مقالات بالهندسه

[G H Hardy]

السلام عليكم
او ان اقوم بذكر بعض المقالات اللتي حصلت عليها عن الهندسه الاقليديه
واخترت كمدخل تعديل هلبرت للهندسه ثم اذا يسر الله لعلي اقدم بعض الامور عن الهندسه اللا اقليديه

                          تعديل هلبرت
اثر تواجد ثغرات في بناء هندسة اقليدس فقد وضع العالم العظيم التعديل الشهير والاصيل وذلك من خلال مجاضرات القاها في احدى الجامعات خلال العام 1898
والجدير بالذكر ان تعديل هلبرت ق
 اتسم بروح النظريه اليونانيه للمعرفه مع تفصيلات دقيقه
اما المسميات (الكلمات غير المعرفه) التي اعتمدها هلبرت فهي النقطه والخط المستقيم والمستوى والتطابق ويقع على(التواجد والوقوع) وبين (البينيه) اما المسلمات فقد جزئت كالتالي
المجموعه الاولى
مسلمات التواجد والوقوع
1-لأي نقطتين ا & ب يوجد خط مستقيم يمر بهما
2-لأي نقطتين مختلفتين ا & ب فان المستقيم ل المار بهما وحيد
3-يوجد نقطتان على الاقل على اي مستقيم ويوجد ثلاث نقاط على الاقل لاتقع جميعها على مستقيم معلوم
4-يمر من ثلاث نقاط ليست على استقامه واحده مستوى وعلى اي مستوى يوجد على الاقل نقطه واحده
5-المستوى المار من ثلاث نقاط يكون وحيداوليست النقاط على استقامه واحده
6-اذا كانت النقطتان ا & ب نقطتين على المستقيم ل الواقع في المستوى ص فان جميع نقاط المستقيم ل تقع على المستوى ص
7-اذا اشترك المستويان ص & س في نقطه أ فانهما يشتركان في نقطه اخرى على الاقل
(اي لايشترك المستويان الا في مستقيم)
يوجد على الاقل اربع نقاط لاتقع جميعها في مستوى واحد

ملاحظ سنستخدم الرمز ت ليدل على مسلمات التواجد والوقوع فمثلا ت-1 يعني المسلمه الاولى من مسلمات التواجد والوقوع
نظريه
اذا كان ل & ك مستقيمان مختلفان  فانه يوجد نقطه واحده مشتركه بينهما على الاكثر
البرهان
نفرض ان ل لايساوي ك اي مختلفين
اذا كان المستقيمان لايشتركان في اي نقطه او في نقطه واحده فقد ثبت المطلوب
لكن ليكن يشتركان في نقطتين ا & ب
هذا يعني من ت-2 ان المستقيم ل هو المستقيم ك
وهذا ينقض الفرض
وبالتالي يثبت صحة النظريه
نظريه
المستويان المختلفان يشتركا في خط مستقيم او لا يشتركا باي نقطه
للبرهان استخدم ت-5 & ت-6 & ت-7
نظريه
لكل خط مستقيم ل توجد نقطه واحده على الاقل في المستوى ص لاتقع على المستقيم ل
البرهان
ان ت-3 تعني وجود خطين مستقيمين مختلفين ل & ك في ص يوجد نقطتان مختلفتان ا & ب على الخط ل.
لايمكن ان تقع كل من ا & ب على الخط ك  .............النظريه الاولى بالاعلى
اذن توجد نقطه واحده على الاقل لاتقع على المستقيم ل
وللحديث بقيه
والسلام عليكم

[G H Hardy]

