيب ثم يتفرع الترتيب الكلي والجزئي
 [ لأنه حسبما ذكرت اذا عرفنا على مجموعة الأعداد الحقيقية العلاقه اكبر او يساوي
فتكون (ح ،>=) وهي تحقق الخواص الثلاث فهي علاقة ترتيب جزئي ] بينما هي علاقة ترتيب كلي ما رأيك ؟
 ورحم الله امرأ أهدى إلينا عيوبنا

[الخالد]

لأ أعرف هل أشكرك أولاً أوأشكر استاذنا الفاضل / محمد الجماصي ، الذي بلا شك سن سنة حسنة .
أشكرك أخي عسكر ، وإن كان لي من ملاحظة بسيطة فهي عدم احتواء هذا العرض الموجز والمتميز ، رسوم هندسية وتوضيحية تتوج هذا المجهود الرائع.

على كل حال بإمكانك إضافة أي رسوم تراها مناسبة في المستقبل .

واسمح لي أن أقوم بتثبيت الموضوع لأهميته ، وجزاك الله خير.

أخوكم / خالد

[عسكر]

هلا بالغالي
  أولاً : الشكر لله الذي اجتمعنا بمشيأته وعونه
ثانيا : الشكر لأبو سلمان الذي جمعنا في استضافته
ثالثا : الشكر لكل الأعضاء الذين يساهمون في اغناء هذا المنتدى ورفع المستوى التعليمي
        ونخص الأستاذ محمد شكري الجماصي الذي سبقنا إلى مكرمة أثابه الله أحسن الثواب
        [ومن سن سنة حسنة فله أجرها وأجر من عمل بها إلى يوم القيامة ...  ]
رابعا : الشكر لكل لكل الزوار ونتمنى أن يصبحوا أعضاء ويفيدونا بملاحظاتهم وأرائهم
        ومقترحاتهم فبهم يعيش المنتدى ويسموا.
       والحقيقة أننا جميعا كما يقول المثل كركبتي البعير ننهض معا ونقع معا
        تأبى الرماح إذا اجتمعن تكسرا      وإذا افترقن تكسرت آحادا

[رائد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
ياخي
لدي ملاحظة بسيطة
اعطيت مثال للضرب الديكارتي
س=ْ{1,2.3}
ع={4,5}
لكن في ايجادك س×ع عكست بمعنى انك اوجدت ع×س
لان س×ع= {(4,1),(5,1)و(4,2),(5,2),(4,3),(5,3)}

[عسكر]

بسم الله الرحمن الرحيم
وعليكم السلام ورحمة الله
ملاحظة في محلها وكلامك لاغبار فيه أو عليه والسبب يعود لكونه تم تحرير الملف على وورد
وعند الكتابة يعتبر الفاصلة عشرية وليس فاصلة ثنائيه لمسقطين
ولذا فمن الأفضل تحرير المشاركات على المفكرة
شكرا جزيلا على هذه الملاحظة الدقيقة ولايزال المرء يتعلم حتى يقول علمت عندها يكون قد جهل

[محمد سامي أنا]

السلام عليكم و رحمة الله الله تعالى ورحمة الله و بركاته  وبركاته  هل توجد علاقة بين مجموعة مثلا ك و مجموعة خالية أنا لم أجد أي تعريف يقول أنه يشترط أن تكون المجموعتين خاليتيين ، ما أعلمه أن العلاقة هي مجموعة جزئية من الجداء الديكارتي
و في هذه الحالة ماذا يساوي الجداء الديكارتي لمجموعة معينة ك و المجموعة الخالية
العلاقة بين مجموعتين هي إرتباط بين بعض أو كل عناصر مجموعة و بعض أو كل عناصر مجموعة : نفهم من هذا التريف أن بيان العلاقة لايمكن أن يكون خاليا و نحن نعلم أن بيان العلاقة يمكن أن يكون خاليا إذا لم توجد أية ثنائية مرتبة تحقق العلاقة أم أنني لم أحسن فهم التعريف
أطلب من الله تعالى ثم  منكم يد العون فأنا في حيرة.
samiseulement@yahoo.fr