استفسار : اشتقاق - اتصال

[عادل سعد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أرجو إفادتي عن السؤال التالي :
في كتاب الطالب للصف الثالث الثانوي طبيعي بنين - السعودية -
شرطا نظرية القيمة المتوسطة للتفاضل هما :
1- د(س) متصلة في [ أ ، ب ] .
2- د(س) قابلة للاشتقاق على ( أ ، ب ) .
ونحن نعلم أنه إذا كانت د(س) قابلة للاشتقاق على فترة ما فإنها متصلة في تلك الفترة فلماذا لا يكتفى بالشرط الثاني فقط ، ويهمل الشرط الأول .
مقدراً حسن تعاونكم .

[الخالد]

السلام عليكم
تفكير سليم . ولكن لاحظ أن الشرط الثاني يختص بالفترة المفتوحة وليست المغلقة .
بمعنى .. الشرط الثاني يستبعد الاطراف.
مثال :
د(س) = جذر ( س^2 -1 )   ،   [-1 , 1]
لو حاولت تطبيق شروط النظرية على   د(س)
ستلاحظ أن الدالة متصلة على [-1 , 1]
ولكن مشتقة  د(س) غير معرفة عند -1 ، 1
لذلك .. حتى تنطبق نظرية القيمة المتوسطة على الدالة  د(س) فيجيب أن يكون تفاضلها معرف على الفترة المفتوحة (-1 , 1)

تحياتي

[عادل سعد]

أثمن لك وجودك مشرفنا الخالد سلمك الله .
وعفواً ؛ أوريد زيادة في الإيضاح لو سمحت :
معنى كلامك أن اتصال الفترة عند الأطراف أمر ضروري لتحقق نظرية القيمة المتوسطة للتفاضل .
( لماذا ؟! ) .
وإلا لاكتفى بقوله أنها قابلة للاشتقاق لان ذلك نستنتج منه أنها متصلة .
أي يذكر شرط الاشتقاق فقط .
أكرر شكري الجزيل لشخصكم الكريم ؛ وجعل الله ذلك في ميزان أعمالك .
وتقبل فائق التقدير .

[mathup]

السلام عليمن ورحمة الله وبركاته
أخى الكريم عادل
نظرية القيمة المتوسطة تنص على أنه إذا توفرت شروط النظرية
 نستنتج وجود نقطة مثل جـ تنتمى للفترة المفتوحة ( أ , ب)
بحيث تكون المشتقة الأولى للدالة عند جـ مساوية
لميل الوتر الواصل بين النقطتان ( أ , د(ا) ) & ( ب , د(ب) ).
وهما الطرفين الذين يحدان الفترة المفتوحة (أ , ب)
فإذا الدالة غيرة متصلة عند أحد الأطراف أو كليهما
إختلف الميل وفشلت النظرية

[mathup]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
وهذا رسم أكثر توضيح
شكرا لكم

[عادل سعد]

جزاك الله خير مشرفنا الكريم mathup ؛ وبارك الله لك في علمك وزادك علماً مباركاً
ونفع بك .

[G H Hardy]

السلام عليكم
عندي معلومه بسيطه علما ان بعد كلام الخالد وmathup
نهائي ولايمكن ان يعقب عليه شخص مثلي
لكن المعلومه هي ان الاتصال شرط ضروري ولكن غير كافي للاشتقاق
وانا قد ضربت مثل في المنتدى لداله متصله في كل مكان وغير قابله للاشتقاق
وهي تحت عنوان دالة فايرستراش
تذكر الاتصال شرط ضروري ولكن غير كافي للاشتقاق
اما بالنسبه للاسباب فسوف ابحث عنها واخبرك بها متى ماتوفر لي ذلك
وشكرا لكم

[خالد القلذي]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

الأستاذ خالد ...

أرجو تعديل الدالة التي ذكرتها على الفترة [ -1 ، 1 ] لأنها أصلاً لا تحقق شروط نظرية القيمة الوسطى على الفترة المعطاه ، والصحيح أن تكون الدالة على الفترة المذكورة هي :

د(س) = الجذر التربيعي لـ ( 1 - س^2 )  

ودمتم سالمين ..

وعندي مداخلة في هذا الموضوع ...

لابد من دراسة الإتصال وتأمل المثال التالي :

د(س) = ا س ا  ÷  س  هذه الدالة غير قابلة للإشتقاق عند س=0 بالرغم من أن المشتقة من اليمين = المشتقة من اليسار والسبب يعود في أن الدالة غير متصلة عند تلك النقطة  ...!!

الكثير يعتقد أنه إذاكانت المشتقة من اليمين عند نقطة  = المشتقة من اليسار عند نقطة  تكون الدالة قابلة للإستقاق عند تلك النقطة والمثال الذي ذكرته ينفي ذلك ..

انتبه: ا س ا تعني القيمة المطلقة لـ س
@@@@~~~~~~~~~~~~~~@@@@
تحياتي

@@@@~~~~~~~~~~~~~@@@@
تحياتي

[الخالد]

السلام عليكم
نعم .. هذا ما كنت أقصده بالضبط.
شكراً للتصويب '>

[mathup]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
شكرا للأستاذ خالد القذى على هذه المداخلة
ولكن يبدو أنكم عكستم الوضع بين مفهوم الأتصال عند نقطة وقابلية الأشتقاق عندها
إقتباس:
======
لابد من دراسة الإتصال وتأمل المثال التالي :
د(س) = ا س ا  ÷  س  
هذه الدالة غير قابلة للإشتقاق عند س=0
بالرغم من أن المشتقة من اليمين = المشتقة من اليسار
والسبب يعود في أن الدالة غير متصلة عند تلك النقطة  ...!!
الكثير يعتقد أنه إذاكانت
 المشتقة من اليمين عند نقطة  = المشتقة من اليسار عند نقطة
 تكون الدالة قابلة للإشتقاق عند تلك النقطة والمثال الذي ذكرته ينفي ذلك ..
=====
بإعادة تعريف الدالة السابقة نجد أن

د(س) = 2 س  لكل س >= صفر  &  د( س ) = صفر لكل س < صفر
وبإيجاد المشتقة اليمنى واليسرى للدالة عند س = صفر نجد أن

المشتقة اليمنى = دَ(0) = 2  
بينما المشتقة اليسرى دَ(0) = صفر

فالدالة غير قابلة للإشتقاق عند س = صفر  لسبب واحد فقط هو
أن المشتقة اليمنى  لا تساوى المشتقة اليسرى للدالة

بالرغم من أن الدالة متصلة عند س = صفر   لاحظ أن

النهاية اليمنى للدالة عندما  س تقترب من الصفر = النهاية اليمنى للدالة عندما  س تقترب من الصفر = د(0)

وهذا المثال لا ينفى ما قلت بل يثبت صحتة الحقيقة التى تنص على :

(((النهاية اليمنى للدالة عندما  س تقترب من الصفر )))

و المكافئ المنطقى  لهذه الحقيقة ينص على :

((( إذا كانت الدالة غير متصلة عند نقطة فهى غير قابلة للإشتقاق عند هذه النقطة)))

 

والمثال السابق يؤكد عدم صحة العبارة
إذا كانت الدالة  متصلة عند نقطة فهى  قابلة للإشتقاق عند هذه النقطة
وهذا  خلاصة ما أشار إليه الأخ  روجر