السلام عليكم و رحمة الله و بركاته ،
بسم الله و الصلاة و السلام على رسول الله ..
كثير من الطلاب / الطالبات يفضّل التفاضل على التكامل ، حيث يصعب عليهم جداً حل مسألة تكامل على الرغم من استذكارهم لطرق التكامل جيداً ، و هذا بلا شك له أسباب و سأحاول معالجتها فيما يلي لجعل مسألة التكامل هي في الحقيقة لعبة ممتعة و مفيدة .
و لكن قبل كل شيْ توكّل على الله و التجأ إليه في جميع أمورك و استقم و اعدل مع نفسك ، بعد ذلك يجب أن تعلم أن الرياضيات هو في الحقيقة حقيقة تحتاج إلى التفكير لا أكثر ، فإذا قمت بإعطائها حقها في التفكير أعطتك هي حقك في تصحيح طريقة تفكيرك و تنميتها .
كيف تحل مسألة تكامل ؟
1 / حسب علمي أن هناك طرق كثيرة في التكامل و لكني سأتكلّم هنا عن الطرق التي أعرفها حتى الآن و هي الطرق الموجودة الصف الثالث الثانوي من منهج المملكة العربية السعودية و هي كالتالي :
1 ) تكاملات أساسية : و أقصد بها تكامل : ( 1. دس = س+ث ، س^ن ، جتا س ، جا س ، قا^2 س ، قتا^2 س ، قاس ظا س ، قتا س ظتا س ) .
2 ) تكامل دالة ( دالة خطية ) .
3 ) تكامل دالة مرفوعة لأس و مضروبة في مشتقّتها .
4 ) تكاملات باستخدام متطابقات على الدوال الدائرية أهمها :
جا^2 س = ½ ( 1- جتا2س ) ، جتا^2 س = ½ ( 1 + جتا2س ) 1 + ظا^2 س = قا^2 س ، 1 + ظتا^2 س = قتا^2 س ، جا^2 س + جتا^2 س = 1 ..
5 ) التكامل بالتعويض :
أ / تعويضات خاصة .
6 ) تكاملات الدوال الأسية و اللوغاريتمة .
ب / تعويضات مناسبة ( مختارة ) .
هذه هي الطرق أعرفها جيداً بالترتيب ..
2 / تدرّج في تفكيرك في معرفة الطريقة الصحيحة حسب الترتيب السابق ، و في اعتقادي أن هذه النقطة هي التي تصعب على الطلاب / الطالبات و هي معرفة الطريقة المناسبة للمسألة – و سبب ذلك في النقطة الآتية – و هذا ما دعاني لكتابة هذا الموضوع ، فاسأل نفسك أولاً : هل هذه المسألة تكاملات أساسية ؟ ثمّ و إن كان الجواب لا : هل هي دالة ( دالة خطية ) ؟ ....... و هكذا حسب الترتيب أعلاه .
3 / هذه النقطة مهمة جداً و هي كيف تعرف هذه الطريقة المناسبة ؟ و الجواب لابد أن يكون لديك مهارتين أساستين هما بمثابة مفتاح الحل لكثير من المسائل :
أ / معرفة كاملة بخواص التكامل المختلفة .
ب / معرفة شاملة بالعمليات و القوانين الرياضية المختلفة و خواصها.
بالنسبة لخواص التكامل المختلفة فإنه تتضح أهميتها فيمسألة ما عندما تكون تلك المسألة تحتاج إلى تطبيق إحدى هذه الخواص أو بعضها حتى تتحول إلى شكل معروف لديك ( أي تظهر لك الطريقة المناسبة ) .
و أما بالنسبة إلى العمليات الرياضية فهذه المهارة تمثّل نقطة ضعف كبيرة لدى كثير من الطلاب / الطالبات تحول بينهم وبين حل المسألة . و أحب أن أشير إلى أغلبها و التي نستعملها في كثير من مسائل التكامل :
* التحليل / تحليل العدد ، تحليل المعادلات .
