Advanced Search

المحرر موضوع: مسألة في علم المنطق الرياضي  (زيارة 1619 مرات)

0 الأعضاء و 1 ضيف يشاهدون هذا الموضوع.

أبريل 24, 2005, 04:54:00 صباحاً
زيارة 1619 مرات

الزمن القادم

  • عضو مبتدى

  • *

  • 58
    مشاركة

    • مشاهدة الملف الشخصي
مسألة في علم المنطق الرياضي
« في: أبريل 24, 2005, 04:54:00 صباحاً »
مسألة في علم المنطق الرياضي

والله لاأدري كيف جاءت "سيسبي" هذه !!!!!

اعتذر اعتذارا شديدا على العنوان الذي لا معنى له فقد كان زلة يد واستميح المشرف الفاضل أن يغيره لأنني لم استطع تغييره إلى :"مسألة في علم المنطق الرياضي".

 هذه المسألة عبارة عن نظرية كرت قودل الرياضي الشهير  واللتي أثبت عن طريقها استحالة اختراع ذكاء صناعي يضاهي العقل البشري. وهي نظرية فائقة وتدل على الذكاء والبساطة في آن معاً وتسمى "نظرية النقصان أو عدم اكتمال الأنظمة المنطقية في ذاتها"

ماهي الفرضية (proposition) اللتي تقوم عليها النظرية (والبعض يستعمل conjecture  بدلا من proposition) ؟

الفرضية تقول: لا يوجد نظاما رياضيا منطقيا مغلقاً يمكن أن يتحقق بنفسه  من جميع مسلماته الذاتية من خلال البديهيات اللتي يحتويها ذلك النظام.

)there is no logical system that can prove all sets of axioms using the axioms of that system(
كيف ذلك؟

هنا سوف أقدم لكم الإثبات على شكل جمل مبسطة وسأجتنب استعمال الرموز الرياضية المنطقية (Logic Notations)  تفادياً للتعقيد واالتشويش.

يقول كرت قودل لنفترض أن لدينا آلة ذكاء صناعي تحتوي على برنامج رياضي متناهي العناصر والعمليات (لأنه – طبعا - لا يمكن أن يوجد آلة لا متناهية العناصر والعمليات ).
 
ثانيا: لنقدم لهذه الآلة الجملة اللغوية التالية كمدخل (بضم الميم) لتقوم بمعالجته :"الآلة (ولنسميها الآلة س) اللتي تعمل بموجب البرنامج المتناهي (ولنسميه برنامج ص) لن تقول أبداً ان هذه الجملة (ولنسميها جملة ك ) صحيحة (true)"

تنبيه: لا حظوا أيها الأخوة والأخوات أن الضمير (هذه) اسم إشارة يعود على نفس الجملة التي ورد فيها !  ولا حظوا أيضا أن "ك" تعني الجملة التالية:" الآلة (س) اللتي تعمل بموجب البرنامج المتناهي (ص) لن تقول أبداً ان هذه الجملة (ك ) صحيحة (true)"


الآن ماذا سيحصل لهذه الآلة ؟ (كويس إذا ما انفجرت !!!)

تابع معي التحليل المنطقي التالي:

لو قالت الآلة أن الجملة "ك" صحيحة لأصبحت الجملة:" الآلة (س) اللتي تعمل بموجب البرنامج المتناهي (ص) لن تقول أبداً ان هذه الجملة (ك ) صحيحة (true)" خاطئة ، ومادام أن هذه الجملة خاطئة فإن ذلك يقتضي أن تكون "ك" خاطئة أيضا كذلك لأن "ك" ما هي إلا الجملة :" الآلة (س) اللتي تعمل بموجب البرنامج المتناهي (ص) لن تقول أبداً ان هذه الجملة (ك ) صحيحة (true)" ومن هذا المنطلق كلما قالت الآلة أن هذه الجملة صحيحة  فإنها لا تفعل شيئا سوى أن تقول أن "ك" خاطئة إلى مالا نهاية. وبهذا يكون المخرج دائما "خاطيء".

ولكن إذا كان المخرج دائما خاطيء فإن هذا يعني بالمقابل أن الجملة "ك" صحيحة بالفعل لأنها حققت الجملة اللتي تقول : " الآلة (س) اللتي تعمل بموجب البرنامج المتناهي (ص) لن تقول أبداً ان هذه الجملة (ك ) صحيحة (true)" وبالتالي الالة لن تقول أبداُ أن "ك" صحيحة. إذاً "ك" بالفعل صحيحة.