المجموعه الثانيه
مسلمات الترتيب(البينيه)
تصف هذه المسلمات العلاقه بين النقاط والخط والمستقيم ويعبر عن ذلك بكلمة بين
1-اذا وقعت النقطه ب بين النقطتين ا,ج فان ا ,ب,ج ثلاث نقاط مختلفه وعلى استقامه واحده
2-اذا كانت النقطه ب بين ا,ج فان ب بين ج,ا
3- اذا كانت ا ,ج نقطتين مختلفتين فانه يوجد نقطه ب بحيث ان ب تقع بين ا,ج يوجد نقطه د بحيث ان ج تقع بين ا,د
4- اي ثلاث نقاط مختلفه وعلى استقامه واحده فان واحده منها فقط تقع بين النقطتين الاخريين
5- اذا توفرت اربع نقاط مختلفه وعلى استقامه واحده فانه يمكن تسميتها ا,ب,ج,د
حيث ب تقع بين ا,ج كذلك ب بين ا,د والنقطه ج بين ا,د كذلك ج بين ب,د
6- مسلمة باش
اذا كانت ا,ب,ج ثلاث نقاط ليست على استقامه واحده وكان ل خطا مستقيما لايمر باي من هذه النقاط الثلاثه واذا قطع ل القطعه المستقيمه اب في نقطه ما فانه يقطع اج او ب ج في نقطه داخليه

ملاحظتان
1- اذا كانت النقطه ب تقع بين ا,ج فسنرمز لذلك بالرمز (ا ب ج)
2- الرمز ب-1 يعني مثلا المسلمه الاولى من مسلمات البينيه


نظريه
اذا كانت هـ نقطه على المستقيم ل فان هـ تجزيء جميع نقاط ذلك الخط الى صفي تكافؤ-ارجو من الجميع التفاعل مع هذه النظريه ومقارنتها بموضوع المجموعات المتكافئه-وان اي نقطتين تكون من نفس الصف اذا وفقط اذا لم تكن هـ بينهما

[mathup]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

أخى الكريم روجر

جهد مشكور جعله الله فى موازين أعمالك

استمر وفقك الله لما يحبه ويرضاه

أخوك أبو عبد الله

[G H Hardy]

السلام عليكم
نكمل
المجموعه الثالثه مسلمات التطابق
وهذه توضح العلاقه بين النقاطن من حيث تساوي او عدم تساوي البعد بينهما
1-اذا كانت أ ب قطعه مستقيمه ج نقطه على الخط ل فانه يوجد على كل شعاع من شعاعي ل المشتركان في ج نقطه م بحيث ان أب = ج م
او اب تطابق ج م
2-أب = أب
3- اذا كانت أب=ج م فان ج م =أب
4-اذا كانت اب= ج م & ج م = دص فان اب =دص
5-اذا كانت اب, ب ج قطعتين مستقيمتين على ل وكانت هـ م , م ت قطعتين مستقيمتين على الخط ص
وكانت اب=هـ م & ب ج =م ت فان أ ج =هـ ت
ونقول عن قطعتين مستقيمتين انهما غير متساويتين اذا وجد قطعه محتواه في احدهما تكافيء الاخرى اي اذا وجد تطبيق تقابل بين مجموعة النقاط لخط مستقيم مع مجموعه جزئيه من مستقيم اخر
مجموعة مسلمات التطابق للزوايا
هي بالضبط مسلمات الاتصال مع استبدال النقاط بزوايا
المجموعه الرابعه
مسلمات الاتصال
لاحظنا من مجموعة مسلمات البينيه انه اذا كان لدينا قطعتين مستقيمتين فإن احدهما تكون اكبر او اصغر او مساويه للاخرى
لكن هذه العلاقه غير كافيه لقياس اطوال القطع المستقيمه
1-مسلمة ارخميدس
اذا كانت أب,ج د قطعتين مستقيمتين فانه يوجد عدد محدود من النقاط أ1,أ2,أ3 ..........,أ ن
على أب بحيث تكون القطع المستقيمه أ1أ2 , أ2أ3,........أ ن-1أ ن
مطابقه للقطعه ج د والنقطه ب واقعه بين أ,أ ن  بحيث يكون
ظول أ أن = عدد صحيح ن مضروب في ج د
ان المعنى المحسوس لهذه المسلمه هو انه اذا اخترنا القطعه ج د اعتباطيا بحيث ان ج د هو وحدة الطول فان اي قطعه اخرى يكون لها طولا محدودا بالنسبه لهذه القطعه وهي بدورها تكافيء العباره التاليه
اذا كان م هو طول أ أ1 وكان س هو طول أ ب  وكان س & م اكبر من الصفر فانه يوجد عدد صحيح موجب ن بحيث ان ن*م >س
2-مسلمة كانتور
اذا كان على الخط المستقيم ل مجموعه قطع مستقيمه أ1ب1, أ2ب2......
بحيث ان القطع المستقيمه التاليه تقع داخل سابقتها واذا كان هنالك عدد صحيح ن بحيث ان طول القطعه المستقيمه أ ن ب ن اصغر من اي قطعه مستقيمه اخرى فانه يوجد نقطه س تنتمي الى ل وتقع داخل كل من القطع المستقيمه المذكوره
وفي ضوء هاتين المسلمتين يمكن تعريف نظام الاحداثيات في المستوى وانه لمن الممكن استبدال المسلمتين السابقتين بمسلمه مكافئه لهما تسمى مسلمة ديدكند
(اذا كانت نقاط الخط المستقيم ل هي اتحاد المجموعتين غير الخاليتيين س & ص
بحيث ان س تقاطع ص =فاي او المجموعه الخاليه
فانه يوجد نقطه وحيد م بحيث ان (أ م ب) اذا وفقط اذا أ تنتمي الى س & ب تنتمي الى ص
والنقطه م لاتساوي اي من النقاط أ & ب
ان مسلمة ديدكند تؤكد على اتصال الخط المستقيم حيث لايوجد به ثغرات بل انه لاي نقطه م تنتمي الى الخط ل وأي عدد حقيقي موجب س فانه يوجد نقطتان وحيدتان أس , أ- س
تنتميان للخط ل بحيث ان ( أس م أ- س) وان القطعتين وان القطعتين يسار م ويمين م متساويتان وطول كل منهما يساوي العدد الحقيقي س
ولعله من نتائج مسلمة ديدكند مايعرف بمبدأ الاتصال الدائري

