مسألة هندسية

[الخالد]

السلام عليكم

على الشكل التالي:
أ ب جـ  مثلث متساوي الساقين
|أ ب | = | أ جـ |
< أ = 20 درجة
<س ب جـ = 50 درجة
<ص جـ ب = 60 درجة
أوجد  قياس <س ص جـ ؟    

المطلوب اثبات وليس ايجاد قيمة فقط    ،   "< رمز الزاوية "

[الخالد]

بالمناسبة هذه المسألة معروفة بـ " مسألة لانغلي "

تحياتي

[عسكر]

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته  
 
 
مسألة جميلة لذيذة تحتاج إلى تفكير وجدت

قياس الزاوية = 30  درجه

وسأذكر الحل بالتفصيل إن شاء الله بعد أن  يدلي أحد الأخوة بحله ؟

 po  التحية للجميع  oi

[نوبل]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته.
أنا لم أحل مسائل مثلثات منذ خمس سنوات تقريبا ، لكنني حاولت وإليكم إجابتي أخي الفاضل " الخالد".

في البداية هذا المثلث وعليه قياسات الزوايا .


"توضيح" ص ب يمثل طول الضلع ص ب "  ص يمثل قياس الزاوية ص في المثلث المذكور.

في الثلث " ص ب جـ "
ص ب\60 = ب ج\40
 في الثلث "أ ب جـ"
أب\80 = ب جـ\20

>ص ب\3 = أب\8
>ص ب = 3\8 أب
> أ ص= 5\8 أب
>>> أب = 8\5 أص
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
في المثلث " س ب جـ"
س جـ\50 = ب جـ\50
> س جـ = ب جـ

في المثلث "أ ب جـ"
أ جـ\80 = ب جـ \20
>أ جـ\4 = س جـ
> أس = 3\4  أ جـ
> >>أجـ = 4\3 أس
""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
لكن أب = أ جـ
>8\5 أص = 4\3 أس
>>> أص = 5\6 أس
""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
""في المثلث  أ ص س  لدينا:""
أ=20 ،  أ ص = 5\6 أس ، ص + س = 160
 أ ص \ س = أ س \ ص
(5\6 أ س) \ س = أس \ص
>(5\6) \ س = 1 \ ص
>>>  5\6 ص = س

>  ص + 5\6 ص = 160
 >>> ص = 87.27
>>> س = 72.73
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> قياس الزاوية س ص جـ =67.27 <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
تم بحمد الله.

[الخالد]

السلام عليكم

اقتباس

المطلوب اثبات وليس ايجاد قيمة فقط

أخي الكريم نوبل
بارك الله فيك..
القيم الموضحة على الشكل الذي أرفقته صحيحة مئة بالمئة ، ولكن في البرهان ( كما يبدو لي ) استخدمت التناسب بين أضلاع المثلث والزوايا المقابلة وهذا ممكن أن يكون في حالة قانون الجيب فقط.
على كل حال النتيجة تحتاج اعادة نظر.

تحياتي لك

[نوبل]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته.
أعذرني أخي الكريم "الخالد" فكما ذكرت سابقا لم أحل مسائل مثلثات منذ 5 سنوات تقريا ، لكني سأعاود الكرة إن شاء الله.

[لـينـا]

السلام عليكم

حاولت في الحل ولم أتوصل للمطلوب
وعند مراجعتي لما كتب نسبة طول الضلع إلى الزاويه لم تمر معنا في الثانويه حتى الآن وقال الاستاذ المشرف أنها صحيحة في علاقة الجيب فقط هل يمكن التوضيح الذي مر معنا في أي مثلث نسبة طول اي ضلع الى حيب الزاويه المقابله له  يشكل نسب متساويه اتمنى التوضيع وان شاء الله احاول الحل مرة ثانيه

[محمد شكري الجماصي]

