التكامل

[محمد شكري الجماصي]

التكامل
مقدمـة : ـ مقدمـة : ـ
    التكامل وبكل بساطة هو عملية عكسية للتفاضل وبالتالي أصعب من التفاضل كما هو متعارف عليه بأن العمليات العكسية أصعب كالقسمة والضرب والتربيع وإيجاد الجذر التربيعي، ومن المفيد أيضاً معرفتنا المسبقة بكل قواعد التفاضل والتحليل وحساب المثلثات وما إلى ذلك من القوانين التي سيكون لها الأثر الفعال في التكامل، فإذا فرضنا أن ع مشتقة ص بالنسبة إلى س أي ع = ص¯ تستعمل عندما تكون ص معلومة والمطلوب إيجاد مشتقتها الأولى ع ، وبصورة أخرى نقول أن ع . د س هو تفاضل ص بالنسبة إلى س أي ع . د س = د ص تستعمل إذا كانت ع معلومة والمطلوب تكامل تكاملها(ص) فبالتعريف  نقول تكامل الدالة ع بالنسبة إلى س هو الدالة التي مشتقتها الأولى بالنسبة إلى س هي ع أو التي تفاضلها بالنسبة إلى س هي ع . د س فيكون الدالة ص تكامل الدالة ع بالنسبة إلى س ونكتب ذلك بالصورة ص = òع . د س حيث ò
رمز التكامل وهو غالباً من تكبير حرف S من كلمة Sum التي تعني الجمع حيث سنبين ذلك لاحقاً بأن التكامل لدالة هو المسحة تحت منحنى الدالة والتي تحسب بمجموع المستطيلات كما أن د س تدل على التفاضل وأمثلة ذلك :
ص = س3     فإن     ع = ص¯ = 3 س2     فنقول     ص = ò  ع . د س = ò 3 س2 . د س = س3  
ص = 2س3 + 3 س   فإن   ع = ص¯ = 6 س2 + 3    فنقول     ص = ò ع . د س =ò (6 س2 + 3) . د س = 2س3 + 3 س
ص = حاس     فإن     ع = ص¯ = حتا س     فنقول      ص =  ò  ع . د س = ò  حتا س . د س =  حا س
ص = حتاس     فإن     ع = ص¯ = – حا س     فنقول    ص = ò  ع . د س =  ò  – حا س . د س =  حتا س   وهكذا ...
التكامل غير المحدود :
    مشتقة الدوال د(س) = س3 + 5    ،     د(س) = س3 + 15    ،    د(س) = س3 – 12 لها ناتج واحد هو 3 س2 لأن مشتقة الثابت = 0 فالمشتقة الأولى لأي دالة هي دالة معينة دوماً بصرف النظر عن كون الدالة بسيطة أم مركبة وهذا ليس صحيحاً في التكامل فالدالة 2س يكون تكاملها س2 + 2   أو    س2 – 12 أو ... وبصورة عامة  س2 + ث حيث ث ثابت لا يتوقف على س ويعرف بثابت التكامل ولذا يسمى ò ع . د س بالتكامل غير المحدود لأن ناتج  ò  ع . د س يشمل كل الدوال التي لها نفس المشتقة الأولى ولكن تختلف عن بعضها البعض في قيمة المقدار الثابت ث(الاختياري).
وللحصول على تكامل دالة ع نبحث عن دالة تكون مشتقتها الأولى ع وهو ما يعني معرفتنا بالمشتقة الأولى لها وهو ما يعرف بالدالة المقابلة للدالة ع بمعنى أكثر وضوحاً
    ق(س) دالة مقابلة للدالة د(س) في [أ ، ب] إذا كانت ق¯(س) = د(س) " س '[أ ، ب] ، وأنَّ : ق(س) + ث هي مجموعة الدوال المقابلة للدالة د(س) ، حيث ث ثابت التكامل ، أي  ò  د(س) د س = ق(س) + ث وهو التكامل غير المحدد للدالة د(س) .
    من أجل ذلك يجب التعرف على الدوال الأساسية وهو ما يعرف بالتكاملات القياسية البسيطة نوردها هنا في الجدول الآتي :

ملاحظـة وأمثلة :
    هذا القانون صحيح لجميع قيم ن عدا ن = –1 حيث يكون ناتج التكامل قيمة غير    معرفة لأن المقام سيكون صفر ولكن س–1 تكاملها لوهـس + ث كما ورد في الجدول أعلاه ويجب هنا القول بأن تكامل د س هو س + ث أي
     ò د س =  ò س0 . د س =  س0 + 1÷ (0 + 1) + ث = س + ث
مثال :
    ò  2س . د س =2س2 ÷ 2 + ث = س2 + ث
مثال آخر :
    ò  حتا س . د س = حا س + ث
مثال ثالث :
    ò  4 س3 . د س = 4 س4 ÷ 4 + ث = س4 + ث

[الخالد]

شكراً استاذ محمد
هذا ابسط تعبير يمكن ان يقال

[محمد شكري الجماصي]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الأستاذ الخالد شكراً لك ولكن ما زالت الرموز تأخذ وقتاً وشكلاً غير طبيعيين في المنتديات ولكن ما العمل؟ حاولت أن أجد طريقة تربط فرونت بيج ورموزه في XP مع المنتدى دون فائدة ، والمر لا بد منه والاستمرار على الموجودات وأكرر شكري لكم

[عسكر]

السلام عليكم و رحمه الله و بركاته
بسم الله وعلى بركة الله
جهد واضح من معطاء جزاك الله كل خير
وجعله في ميزان أعمالك

التحية للجميع