مسالة في القيم القصوى

[العصفور]

أوجد القيم القصوى للدالة د(س) = جاس + جتاس في الفترة [- ط , ط ] .
وللدالة د(س) = 2س (أ^2 - س^2 ) ^ 1/2 في الفترة [0 , أ ] .
ملاحظة : المقدار (أ^2 - س^2 ) أس 1/2 يعني تحت الجذر التربيعي ....
وشكرا لكم ,,,,,,,

[الخالد]

د(س) = جاس + جتاس معرفة على الفترة [- ط , ط ]

د`(س)= جتاس - حاس
د`(س)= صفر  يكافئ
جتاس - جتاس =0
واضح ان : س = ط/4
اي أن القيم القصوى الموجودة في الفترة (-ط،ط) هي ط/4
وبالتالي قيم د القصوى تتحقق في النقاط التالية : { -ط ، ط/4 ، ط }
النقاط الحرجة هي :

(ط ، د(ط)) =  (ط ، -1)
(-ط ، د(-ط))= (-ط ، -1)
(ط/4 ، د(ط/4)) = ( ط/4 ، 0)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
بالنسبة للدالة:
د(س) = 2س (أ^2 - س^2 ) ^ 1/2 في الفترة [0 , أ ]
واضح ان الدالة معرفة على الفترة [0 , أ ]
ولبحث النقاط الحرجة على الفترة المغلقة  (0 , أ )
نوجد:
 د`(س)= 2(أ^2-س^2)^(1/2) -2س^2(أ^2-س^2)^(-1/2)
وبتبسيط هذا المقدار ينتج:
د`(س)= [2(أ^2 - 2س^2]/(أ^2 -س^2) ^1/2
المشتقة معرفة على الفترة المغلقة (0 ، أ)

الآن نوجد النقاط الحرجة داخل الفترة المغلقة   (0 ، أ)
د`(س)= صفر  يكافئ

[2(أ^2 - 2س^2]/(أ^2 -س^2) ^1/2 =0
وهذا يكافئ ...
2(أ^2- 2 س^2 ) = 0
اي أن:

س^2= أ^2/2
س = أ/ جذر(2)    أو       س = -أ/ جذر(2)

القيم القصوى هي   {صفر ، أ/ جذر(2)  ، أ }

[العصفور]

مشكور أخوي الخالد على الرد ....
طيب بالنسبة للنقطة -3ط/4 ....
اليست تنتمي للفترة [ -ط , ط ] وتحقق المشتقة  وعندها قيمة صغرى للدالة وقد تأكدت من ذلك بالرسم البياني أنا الحل اللي عندي في الكتاب اللي أخذت منه المسألة :-
القيمة العظمى = جذر 2 عند س = ط/4
والصغرى = -1 عند س = -ط , ط
ولكن بعد الحل الجبري والرسم البياني تبين أنه القيمة الصغرى = - جذر 2 عند
س = -3ط/4
ودي أعرف ايش الحل الصحيح ....
والف شكر لك على الرد ....

[الخالد]

نعم هناك خطأ...ارجو المعذرة ..
د(ط/4) = جا (ط/4) + جتا (ط/4)=  جذر(2)/ 2 + جذر(2)/ 2 = جذر(2)
(لقد عوضت بالخطأ في المشتقة !!'>

بخصوص :
س = -3ط/4    
لا يبدو لي انها نقطة حرجة ...
معليش معلوماتي قديمة شوي ... ارجو التأكد من إشارة الجيب وجيب التمام في ارباع دائرة الوحدة.
يعني .. هل    د`(-3ط/4) = صفر ؟

مع شكري للتواصل

[عسكر]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
بســم اللــــه وعلــى بركـــة اللــــه
مارأيكم لو نتبع الطريقة التالية دون الاشتقاق


حا س + جتا س = /\ 2 جتا( س - p /4 )
أكبر قيمه للـ  جتا = 1   ضمن المجال  [ - p  ، p  ]
حتا ( س - p  / 4 ) = 1 ـ   ( س - p  / 4 ) = 2 p  ك حيث ك عدد صحيح
ك=0 ـ س = p  / 4

وبالمثل أصغر قيمة للـ جتا في المجال المذكور = -1
س - p  / 4 =  p  + 2 p  ك
ك = 0  ـ س = 5 p  /4
ك = -1 ـ س = - 3 p / 4 وهي ضمن المجال

طبعا يجب أخذ طرفي المجال بالاعتبار لكن أوردنا الطريقة فقط
لعلها إضافة مفيدة
التحية للجميع