توجد قاعدة للجيب كل ضلع على حيب الزاوية المقابلة = ... ففي المثلث أ ب حـ يكون
أب ÷ حاحـ = ب حـ ÷ حاأ = أ حـ ÷ حا ب وبحسب قول الأستاذ الخالد يمكن التوصل للحل عن طريق قاعدة الجيب ولكن لا بد من استخدام الآلة الحاسبة أو طريقة أخرى للوصول إلى أن الزاوية (ب س ص) = 80 والتي سميتها ب في الحل التالي والزاوية المطلوبة س ص حـ سميتها أ
الحل :
قاعدة الجيب لو استخدمت لحصلنا على الناتج كالتالي
من المثلث ص ب حـ يكون ب حـ ÷ حا40 = حـ ص ÷ حا80 ومنها
حا40 ÷ حا80 = ب حـ ÷ حـ ص  ، حا80 = 2حا40حتا40
1 ÷ 2حتا40 = ب حـ ÷ حـ ص  (1)
من المثلث س ص حـ يكون س حـ ÷ حاأ = حـ ص ÷ حا(50+ب) لاحظ أ + ب + 70 = 180
حاأ=حا(180 – (70 + ب)) = حا(70+ب) ، س حـ = ب حـ لتساوي زاويتا القاعدة(50)
والتعويص في س حـ ÷ حاأ = حـ ص ÷ حا(50+ب) أعلاه يكون
ب حـ ÷ حا(70+ب) = حـ ص ÷ حا(50+ب) أي
حا(50+ب) ÷ حا(70+ب) = ب حـ ÷ حـ ص  (2)
من (1) ، (2) يكون
حا(70+ب) ÷ حا(50+ب) = 1 ÷ 2حتا40  
2حتا40 × حا(70+ب) = حا(50+ب)
2حتا40 (حا70حتاب + حتا70 حاب) = حا50 حتاب + حتا50 حاب
2حتا40 حا70حتاب + 2حتا40 حتا70 حاب = حا50 حتاب + حتا50 حاب
2حتا40 حا70حتاب – حا50 حتاب = حتا50 حاب - 2حتا40 حتا70 حاب
حتاب(2حتا40 حا70 – حا50) = حاب(حتا50 – 2حتا40حتا70)
حتاب(2حتا40 حتا20 – حا50) = حاب(حا40 – 2حتا40حتا70)
حتاب(حا60 + حا20 – حا50) = حاب(حا40 – حا110 – حا30)
حاب ÷ حتاب = (حا60 + حا20 – حا50) ÷ (حا40 – حا110 – حا30)
طاب = (حا60 + حا20 – حا50) ÷ (حا40 – حا110 – حا30) ومنها
ب = 80
<س ص حـ = 30

[الخالد]

السلام عليكم
حل متميز من استاذ متميز .. شكرا استاذ محمد
في الواقع انا لم أقصد أن الحل لايمكن أن يتم إلا بقانون الجيب ، ولكني كنت أوضح للأخ نوبل أن استخدام التناسب بين أضلاع المثلث والزوايا المقابلة غير جائز رياضياَ .. والتناسب الممكن في هذع الحالة يمكن أن يكون من خلال قانون الجيب كما وضحه استاذنا الفاضل محمد ، ولكن الاستاذ محمد زاد على ذلك باستخدام القانون في البرهان ، وهذا يدل على شيء واحد فقط أن الاستاذ محمد هو بالفعل عميد منتدى الرياضبات .
أتمنى محاولة البرهان بطريقة أخرى ( طريقة مباشرة ) ويمكن استخدام النتائج التي حصل عليها أخونا الفاضل نوبل فهي نتائج مفيدة جداً .
في انتظار برهان آخر..
 تحياتي للجميع

[محمد شكري الجماصي]

بالطبع أستاذ الخالد يوجد حلول أخرى ولكن أردت كما ذكرت وشكراً للكلمات الطيبة وما زلت أنت أستاذنا في أكثر من مجال
تحياتنا للجميع

[عسكر]

