المعادلات المثلثية

[عسكر]

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

المعادلات المثلثية

نقول عن معادلة أنها معادلة مثلثية إذا كانت تحوي في أحد طرفيها على نسبة مثلثية واحدة أو أكثر

وتنقسم المعادلات المثلثية إلى عدة أنواع

1) معادلات النوع الأول البسيطة ( وهي التي تحوي نسبة مثلثية واحدة فقط )

2) معادلات النوع الثاني ( وهي التي تحوي على نسبتين مختلفتين أو أكثر

3) معادلات النوع الثالث ( وهي كل معادله لا تندرج تحت سقف النوع الأول أو الثاني )

سنقوم بعون الله وتوفيقه بتوضيح النوع الأول والثاني بإسهاب ونأمل أن تكون المشاركات والاستفسارات

ضمن ما يرد وبالترتيب وكلنا أمل أن يكون هذا الموضوع نواة لتغطية المعادلات المثلثية وبمشاركة كافة الأعضاء

على بركة الله نبدأ
1) معادلات النوع الأول البسيطة ( وهي التي تحوي نسبة مثلثية واحدة فقط )

وهنا نذكر بحلول بعض المعادلات الشهيرة

حا س = 0 ـ س = ك × p    أيضا جا س = 1 ـ س = p /2 + ك × 2 p أيضا حاس = -1 ـ  س = - p /2 + ك × 2 p

حتا س = 0 ـ س = p /2 + ك × p   أيضا جتا س=1 ـ س = ك × 2 p  أيضا  جتا س = -1 ـ س = p  + ك × 2 p


ظا س = 0 ـ حاس = 0 ـذكر سابقا

ظاس = 1 ـ س = p /4 + ك × p

ظا س = - 1 ـ س  = 3 p /4 + ك p

وبالمقابل  طتا س = 1/ ظا س

وكل معادلة تحوي طتا يمكن تحويلها إلى ظا س بالعلاقة السابقة

ظتا س = 0 ـ جتا س = 0  وقد تم ذكره

ظتا س = ± 1 ـ س = ± p /4 + ك p

ويحل هذا النوع من المعادلات المثلثية إما مباشرة أو بردها إلى معادلة جبرية بسيطة

دائما سنفرض أن


ك ' ص ( مجموعة الأعداد الصحيحة )

ونقصد بالرمز  ( ك × 2 p  ) عدد صحيح من الدورات

مثال1:
2 حتا س = 1     الحل :
ـ  جتا س = ½  ـ جتا س = جتا p /3 ـ س = ± p /3 + ك × 2 p   وواضح أن للمعادلة حلان

أو يكون الحل بشكل جبري   2 جتا س = 1  نفرض أن حتا س = ص ونعوض فنجد

2 ص = 1 ـ ص = ½ ـجتا س = ½ ونتمم مثل ما سبق

مثال2 :

حل المعادلة المثلثية :


جا² س - جا س  - 2 = 0

نفرض جا س = ص  فتصبح المعادلة ( ص² - ص - 2 = 0 )

وبالتحليل المباشر ترد (  ص - 2 ) ( ص  + 1 ) = 0

إما   ص = 2 ـ جا س = 2   وهذا مرفوض لأن جا س ' [ - 1 ، + 1 ]

أو  ص= - 1 ـ حا س = -1 ـ س = - p /2 + ك × 2 p

مثال3 :  2 حا ² س - 1 = 0

حا س = ± 1 / /\  2   ـ  س = ± p  /4 + ك × 2 p   ،  س = p  ± p  /4 + ك × 2 p

نأمل أن نكون قدمنا ما هو مفيد ويليه إن شاء الله معادلات النوع الثاني

التحية للجميع

[عسكر]

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

 


تذكرة لابد منها

حا س = حا يه ـ س = يه + ك × 2 p  أو  س = p  - يه + ك × 2 p

جتا س = جتا يه ـ س = ± يه + ك × 2 p

طا س = طا يه ـ س = يه + ك × p

ظتا س = ظتا يه  ـ س  = يه + ك × p

 

2) معادلات النوع الثاني الغير بسيطة

نقول عن معادلة أنها من النوع الثاني فيما إذا كانت تحوي على نسبتين مختلفتين أي فيما إذا كانت