إذا نحن نعلم حقيقة لا يمكن ان تعلمها الآلة وهي أن "ك" صحيحة. نحن لدينا ملكة اسمها "البصيرة الرياضية" يفتقدها النظام الآلي دوما. وعلى الرغم من أننا نعلم  (كبشر) أن "ك" صحيحة إلا أننا لا نستطيع أن نثبت ذلك إثباتاً يحقق الناتج النهائي ومع ذلك نعلم يقينا أنها جملة صحيحة. كيف ذلك؟

سوف أبين لك من خلال علم اللغة (وهو مرتبط جدا بعلم المنطق) كيف الطريقة.

تخيل أنك آلة (معليش) وردد لنفسك هذه الجملة:"أنا لا أستطيع أن أقول أبدا أن هذه الجملة صحيحة" ستجد انك عندما تصل في كل مرة الى هذا الجزء من الجملة :"هذه الجملة"  ستظطر إلى تفسير اسم الإشارة "هذه" فتعوض بدلا من اسم الإشارة التقدير المحذوف والذي هو الجملة نفسها:" أنا لا أستطيع أن أقول أبدا أن هذه الجملة صحيحة" ولا حظ أنك من المفترض ان لا تستطيع أن تكمل الجملة أصلا  فكلما وصلت اسم الإشارة عدت وعوضت من جديد وهكذا إلى مالا نهاية. إذا متى ستكمل الجملة لكي تقول ان الجملة صحيحة ؟ الله أعلم !!!

هذا إذا كنت آلة والتي تفكر بأسلوب يسميه علماء النفس "أسلوب خطي " أو (linear thinking) أو إن شئت سمه أسلوبا خوارزميا. ولكننا نحن البشر لا نفكر دائما بهذه الطريقة بل نفكر بإسلوب غير خطي أو (non-linear thinking) ولذلك نجد أننا نؤمن ببديهات لا نستطيع ان نسترسل في إثباتها.

ولكن هناك معضلة أخرى :"استخدم بدهياتك العقلية ذاتها لإثبات أن بدهياتك العقلية صحيحة؟"

إنه كمن يريد أن ينظر  إلى وجهة بواسطة عينيه ! ! أو كالمرآة تريد أن ترى نفسها باستعمال نفسها !!

ولله الأمر جميعا.

دمتم في حفظ الله ورعايته



إن اعجب المفارقات أن يبحث الإنسان عن الحقيقة وهو غير مستعد لقبولها...(الزمن القادم)

أبريل 24, 2005, 09:58:32 مساءاً
رد #1

mathup

  • عضو متقدم

  • ****

  • 636
    مشاركة

  • مشرف الرياضيات

    • مشاهدة الملف الشخصي
مسألة في علم المنطق الرياضي
« رد #1 في: أبريل 24, 2005, 09:58:32 مساءاً »
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

شكرا أخى الكريم الزمن القادم

موضوع مميز  ومثير للأفكار

ويإعادة صياغة هذه الفرضية بطريقة عكسية فإنها

 تؤكد أن هذا الكون البديع لا يمكن أن ينتظم بذاته بهذه الدقة

إلا من خلال وجود إله علىٌ قديرٌ  له كل صفات الكمال والجلال هو  الله الذى لا إله إلا هو الحى القيوم
قال تعالى " إنَّ الله يُمسكُ السَّمَواتِ  والأرضَ أن تَزُولا  ولئِن زالتا إن أمسكهُما من أحدِ من بعده إنه كان حليماًً غفوراً " سورة فاطر الآية 41
شكرا لك

أبريل 24, 2005, 11:28:35 مساءاً
رد #2

الزمن القادم

  • عضو مبتدى

  • *

  • 58
    مشاركة

    • مشاهدة الملف الشخصي
مسألة في علم المنطق الرياضي
« رد #2 في: أبريل 24, 2005, 11:28:35 مساءاً »
أثابك المولى على طيب كلماتك وعلى هذه اللفتة المباركة...

بالفعل هذه نظرية رائعة ، وكما ألمحت ...لا يوجد شيء مكتمل في ذاته اكتمالا تاما إلا الله تعالى ولذلك سمى نفسه "الغني" ، وقال تعالى:"كل شيء هالك إلا وجهه" سبحانه وتعالى. ومن جهة أخرى النظرية تدل على براعة العقل البشري في اكتشاف مثل هذه النظريات العميقة عن النفس والموجودات.

