بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
يظن الكثير من الأخوة المهتمين بالرياضيات أن مجموعة الأعداد المركبة هي نهاية المطاف بالنسبة لمجموعات الأعداد في الرياضيات.
لقد ألمح الأخ العزيز عسكر ( شفاه الله وعافاه ) في مواضيع سابقة لوجود اعداد أشمل من الأعداد المركبة .. بالفعل هناك أعداد تسمى بالرباعيات Quaternions هذه الأعداد في مفهومها أشمل من الأعداد المركبة ، بمعنى آخر الأعداد المركبة جزئ من الرباعيات.
قبل تعريف العدد المركب لنأخذ لمحة تاريخية عن الرباعيات ومتى تم اكتشافها.
في سنة 1843 اكتشف الرياضي الشهير السير هاملتون Hamilton* فئة من الأعداد سماها Quaternions
وهي تعميم للأعداد المركبة وقد سميت في حينها بجبريات الرباعيات H ( الحرف H هو الحرف الأول لاسم هاملتون)
هذا التركيب يحقق خواص الحقل مع استثناء أن عملية الضرب فيه غير ابدالية . وقد نمت جبريات الرباعيات إلى التحليل الاتجاهي الحديث على يدي جيبس Ghbbs وهيفيسيد Haaviside وهي طريقة هامة في المكانيكا والكهرباء وأفرع الرياضيات التطبيقية والفيزياء... والآن لنلقي وباختصار شديد فكرة مبسطة عن الرباعيات.
الأعداد الرباعية يعرف العدد الرباعي a بأنه :
a = a0 + a1.i + a2.j + a3.k ، حيث :
i, j, k تسمى جذور فوق مركبة Hypercomplex للعدد -1
a0, a1, a2, a3 قيم حقيقية
لاحظ أنه عند a2=a3=0 فأن a يصبح عدداً مركباً
القيم i,j,k لها الخصائص التالية:
i
2 = j
2 = k
2 =-1
i = jk = -kj
j = ki = -ik
k = ij = -ji
علماً أن الضرب هنا هو ضرب اتجاهي وعلى اعتبار أن i,j,k كميات متعامدة.
واعتمادا على القاعدة الجبرية التالية للمتجهات:
نجد أن:
ijk = -1
ايضاً
ويمكن تعريف عملية الجمع والضرب على الأعداد المركبة بالشكل التالي :
ليكن a , b عددان رباعيان بحيث :
a = a0 + a1.i + a2.j + a3.k
b = b0 + b1.i + b2.j + b3.k
فإن :
 +( a1+b1).i + (a2+b2).j + (a3+b3).k )
 + (a2b3 - a3b2)i + (a3b1-a1b3)j + (a1b2-a2b1)k)
ويعرف مرافق العدد الرباعي a بالشكل التالي:
a0-a1i-a2j-a3k
ومقياس العدد الرباعي a هو :
وأخيراً .. هناك الكثير ممن يمكن قوله عن الاعداد الرباعية ، ولكن يبقى الأهم ..وهو طرح معلومة مبسطة قدر الامكان لذلك نكتفي بهذا القدر ... وقد يسأل سائل : هل الاعداد الرباعية هي نهاية المطاف أم هناك شيء آخر ... في الواقع هناك أعداد أخرى تمثل تعميماً للأعداد الرباعية وتدعى الأعداد الجرسمانية أو الزائدية و تنسب للرياضي الألماني جرسمان .
تحياتي للجميع
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
*السير هاملتون Hamilton
رياضي وفلكي أيرلندي ولد في دبلن عام 1805 وتوفي في دنسك عام 1860