المعادلة المثلثية من الشكل : د ( حا س ، جتا س ) = 0

ولحل هذا النوع من المعادلات لا بد من ارجاعها إلى معادلة من النوع الأول ثم إلى معادلة جبريه

ولإرجاعها إلى معادلة من النوع الأول نتبع أحدى الطرق الثلاث التاليه :

1) إذا بدلنا كل س بـ - س ولم تتغير المعادلة عندئذ ترد إلى معادلة من النوع الأول  د( جتا س ) = 0

2) إذا بدلنا كل س بـ  p  - س  ولم تتغير المعادلة عندئذ ترد إلى معادلة من النوع الأول  د( جا س ) = 0

3) إذا بدلنا كل س بـ p  + س    ولم تتغير المعادلة عندئذ ترد إلى معادلة من النوع الأول  د( ظا س ) = 0

4) إذا لم تنطبق جميع الحالات السابقة عند ئذ نلجأ إلى الطريقة العامة أو الطريقة الجبرية :

وهي على مرحلتين :
أ ) نتأكد هل س = p  + ك × 2 p   حل لها فإذا كان حلا فنقول إنها مجموعة أولى من الحلول وإذا لم تتحقق فنقول إن س = p  ليست حلا

ب) نفتش عن الحلول التي من أجلها  س  ¹  p  + ك × 2 p   أي نبدل في المعادلة

حا س  بـ   2ع / 1 +ع²

حتا س بـ  1 - ع²/1 + ع²

طاس بـ  2 ع/1 - ع²

ظتا س بـ  1 - ع²/ 2 ع

فترد المعادلة إلى معادلة جبرية  مه العلم أن  ع = ظا ( س/2 )

ملاحظة عند تطبيق الحالة العامة  ينتج في بعض الأحيان معادلة من الدرجة الرابعة من الصعب حلها لذلك لا نلجأ للحالة العامة غالبا

طريقة حل المعادلات من النوع الثاني ( الغير بسيطه )

1) نجعل الطرف الأيسر =0

2) نحول طرفها الأيسر  إلى أقواس مضروبة ببعضها البعض أما بإخراج عامل مشترك أو بوساطة الدساتير المثلثية

3)  نطبق الخاصة الصفرية ( إما الأول صفر أو الثاني=0 أو الثالـــــــث ..................

أمثلة :
1) حل المعادلة :   ظاس = حا س    هنا شرط الحل  س  ¹ p /2  + p  × ك

المعادلة تصبح بعد تحويل ظا س ـ حا س ( جتا س ) = حا س

حاس حتا س - حا س = 0 ـ حا س ( حتا س - 1 ) = 0

إما حا س = 0 ـ س = p  × ك

أو جتا س - 1 = 0 ـ جتا س = 1 ـ س = ك × 2 p

2) حل المعادلة :  

جا² 2س  = حا² س  

جا² 2س - حا² س  =0

( جا2س - جا س ) (جا 2س + جا س ) = 0

2×جتا(3س/2) جا(س/2)× 2 × جا (3 س/2) جتا (س/2) = 0

جتا(3س/2) جا(س/2)×  جا (3 س/2) جتا (س/2) = 0

إما جتا(3س/2) =0 ـ 3س/2 = p /2 + ك × p

ـ س = p /3 + 2/3 p  ك

أو جا(س/2) =0 ـ س/2 =ك×p  ـ س = 2 p  × ك

أو جا( 3س/2) = 0 ـ س = 2/3 p  ك

أو  جتا( س/2 ) = 0 ـ  س = p  + ك × 2 p

وهنالك ثلاث حالات شهيره من المعادلات

الأولى : من الشكل     ب جتا س + حـ جا س + د = 0

الثانيه  :  من الشكل ب جتا² س + حـ حا² س + د جا س × جتا س + هـ = 0

الثالثة  وهي من الشكل :   ب جا س × جتا س ± حـ ( حا س ±جتا س ) ± د = 0    

حيث كل من  ب ، حـ ، د ، هـ  أعداد حقيقية معلومة

وسنقوم لاحقا بشرح  كل واحدة على انفراد

التحية لجميع

[عسكر]