أحسن الله إليك أخي.
إن اعجب المفارقات أن يبحث الإنسان عن الحقيقة وهو غير مستعد لقبولها...(الزمن القادم)

أبريل 26, 2005, 12:49:19 صباحاً
رد #3

ساكن الأفق

  • عضو متقدم

  • ****

  • 899
    مشاركة

    • مشاهدة الملف الشخصي
مسألة في علم المنطق الرياضي
« رد #3 في: أبريل 26, 2005, 12:49:19 صباحاً »
موضوع رائع فعلا..

كثير من البراهين التي يستغرق الإنسان زمنا طويلا في الوصول إليها بسيطة جدا وبديهية، وربما يكون هذا مصداقا لهذه القاعدة..

أما موضوع كمال الله، فهو من الأمور التي تشد العقل، إذا إنه، مع أنه عند غاية الكمال، بسيط إلى حد أنه لا يوجد مكان لغيره معه. يمكننا أن نشبه الوجود بنظام أعداد أساسه واحد، لا يمكنه أن يحمل إلا عددا واحدا هو الصفر، أو أنه وجود بدون أبعاد _صفر من الأبعاد_، فلا يستوعب إلا نقطة واحدة. (مع ملاحظة أن هذه التشبيهات لتقريب المفهوم فقط).

شكرا لك.. '<img'>


لا نزال نسعى نحو آفاق بعيدة ..... وفي طريقنا إليها نسكنها ... نسكنها بأرواحنا وأفكارنا وأحلامنا ... حتى إذا بلغناها سكناها بأجسامنا فأنفت أرواحنا أن تسكنها وتطلعت إلى آفاق أبعد ... وهكذا نبقى نسكن الآفاق البعيدة .....

أبريل 29, 2005, 02:52:15 مساءاً
رد #4

أرشميدس مصر

  • عضو خبير

  • *****

  • 1875
    مشاركة

  • مشرف الفيزياء

    • مشاهدة الملف الشخصي
مسألة في علم المنطق الرياضي
« رد #4 في: أبريل 29, 2005, 02:52:15 مساءاً »
موضوع جميل.. لقد استوقفتني هذه الحقيقة ذات مرة وظللت أفكر فيها كثيرا وتوصلت إلى استنتاج مطابق أو مماثل بأننا لا يمكن أبدا أن ندخل لفظ المعرف في نص التعريف.. لأننا في هذه الحالة سنظل نكرر جزءا من التعريف إلى ما لا نهاية .  وهو الخطأ الذي ترتكبه معظم الكتب العلمية. ويقع فيه كثير من المنطقيين

وبالمقارنة مع ما يحدث للآلة فإن هذه الفكرة تكون أوضح.. .

ولكني على العموم لم ألتفت لهذا الأمر كثيرا.. ولم أعلم بان هناك ما يسمى بنظرية كرت قودل..
هل يمكنك أخي الزمن القادم أن تحدثنا عن هذا الرياضي؟

مع تحيات أخيكم أرشميدس مصر.




أبريل 29, 2005, 03:14:19 مساءاً
رد #5

الزمن القادم

  • عضو مبتدى

  • *

  • 58
    مشاركة

    • مشاهدة الملف الشخصي
مسألة في علم المنطق الرياضي
« رد #5 في: أبريل 29, 2005, 03:14:19 مساءاً »
كما يقولون أخي:

غالي والطلب رخيص.

سأفعل إن شاء الله تعالى ..
إن اعجب المفارقات أن يبحث الإنسان عن الحقيقة وهو غير مستعد لقبولها...(الزمن القادم)

أبريل 29, 2005, 03:20:12 مساءاً
رد #6

الخالد

  • عضو خبير

  • *****

  • 2286
    مشاركة

  • مشرف الرياضيات

    • مشاهدة الملف الشخصي
    • http://
مسألة في علم المنطق الرياضي
« رد #6 في: أبريل 29, 2005, 03:20:12 مساءاً »
السلام عليكم
بالفعل موضوع جميل '<img'>
جزاك الله كل الخير وعذرا أخي الكريم فلم أقرأ الموضوع بتمعن إلا الآن .
شكرا مرة أخرى وقد تم التعديل.