المجموعه الخامسه
مسلمة التوازي
يتوازى المستقيمان اذا وفقط اذا وقعا في نفس المستوى ولم يشتركا بأي نقطه
فرضية بلايفير
اذا كان ل خطا مستقيما معلوما هـ نقطه خارجيه فإنه يمكن رسم مستقيم واحد وواحد فقط يمر بالنقطه هـ ويوازي ل

تمرين
برهن ان الخطوط المستقيمه الموازيه لخط مستقيم معلوم متوازيه
انا احاول حل هذا التمرين وسأعرض نتائجي قريبا  لذلك ارجوا منكم المحاوله للتفاعل مع الموضوع

المجموعه السادسه
مسلمة الاكتمال
((من غير الممكن اضافة اي نقاط او خطوط مستقيمه غير ماذكر في هذا البناء دون ان تتعارض مع احدى مسلماته))
هذا والله اعلم
وسوف نكمل ان شاء الله بمواضيع مختاره من الهندسه المحايده كمدخل للهندسه اللااقليديه الريماني
لكن بعد استراحه قصيره
وشكرا لمن قرأ الموضوع مع اني احس فيه تقصير بالتفاعل لا ادري ما سببه لكن هذا التقصير سبب لاهمال الكاتب بعض الجوانب
واشكر الاستاذ mathup
على كرمه الفائق وتعليقه المميز على هذا المقال البسيط
شكرا لكم
بحيث

[الخالد]

السلام عليكم
لن أزيد على ما قاله أخي أبو عبد الله'>
جزاك الله كل الخير أخي  Roger Penrose

لدي اقتراحا بسيطا .. حبذا وجود رسوم توضيحية ، فهي تقرب المفاهيم وتساعد على تبسيط الأفكار الهندسية.

