بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
فيما يلي توضيح بسيط لطريقة جاوس - جوردون في اختزال المصفوفات.
قبل البدأ في التوضيح أود التنبيه أن هذه الطريقة تعتمد بالدرجة الأولى على سرعة ودقة الحسابات باستخدام العمليات الأربع المعروفة.
الآن لنبدأ ....
ماذا يميز المصفوفة التالية؟
في الحقيقة هناك عددان يميزان هذه المصفوفة ، وهما ( واحد وصفر )
فلو نظرنا للصف الأول وبالتحديد للعنصر الأول من اليسار فسنجده العدد واحد
وفي الصف الثاني نلاحظ العنصر الأول صفر ويليه العدد واحد
وفي الصف الثالث العنصر الأول والعنصر الثاني صفر والعنصر الثالث واحد
هذه المصفوفة وحسب ما ذكر أعلاه يقال أنها في
الشكل الصفي المميز.
لننظر الآن للمصفوفة التالية ونرى ما يميزها:
هذه المصفوفة كسابقتها ، ولكنها تحمل ميزة أخرى وهي:
أن العنصر الأول في الصف الأول هو واحد ، وما يليه أصفار ماعدا العنصر الأخير
وفي الصف الثاني العنصر الثاني واحد وما قبله وما بعده أصفار ماعدا العنصر الأخير
وفي الصف الثالث العنصر الثالث واحد وما قبله أصفار ، وآخر عدد يكون عدداً ما
ولو كان هناك صف رابع سيكون العنصر الرابع واحد وما قبله وما بعده اصفار والعنصر الأخير يكون أي عدد
هذه المصفوفة يقال أنها في
الشكل الصفي المميز المختزلإن هدف طريقة جاوس - جوردون هي الوصول بالمصفوفة بالشكل المميز المختزل ، وهذا بالطبع موضوع نقاشنا .
ولكن ما فائدة هذه الطريقة ؟
الفائدة هي حل أنظمة المعادلات الخطية .
وحتى نستوعب الفائدة والهدف ، سنأخذ مثال لنظام معادلات خطية وننظر كيف نستفيد من طريقة جاوس - جوردون في حله.
نلاحظ أن هذا النظام عبارة عن ثلاث معادلات خطية ( معاملاتها اعداد قياسية) وفي ثلاثة مجاهيلX1 , X2 , X3
هذا يعني أن الحل قد يكون وحيد أو يمكن أن يكون مستحيل أوقد يكون غير محدود ( لو كانت المعادلات متكافئة )
على كل حال ، الحل وحيد وسأذكر الحل حتى نقارنه بالحل عند استخدام طريقة جاوس - جوردون.
الحل:
X1=1
X2=1
X3=2
ولكن دعونا قبل الحل نذكر الخصائص التالية:
1) من المعروف أن ضرب طرفي المعادلة في عدد ثابت غير الصفر ينتج معادلة مكافئة ( لا تتغير نواتج حلولها ).
2) لايغير شيء لو بدلنا ترتيب المعادلات ( وضعنا الأولى مكان الثانية أو مكان الثالثة ... وهكذا )
3) لو ضاعفنا إحدى المعادلات ثم أضفنا الناتج إلى معادلة أخرى فهذا أيضاً يعطينا معادلة مكافئة.
يتبع .....