تحياتي


كفى بك داء أن تـرى الموتَ شـافيـاً                و حسبُ المنـايا أن يكنّ أمانيـــا

أبريل 29, 2005, 03:49:16 مساءاً
رد #7

الزمن القادم

  • عضو مبتدى

  • *

  • 58
    مشاركة

    • مشاهدة الملف الشخصي
مسألة في علم المنطق الرياضي
« رد #7 في: أبريل 29, 2005, 03:49:16 مساءاً »
بارك الله فيك وجزاك الله خيرا أخي...

دمتم في حفظ الله
إن اعجب المفارقات أن يبحث الإنسان عن الحقيقة وهو غير مستعد لقبولها...(الزمن القادم)

أبريل 29, 2005, 10:00:19 مساءاً
رد #8

أرشميدس مصر

  • عضو خبير

  • *****

  • 1875
    مشاركة

  • مشرف الفيزياء

    • مشاهدة الملف الشخصي
مسألة في علم المنطق الرياضي
« رد #8 في: أبريل 29, 2005, 10:00:19 مساءاً »
أغلى الله معدنك .. وأعلى مقدارك..
مشكور شكرا جزيلا.
مع تحيات أخيكم أرشميدس مصر




أبريل 29, 2005, 10:00:52 مساءاً
رد #9

أرشميدس مصر

  • عضو خبير

  • *****

  • 1875
    مشاركة

  • مشرف الفيزياء

    • مشاهدة الملف الشخصي
مسألة في علم المنطق الرياضي
« رد #9 في: أبريل 29, 2005, 10:00:52 مساءاً »
في الانتظار بإذن الله




أبريل 30, 2005, 12:40:31 صباحاً
رد #10

الزمن القادم

  • عضو مبتدى

  • *

  • 58
    مشاركة

    • مشاهدة الملف الشخصي
مسألة في علم المنطق الرياضي
« رد #10 في: أبريل 30, 2005, 12:40:31 صباحاً »
هذه ترجمة مختصرة للرياضي كرت غودل:

ولد كرت غودل في هنغاريا وتحول عندما بلغ 32 سنة للجنسية الألمانية وقد أكمل دراسته في جامعة فيينا وكان يبلغ من العمر عند نشره للنظرية التي ذكرتها بالأعلى 25 سنة وذلك في سنة 1931. العجيب أن هذه الورقة ظلت قابعة في الأدراج لبرهة من الزمن واستخرجت جزافا - إن صح التعبير - ووجد فيها الباحثون تأصيلا منطقيا قويا في مسألة المجموعات والأنظمة المغلقة وكذا المعرفات الأساسية لبدهيات تلك النظم. من المعروف عند الكثير أن برتراند رسل ومعه وألفرد وايتهد قاما بمحاولة لجمع شتات الرياضيات وإعادة برهنة وصياغة المشكلات الرياضية المختلفة وذلك بلغة منطقية ولغوية جامعة مانعة (كما يقولون) محاولة منهم لحسم مادة الخلاف في بعض المسائل والتأكيد على ثبوت المتبقي وذلك ليتسنى للرياضيون والمناطقة الانتقال لشيء جديد ونظريات أحدث. وسمي كتابهما (Principia Mathematica). ورغم جهودهم الجبارة في عمل كهذا إلا أنه تخلله نقص كثير. ومن أعظم ما قام به هذا الرياضي البارع هو اثبات مسألة وجود بدهيات معرفة لنظام مغلق معين لا يمكن البرهنة على صحتها أو خطأها في آن معا وكان هذا العمل مما كشف عن بعض الثغرات في عمل برتراند رسل وزميله بخصوص استيفاء تعريف البدهيات المعرفة لنظام رياضي معين. وسمى كرت قودل نظريته نظرية عدم إكتمال الأنظمة في ذاتها أو (Incompleteness Theorem) وصاحب ذلك الاعتراف بوجود ملكة بشرية سماها الرياضي المعاصر روجر بنروز (البصيرة الرياضية) ووصفها كذلك بأنها هبة من الله (God-gifted) للإنسان يتمكن بها من إدراك صواب شيء ما على أنه من البدهيات رغم عجزه عن البرهنة على إثبات صحتها أو خطأها.

الجدير بالذكر أن بعض من ترجم له يذكر اصابته بالرهاب وحبه للإنعزال والوحدة ولا ريب فقد كان فيلسوفا جانحاً ومنطقياً يحرق فكره وعقله حرقاً (ولكنه على الأقل خرج بنتيجة مبهرة ) وقيل أنه لما مرض أصابه الوسواس بأنه مسموم وهناك من أراد قتله فأضرب عن الطعام ليختار هذا العالم الفذ موته بنفسه...ومن لم يجعل الله له من نور فما له من نور.