تحياتي

[G H Hardy]

السلام عليكم
شكرا لك استاذي الخالد
الرسومات مهم جدا خصوصا بالمواضيع القادمه والتي من الصعوبه تصورها صراحة بدون رسم
لكن انا اقصى شيء يمكني عمله هو فتح الجهاز وكتابة المقال لاني لا اعرف كيف ارسم ولا اعرف اي شيء اخر وغير ذلك هذا الجهاز ليس ملك لذلك ليس موجود عندي كل الوقت لكي اتعلم او اضيف برامج للرسم
لذلك اسعى لاوضح قدر المستطاع
ولو تبرع احد الاخوه الكرام  بالرسم فاكون شاكر له جدا لانه سيفيد زملائنا بالمنتدى هذا والله اعلم
وشكرا مره اخرى للاستاذ الخالد

[G H Hardy]

السلام عليكم
امس كتب هذا المقال لكن للاف اختفى ولا اعلم اين لكن نكتبه مره اخرى من ان الكتابه الثانيه تكون ممله '>
مقدمه للهندسه الزائديه
الهندسه الزائديه هي احدى الهندسات اللااقليديه وقد عمل على تطويرها جاوس واخرون
لقد اوضح كاري في اعماله وجود نوعين من الخطوط المتوازيه احدهما الخطوط المتوازيه بدون عمود مشترك وثانيهما الخطوط المتوازيه بعمود مشترك وهذه اقرب للواقع واسهل للتعامل وسوف نلمح لها لاحقا
مسلــــــــــــــــــــــــملة التوازي الزائديه
ان مسلمة التوازي الزائديه تكافي منطقيا المسلمه التي تناقض مسلمة بلايفير كمكافيء لمسلمة اقليدس الخامسه
نص المسلمه الزائديه
((اذا كانت ب نقطه غير واقعه على الخط مستقيم ل فانه يوجد على الاقل خطان مختلفان مستقيمان يمران من ب ويوازيان ل ))
وحيث ان هذه المسلمه نقيض لمسلمة التوازي الاقليديه ومكافئتها فان نفي اي عباره مكافئه لمسلمة التوازي الاقليديه يمثل حقيقه رياضيه في الهندسه الزائديه
مثلا البعد بين خطين مستقيمين متساو في الهندسه الاقليديه ونفيه وهو البعد بينهما غير متساو يمثل حقيقه في الهندسه الزائديه
*تمثيل الهنسده الزائديه
نظرا لوجودبحض الحقائق في الهندسه الزئديه والتي لاتتفق مع خبراتنا في الفراغ الاقليدي فانه لابد من تقديم الهندسه الزائديه مستخدمين بذلك ادواتنا بالهندسه الاقليديه وانا عندي نموذجين-ربما يكون هناك اكثر من نموذج-
النموذج الاول
نموذج كلاين
يمثل المستوي الزائدي بداخلية دائره فاذا كانت س دائره مركزها م فيها أ م نصف قطر فان داخلية الدائره هي مجموعة النقاط س حيث م س<م أ    ومجموعة تلك النقاط تمثل المستوى الزائدي
ةجميع الاوتار داخل الدائره تمثل مستقيمات في الهندسه الزائديه
مثلا يوجد وتر ل في دائره س وتوجد نقطه داخل الدائره يمر منها وتران غير ل ولا يقطعان ل داخل الدائره اذن هما موازيان للوتر ل او بالاصح للمستقيم ل ولا يهمنا تقاطعهم خارج الدائره
في ضوء هذا التمثيل نستطيع تقديم جدول يساعدنا بتصور المفاهيم السابقه

  الهندسه الزائديه                            التمثيل الاقليدي
 نقطه                                        نقطه في داخلية دائره
 خط مستقيم                                  وتر في داخلية دائره
 مستوى                                      داخلية دائره
 قطعه مستقيمه                                قطعه تصل بين نقطتين في دائره


مثال يمكن صياغة المسلمه الاولى من مسلمات التواجد والوقوعمن مسلمات هلبرت بالشكل التالي
لكل نقطتين أ,ب في داخلية دائره يوجد وتر وحيد ل في نفس الدائره و أ,ب تقعان على ل

[G H Hardy]

