قوانين حساب المساحات والحجوم من أين أتت ؟

[الزمان]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

أعتذر اعتذاراً شديداً بسبب التغيب الطويل نوعاً ما على المنتدى العزيز ، ولكن إن شاء الله سوف أكون معكم خلال ثلاثة أسابيع بلياليها أناقش القضايا العلمية ، وربما سوف أزعجكم بكثرة استفساراتي  :'>

المساحات والحجوم ، اسم يروع طلابنا كثيراً لما فيه من قوانين للأسف يتم تحفيظها لهم من غير أن يفهموها ، والأكثر مرارة هو إثبات هذه القوانين !!!

بخصوص مساحة المربع والمستطيع وحجم المكعب وشبه المكعب والمساحة الجانبية للاسطوانة فالأمر بسيط ولا أحتاج لإثباتهم لأن القوانين منطقية جداً ، ولكن المشكلة تكمن في قوانين مساحة الدائرة وحجم الكرة والمخروط والمساحة الجانبية للمخروط والاسطوانة.

فهل تمنحوني من وقتكم القليل لإثبات هذه الأمور ؟

[الزمان]

ألا يوجد جواب

[الزمان]

أعتقد أنني أخفقت في توصيل فكرتي لكم .........

لنبدأ بهذا القانون :
قانون مساحة الدائرة :
Pi × r^2
حيث Pi أقصد بها الباي برمزه المشهور

من أين أتى هذا القانون ؟
أي أنني أريد إثباتاً

[ابو يوسف]

السلام عليكم

اخي الكريم الزمان

لا ادري ان كان شرحي صحيحا او دقيقا ولكني سأحاول

لقد انتبه القدماء الى ان محيط الدائرة يتناسب طرديا مع قطرها بحيث يكون محيطها مساويا لقطرها مضروبا بنسبة تكررت دائما في حساباتهم ومن هنا تم التوصل الى النسبة التقريبية ط او باي

وقد عمل الرياضيون على تحديد قيمة النسبة التقريبية بشكل دقيق على مر السنين

اما بالنسبة لمساحتها فقد وجدوا ان الامر يتعلق بتربيع نصف القطر مضروبا بالنسبة التقريبية

من ناحية اخرى

هنالك طريقة اخرى للتوصل لمساحة الدائرة وهي عن طريق التكامل فيما اعتقد

والله اعلم

[الزمان]

ممتاز

ممتاز

دعنا نكمل المسيرة بالنسبة للكرة والمخروط

[الخالد]

السلام  عليكم ورحمة الله وبركاته
قانون مساحة الدائرة يمكن توضيحة بطريقة قد لاترقى للبرهان الرياضي .. ولكنها طريقة واضحة ومقنعة..
من المعروف أن محيط دائرة نصف قطرها r يساوي  2×Pi×r
الآن تخيل هذه الدائرة قد قسمت إلى مثلثات غير نهائية بحيث يكون كل مثلث متطابق الضلعين وكل من ضلعيه المتطابقين لهما نفس طول نصف القطر ورأس كل منهم هو مركز الدائرة..
عندما يكون عدد المثلثات غير نهائي فإن طول الضلع الثالث سيكون صغيرا وينطبق على المحيط.. وبالتالي سيكون طول محيط الدائرة مساوياً لمجموع أطوال أضلاع الضلع الثالث لجميع المثلثات.
أيضا .. سيكون ارتفاع كل مثلث مساوي بشكل كبير لطول نصف القطر..
مساحة المثلث الواحد = نصف طول القاعدة في الارتفاع = 1/2 × طول القاعدة × r
ولكن مجموع القواعد = محيط الدائرة = 2×Pi×r
إذن مساحة الدائرة تساوي مجموع مساحات جميع المثلثات =  1/2 × 2×Pi×r× r  بالتبسيط والاختصار Pi×r^2
قد يحتاج هذا الشرح لشكل توضيحي!!
أما البرهان السليم لهذا القانون فيمكن ( كما قال الأخ أبويوسف ) استنتاجه بالتكامل .. انظر معي:
من المعروف أن الدائرة شكل هندسي متماثل .. بمعنى أنه يمكن تسيم الدائرة لنصفين متماثلين أو أربع أجزاء .. وهكذا.
دعنا نفترض وجود دائرة نصف قطره r وللتبسيط نفترض أن مركزها نقطة الأصل .
y^2 +x^2 =r^2  معادلة الدائرة
لو وضعنا المعادلة بالشكل الممثل بالصورة المرفقة فكأننا قسمنا الدائرة إلى معادلتين .. الأولى تمثل الجزء العلوي للدائرة فوق محور السينات والمعادلة الثانية تمثل الجزء السفلي.
مساحة الدائرة في هذه الحالة تمثل ضعف التكامل من -r إلى r  لأحد جزأي المعادلة... أو أربع أضعاف التكامل من صفر إلى r لدالة الجزء العلوي من الدائرة (مثلاً) أنظر الصورة المرفقة.
على كل حال .. عند حساب التكامل السابق سيكون الناتج Pi×r^2
أرجو أن أكون قد وفقت في التوضيح رغم ضرورة وجود الأشكال التوضيحية.
تحياتي

[الزمان]

شكراً لك أستاذي الخالد ونتمنى أن نرى المزيد بخصوص الكرة والمخروط

[الخالد]

إن شاء الله أخي الزمان

[أبو همام]

ولكن مساحة الدائرة عرفت قبل
أن يكتشف التكامل مع شكري لكم.

[الخالد]

يبدو انك قرأت نصف الموضوع

[Galileo Galilei]

.. أتقدم بشكر الجزيل إلى كل من اضاف معلومة واحده هنا ,,

.. و سلمت ايديكم ,,

.. و حفظكم الله و زاد من علومكم ,,

[الزمان]

السلام عليكم

لاحظت أمراً غريباً في قوانين المساحات والحجوم وهو :

في الدائرة تجد أن قانون حساب المحيط مشتق من قانون حساب المساحة
وفي الكرة تجد أن قانون حساب المساحة مشتق من قانون حساب الحجم

ألم تلاحظوا ذلك !

[ابو يوسف]

السلام عليكم

هذا صحيح

'>