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته  
 

لاشك أن الحل دون الآلة الحاسبة مفضل على الحل بالآلة الحاسبة ومشكور الاستاذ محمد

كما أنني أود أن أرى حلولا أخرى إن شاء الله

لا علاقة للمسألة بطول الضلع للمثلث المتساوي الساقين أ ب جـ  لأنه عند الحل

كل شخص سيرسم مثلث مغاير للآخر ولكن قياس الزوايا يبقى ثابت

( نحصل على مثلثات متشابهه وهذه هي الفكرة وهي بيت القصيد )

ويمكن أن نفرض طول ضلع المثلث المتساوي الساقين أ ب جـ   [أ ب ] = [ أ جـ ] = 1 للسهولة فقط

الهدف الذي نسعى إليه إيجاد أطوال أضلاع المثلث ص س جـ وبعدها يمكن إيجاد قياس الزاوية المطلوبة

كعلاقة التجيب في مثلث هي :

مربع ضلع في مثلث = مجموع مربعي الضلعين الآخرين - 2 × ناتج ضرب الضلعين الآخرين × تجيب الزاوية بينهما

1) نطبق علاقة التجيب على المثلث أ ب جـ  علما | أ ب | = | أ جـ | = 1 لنجد | ب جـ | = 0.347296
 
2) المثلث جـ ب س متساوي الساقين رأسه جـ ومنه نجد | ب جـ | = | جـ س | = 0.347296

3)  المثلث ص أ جـ متساوي الساقين رأسه ص  ومنه نجد | ص جـ | = 0.5320888

4) من المثلث س ص جـ   نجد  | ص س | = 0.237565

5) أصبحت جميع أضلاع المثلث  ص س جـ معلومة ووفق علاقة التجيب نجد تجيب الزاوية س ص جـ

جتا ( س ص جـ ) =  0.8660256248673029719784503791672

ومنه نجد أن قياس الزاويه  س ص جـ  = 30

6) طالما عرفت الآلية فيمكن الحل بعدة طرق بنفس الفكرة

7) قرأت حلا وهو أن ننسب إلى جمله نظاميه يكون مركزها جـ ونوجد ميل المستقيمات وهو للأخ جواد وهو في الصورة مع تغيير المسميات


 po  التحية للجميع  oi

[محمد شكري الجماصي]

بالطبع وجود حلول أخرى
شكراً للأستاذ عسكر
تحياتنا للجميع

[عسكر]

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته  
 
 

الحلب دون استخدام الآلة الحاسبة مفضل عادة إن وجد :

1) نبرهن أن المثلثين ( أ س ب  ،  جـ س ص  ) متشابهان

( يتشابه مثلثان إذا تناسب ضلعان وتساوت الزاوية المحصورة بينهما )

وبمجرد التشابه تكون الزاوية المطلوبة وهي ( س ص جـ = 30  )

2) من المثلث  أ س ب  نجد وفق علاقة الجيوب :

أ س ÷ حا30  = أ ب ÷ حا130 ومنه نجد أ س ÷ أ ب = حا30 ÷ حا130 ومنه نجد :

أ س ÷ أ ب = حا30 ÷ حا50  = جا30 ÷ حتا40 = 1 ÷ 2 حتا40        . . .  ( 1 )



3) من المثلث جـ ب ص نجد جـ ب ÷ حا40 = جـ ص ÷ حا80 ومنه نجد :

حـ ب ÷ جـ ص = حا40 ÷ حا80 = جا40 ÷ 2 حا40 × حتا40 = 1 ÷ 2 حتا40

لكن جـ ب = جـ س لأن المثلث جـ ب س متساوي الساقين رأسه جـ نعوض في السطر السابق لنجد:

حـ س ÷ جـ ص = 1 ÷ 2 حتا40           . . .         ( 2 )

من ( 1 ) و ( 2 ) نجد أن المثلثين ( أ س ب  ، جـ س ص  ) متشابهان

وبالتالي قياس الزاوية المطلوبة وهي :  س ص جـ = 30

 po  التحية للجميع  oi

[محمد شكري الجماصي]

أحسنت أستاذ عسكر
وما زالت هناك حلول

[عسكر]

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته  
 
 
مشكور استاذ محمد ونحن بانتظار المزيد من الحلول . .

 po  التحية للجميع  oi