وقد أجريت تعديلا لإدراج صورته (فالبعض تساعده الصور في تثبيت المعلومة ) ':<img:'>





إن اعجب المفارقات أن يبحث الإنسان عن الحقيقة وهو غير مستعد لقبولها...(الزمن القادم)

أبريل 30, 2005, 10:47:47 مساءاً
رد #11

G H Hardy

  • عضو خبير

  • *****

  • 1660
    مشاركة

  • عضو موقوف

    • مشاهدة الملف الشخصي
مسألة في علم المنطق الرياضي
« رد #11 في: أبريل 30, 2005, 10:47:47 مساءاً »
السلام عليكم
هناك مشكله استدعت وجود مثل هذه النظريه لكن بالظبط ما اعرفها ممكن اذا كان عندك معلومات عنها
وهي مشكله طرحها هلبرت وهي عن الاعداد الكرديناليه ومشكلة نظرية كانتور في المجموعات الااللنهائيه
ساعدنا

مايو 01, 2005, 03:20:00 صباحاً
رد #12

الزمن القادم

  • عضو مبتدى

  • *

  • 58
    مشاركة

    • مشاهدة الملف الشخصي
مسألة في علم المنطق الرياضي
« رد #12 في: مايو 01, 2005, 03:20:00 صباحاً »
وعليكم السلام...

بالفعل المشكلة لها تعلق بما ذكرت ولكنها ليست منحصرة في ذلك فحسب. التوجه الذي سلكه كرت قودل أعم وأوسع في معالجته لموضوع المشكلة. وموضوع المشكلة نبع من اعتقاد برتراند رسل وزميله بأن مسألة تعريف وحصر مجموعة الجمل البدهية المعرفة للأنظمة الرياضية المغلقة (أي نظام رياضي) يمكن تحقيقها بتوظيف الرموز والجمل المنطقية لوصفها وصفا كاملا. كرت قودل اكتشف بذكائه الحدسي (الذي وهبه الله إياه !!) وجود ثغرة لطيفة وهي أنه بالإمكان وصف الموصوفات باستعمال الأرقام أو الأعداد بدلا من الرموز. بهذه الطريقة برزت عيوب منهج رسل وزميله وايت هد لأن عملهم في هذه الحال لم يكن سوى إعادة وصف الموصوفات (الأنظمة الرياضية في هذه الحال) بطريقة سطحية لا جديد فيها إلا الاصطلاح الظاهري وأن الذي كان يبنبغي أن يحدث هو وصف مفردات هذه الأنظمة بمجوعة معرفات خارج هذا النظام (أي "لا تنتمي" إليه). واثبت قودل أن عمل رسل يؤدي إلى ما يعرف في علم المنطق ب "الدور" أو "التسلسل الدائري"
(cirularity). والأنظمة المغلقة التي ذكرت هنا تمثلها نظرية كانتور عن المجموعات إذ كل نظام مغلق عبارة عن مجموعة ووصف كل مجموعة باستعمال عناصر تلك المجموعة لا يفيد شيئا للبرهنة على "مطلقية" صحة مجموعة الجمل البدهية المعرفة لعناصر تلك المجموعات (والعناصر كما هو معلوم يمكن ان تكون أي شيء ، وهنا مثلا هي عبارة عن مجموعة البدهيات المعرفة لنظام رياضي مغلق) أما بالنسبة لهلبرت فقد كان مهتما بمسألة الإنسجام أو السلامة من التناقض
(consistency) لمجموعة البدهيات المعرفة لنظام رياضي مغلق. فحاول جاهدا استحداث منهج استنتاجي مطلق البرهان (absolute)  لحصر وفهم الحقائق الرياضية بدلا من (relative) أو المنهج الاستنتاجي النسبي أو الناقص  الذي خيم على تلك الفترة في معالجة علوم الرياضيات. ولكن قودل صعق الوسط الرياضي باستحالة ذلك  ومع ذلك أجد دراسة وتأمل تفاصيل برهان النظرية نفسها أكثر فائدة لمن أراد التبحر في فهم معناها العميق.

وفقني الله وإياك لكل خير
إن اعجب المفارقات أن يبحث الإنسان عن الحقيقة وهو غير مستعد لقبولها...(الزمن القادم)