* توزيع الضرب على الجمع ، عملية الضرب تسبق الجمع ،
* بعض القوانين المثلثية مثل جا2س=2جاس جتاس.
* بعض المتطابقات (( الفرق بين مربّعين ، الفرق بين مكعبين ، مجموع مكعبين ، ( أ + ب )^2 ، ( أ + ب )^3 ، ( أ - ب )^3 ، ( أ – ب)^2 )) .
* خواص الأسس . مثل : مقدار في المقام يمكن رفعه للبسط بنفس الأس مع عكس إشارة الأس .
لابد أن تعرف هذه المعلومات الرياضية و غيرها تدرّب عليها بحيث تكون باستحضارك متى أردت ، فهذه المعلومات البسيطة ، و التي من المفترض أن يكون الطلاب يعرفونها جيداً كمعلومات سابقة ، انعدامها هو الذي يسبب مشكلة في حل المسائل كما رأيت ذلك كثيراً بعيني .
4 / بعد ذلك ما عليك سوى تحويل الدالة إلى شكل معروف لديك ( إحدى طرق التكامل ) باستخدام الخواص أو العمليات المناسبة .
تطبيقات /
انظر إلى المسألة نظرة دقيقة و اسأل نفسك من أيّة أنواع التكامل هي ( حسب الترتيب )؟ لابدّ أن يكون الجواب أنها ليست من أي أنواع التكامل . إذاً لابد أن تقوم بتحويلها لشكلٍ آخر انظر إلى المسألة تجد أن هناك عملية طرح غير موحدة المقام ، إنك إذا قمت بتوحيد المقام فإن المقام الموحّد هو س^2 ، و بما أن لجذر يحوي بسط و مقام إذاً نحن نستطيع أن نفصل الجذر إلى جذرين أحدهما في البسط و يحوي ( 2 – 3س) و الآخر في المقام و يحوي س^2 . و بذلك تحذف س في البسط مع مثيلتها في المقام فتحصل على دالة ( دالة خطية ) ..
^5 dx)
عند النظر لهذه المسألة قد تشعر أنه لا يمكن حلها ، فهي لا يمكن أن تكون تكاملات أساسية و لا دالة ( دالة خطية ) و لا ........ ، فوجود هذا الأس الكبير و كذلك هذا المقدار الذي من الدرجة الثانية هو الذي يشعرك بأنه لا يمكن أن تحلّها . و هذه المسألة تحتاج إلى فكرة بسيطة هي بمثابة مفتاح الحل ؛ هل نظرت قليلاً إلى ذلك المقدار الذي داخل القوس ، لأنك لن تستطيع التصرف إلا فيه من جهة ( لتغيير شكل المعادلة ) و لأنه مقدار من الدرجة الثانية من جهة أخرى ، إنه يوحي بأن مميّز هذا المقدار = 0 فعند تحليله ستجد أن هذا المقدار له جذران حقيقيان متساويان و ستكتب : ( ( س – 2 ) ( س – 2 ) )^5 ، و بعد ذلك لابدّ أن تكتب( ( س – 2 )^2 )^5 ، ثمّ (س – 2 )^10 ، و آخر خطوتين من خواص الأسس ، و بذلك تحول شكل الدالة إلى شكل معروف لديك و هو دالة ( دالة خطية ) ..
لابد أن تلاحظ هنا أن الكسر حد واحد فقط باستطاعتك جعل هذا المقدار حاصل طرح كسرين أحدهما س^2/س^2 = 1 ، و الآخر 2/س^2 و ترفع هذا الأس للبسط بـ (-2) ليتحول شكل الدالة إلى تكاملات أساسية .
و هناك ثلاثة أمثلة أخرى سأكتبها لاحقاً إن شاء الله .
كما و يسعدني أن أجد تصحيح أو تعليق إخوتي المتخصصين .
