بسم الله الرحمن الرحيم
اود ان اتكلم عن فرع الرياضيات العملاق و هو المعادلات التفاضلية Differential Equations و تكتب باختصار D.e
أولا:ما هي المعادلة التفاضلية؟؟؟
هي معادلة تحتوي على دالة و مشتقاتها (باختصار)و غالبا ماتكون الدالة y اذا ما حددت الدالة.على سبيل المثال y'+3y=0 هذه معادلة تفاضلية
ملاحظة هامة جدا:y'=dy/dx لذلك يمكن كتابة المعادلة التفاضلية على الصورة dy/dx+3y=0.
ثانيا: تقسيم المعادلات التفاضلية و تنقسم المعادلات التفاضلية الى قسمين:
1-معادلات تفاضلية عادية:بحيث تكون الدالة y معتمدة على متغير مستقل وحيد بمعنى تصبح الدالة y=y(x(....و بالتالي يكون y'=dy/dx فعلا لان اشتقاق الدالة y يكون اشتقاق كامل لانها لا تعتمد الا على سوا متغير واحد و هو المتغير x ...
2-معادلات تفاضلية جزئية : بحيث تكون الدالة y معتمدة على اكثر من متغير (ممكن متغيرين او ثلاثة.....) و تصبح الدالة y=y(x,t) مثلا و بالتالي يكون y'=\frac(\partial\y)(\partialx) لان هنا يكون التفاضل جزئي و ليس كلي.
ثالثا:تحديد رتبة و درجة المعادلة التفاضلية:
رتبة المعادلة التفاضلية)order of d.e) هي:اعلى اشتقاق موجود في المعادلة التفاضلية..على سبيل المثال
y'+3y=0 y''-y=0 y'''-1=0
فتكون المعادلة الاولى من اليسار هي معادلة تفاضلية من الرتبة الاولى و المعادلة الثانية من الرتبة الثانية و المعادلة الثالثة تكون من الرتبة الثالثة (لانه من الواضح لان المعادلات الثلاثة تحتوي على المشتقة الاولى و الثانية و الثالثة على الترتيب).
درجة المعادلة التفاضلية (degree of d.e):هي اعلى اس لاعلى اشتقاق موجود في المعادلة التفاضلية...على سبيل المثال
y'^2+5=0 y''^3+y'=-1 y''^2+y'^4-y=0
و يكون تصنيف المعادلات التفاضلية كالتالي (من ناحية اليسار) الماعداة الاولى هي معادلة من الدرجة الثانية و الرتبة الاولى..و الثانية هي معادلة من الدرجة الثالثة و الرتبة الثانية...و المعادلة الثالثة هي معادلة من الدرجة الثانية و الرتبة الثانية.
رابعا:حل المعادلات التفاضلية؟!
هناك انواع كثيرة من الحلول للمعادلات التفاضلية ولكن عموما حل المعادلة التفاضلية هو عبارة عن دالة y(x) بحيث تحقق المعادلة التفاضلية.
الحل العام general solution:و هو حل تكون فيه جميع الثوابت مجهولة (ثوابت التكامل)....على سبيل المثال y=x+c حيث c اي ثابت arbitrary constant
الحل الجزئي particular solution:
هو حل تكون صيغته مأخوذة من صيغة الحل العام و ذلك بالتعويض عن قيمة الثوابت....على سبيل المثال y=x+5 حيث تم وضع الثابت c=5 فأصبح الحل حلا جزئيا
الحل الرقمي Numerical solution:
هو حل يعتمد على طرق التحليل المعروفة real analysis methods
الحل الوحيد Singular solution:
هو حل غير مأخوذ من الحل العام او تم الحصول عليه بطرية تقليدية و انما قد يكون بطريقة التخمين او بطرية ما اخرى
بعض المساعدات في المعادلات التفاضلية:
1- مسائل القيم الابتدائية Initial-value problem (I.V.P)
يمكن اطلاق هذا الاسم على المعادلة التفاضلية اذا كانت جميع الشروط الابتدائية للمسألة عند قيمة واحدة للمتغير المستقل ...على سبيل المثال....حل المعادلة التفاضلية الاتية y'+2y=0 عندما y(0)=1 , y'(0)=0
نلاحظ في هذا المثال ان الشروط الابتدائية كلها عند x=0 لذلك يطلق اسم I.V.P على هذا المثال
2- مسائل القيم المحدودة Boundary-value problem B.V.P
حيث تكون الشروط الابتدائية للمعادلة التفاضلية او المسالة عند قيم مختلفة للمتغير المستقل....على سبيل المثال حل المعادلة التفاضلية التاليه y'+2y=0 عندما y(0)=1 , y(1)=0
نلاحظ هنا ان الشروط الابتدائية عند x=0,1 لذلك يطلق اسم B.V.P على هذا المثال
وذلك لان المثال اصبح محصور بين قيمتين للمتغير بمعنى انه اصبح محدود
3- النوعين 1 و 2 يمكن اطلاق اسم مسائل كوشي cauchy problems
و هذه النوعية من المسائل تعرف بمجرد النظر وذلك بمجرد رؤية الشروط الابتدائية اي هي باختصار المسائل التي تكون محكومة بشروط (و لها تفسير اخر في الدروس المقبلة ان شاء الله)
ملحوظة هامة جدا:
فيما تستخدم الشروط الابتدائية؟؟؟
تستخدم الشروط الابتدائية في ايجاد الحل الجزئي particular solution
حيث بعد ايجاد الحل العام general solution نجد ان هناك ثوابت غير معرفة (غير معلوم قيمتها) لذلك يمكن التعويض بقيمة المتغيرين x,y ثم نوجد قيمة الثابت بكل سهولة
الى المقال القادم ان شاء الله سوف نتناول كيفية حل المعادلات التفاضلية بانوعها المختلفة