النموذج الثاني
نموذج بوانكاريه
تمثل نقاط المستوى الزائدي بنقاط في داخلية دائره اقليديه  وهنالك تمثيلين للخطوط المستقيمه في الاول تمثل على هيئة اقطار
الثاني تمثل على هيئة اقواس مفتوحه من الدوائر المعامده للدائره س
فاذا كانت الدائره ص معامده للدائره س فان تقاطع ص مع س هو القوس المفتوح ع والذي يمثل خط مستقيم في الهندسه الزائديه يبدو لي ان النموذج الثاني اكثر غموضا من الاول وعلى العموم ماكتبت هنا شيء بسيط جدا جدا جدا
فالهندسه الزائديه موضوع كبير جدا ويحتاج الى متخصصين للطرق فيه
لكن ملكت هذه المعلومات البسيطه التي احببت ان اطلعكم عليها
وبقي من هذا المقال موضوع اخير وهو الموازيات بدون عمود مشترك نكمله بالغد
نراكم لاحقا ان شاء الله
ومع السلامه

[G H Hardy]

السلام عليكم
اليوم نكمل اخر مقال بهذا الموضوع
*الموازيات  بدون عمود مشترك
إذا كان ل خط مستقيم ب نقطه خارجه فانه يمكن رسم خط مستقيم من ب يوازي ل وذلك بانزال العمود ب ك على الخط ل ومن ثم اقامة عمود م على ب ك  فيكون موازي للخط ل  والبعد بين م & ل يساوي ب ك
حسب مسلمة التوازي الزائديه فانه يوجد على الاقل خطان مستقيمان يمران من ب ويوازيان ل وهذا يتضمن وجود عدد لانهائي من الخطوط المستقيمه الماره بالنقطه ب والموازيه للخط ل
ولو افترضنا نقطه على الخط م اسمها د وتقع يسار ب واخرى على م اسمها هـ وتقع يمين ب فانه يتضمن وجود عدد لانهائي من الموازيات داخل الزاويه هـ ب ك وكذلك بالمثل للزاويه د ب ك
اذا كانت س تمثل مجموعة الخطوط المستقيمه المجزئه للزاويه د ب ك وعند اخذ اثنين من هذه الخطوط فان احدهما يصنع زاويه حاده مع ب ك اصغر من تلك التي يصنعها الاخروعندما نقول ان الخط المستقيم الذي يصنع زاويه حاده اصغر يسبق الاخر وباستمرار ذلك نجد ان المجموعه س انقسمت الى مجموعتين س1,س2
بينما س1 تمثل الخطوط المستقيمه التي تقطع ل فان س2 تمثل الخطوط التي لا تقطع ل ويكون كل عنصر من عناصر س1 يسبق عناصر س2 وبتطبيق مسلمة ديدكند فانه يوجد عنصر وحيد ينتمي للمجموعه س2 ويمثل حدا بين مجموعة الخطوط التي تقطع ل والخطوط التي لاتقطعه
ويسمى هذا بالموازي الحــــــــــــــــــــدي
وبالمثل يوجد موازي حدي وحيد داخل الزاويه هـ ب ك
وهكذا يوجد موازيان حديان احدهما ايمن واخر ايسر وان كل منهما يصنع زاويه اصغر من اي مستقيم ينمتي للمجموعه س2  بعد هذا ندخل في نظريات التوازي الحدي وهذه ارى انهاصعبه وتحتاج الى رسم كثير وكلام اكثر لذلك ننهي الموضوع هنا واتمنى ان يحوز على رضاكم
كما اشكر الاستاذان الخالد و mathup
على تعليقهم الجميل وللاستزاده اتمنى الرجوع لكتاب مباديء الهندسه الحديثه الاقليدي ولا اقليديه للمؤلف محمد ابراهيم راشد واخرون

[الداانه]

G H Hardy

مجهود جبار    

 بارك الله فيك وسلمت اناملك اذهبيه على هذا العمل

تقبل مرووووووري    



\  


الداانهـ