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
 

المعادلة     ب جتا س + حـ جا س + د = 0   حيث ب × حـ ¹ 0

إن الطرف الأول من هذه المعادلة عبارة خطيه ( من الدرجة الأولى ) في جتا س  و  حا س وتحل وفق الخطوات التالية :

1) نقسم طرفي المعادلة على   /\  ب^2 + حـ^2     فنجد  :

( ب/ /\  ب^2 + حـ^2    ) جتا س +  ( حـ / /\  ب^2 + حـ^2    ) جا س  =  ( د/ /\  ب^2 + حـ^2    )

2) نفرض جتا يه = (ب/ /\  ب^2 + حـ^2    )  ، جا يه = ( حـ/ /\  ب^2 + حـ^2    ) وبالتبديل في المعادلة :تصبح :

جتا س جتا يه + جا س جا يه = ( د/ /\  ب^2 + حـ^2    )

جتا ( س - يه ) = ( د/ /\  ب^2 + حـ^2    )

فإذا كان المقدار ( د/ /\  ب^2 + حـ^2    ) ' [ - 1 ، + 1 ] فرضناه جتا عه  وإلا فإن المعادلة ليس لها حل في  ح

وتصبح المعادلة على الشكل : جتا ( س-يه ) = جتا عه ـ  مجموعة حلولها هي

س - يه = ± عه + ك × 2 p   ـ  س = يه ± عه + ك × 2 p

   ملا حظة هامة

إن الشرط ( د/ /\  ب^2 + حـ^2    ) '  [ - 1 ، + 1 ] قـ  -1 ³  ( د/ /\  ب^2 + حـ^2    )  ³  + 1

وهو يكافئ   د²  ³  ب² + حـ²  وهو شرط حل هذه المعادلة  

مثال1: حل المعادلة :   /\  3  جتا 3س - جا 3س = /\  2

نحسب   /\  ب^2 + حـ^2    =   /\ 3 + 1  = 2 نقسم حدود المعدلة على  2 ونتابع

( /\  3 /2) جتا 3س -( 1/2) جا 3س = /\  2  / 2

جتا 30 جتا 3س - جا30 جا 3س = /\  2 /2

جتا(3س + 30) = جتا 45    وهنا أخذنا الدرجات لسهولة الكتابة

3س + 30 =  ± 45 + ك × 360 ـ س = - 10 ± 15 + ك × 120

مثال2: ناقش حسب قيم المتحول  هـ  الحقيقية وجود حلول  للمعادلة  ثم حل المعادلة من أجل  هـ = 1

هـ جتا س +   /\  2 هـ + 1    جا س = 1

بداية يجب أن يكون ما تحت الجذر   £   0

2 هـ + 1 £  0  ـ  هـ  £  ( - 1/2)

ننتقل لشرط وجود حل للمعادلة وهو ب² + جـ² £  د²

هـ² + 2 هـ + 1 £  1 ـ هـ² + 2 هـ £  0

نبحث عن حلول هذه المتراجحة  هـ ( هـ  + 2 ) £  0 وهي

هـ ' ] - ¥ ، - 2 ] ب [ 0 ، + ¥ [

وبالتالي  هـ ' [ 0 ، + ¥ [  وهي مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها المتحول هـ ليكون للمعادلة حل

والآن  من أجل هـ = 1 نعوض في المعادلة لتصبح : ـ جتا س + /\  3  حا س = 1

نوجد /\  ب^2 + حـ^2    = /\   1 + 3  = 2 ونقسم طرفي المعادلة على   2

(1/2) جتا س + ( /\ 3 /2 ) حا س = ( 1/2 )

حتا 60 جتا س + حا 60 جا س = جتا 60

جتا ( س - 60 ) = جتا 60 ـ س  - 60 = ± 60 + ك × 2 p  وهي مجموعة الحلول المطلوبة

وبعونه تعالى وتوفيقه سنتابع الشكل الثاني ونرجو أن يكون ما ورد مفيدا

التحية للجميع
'>

[السفير]

السلام عليكم

شكرا لك أستاذي الفاضل على هذه الدروس القيّمة , والتي من فوائدها أيضا أنها ستثري معرفتي للرموز العربية في الرياضيات .

تحياتي ..

[عسكر]

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
 

المعادلة من الشكل  ب جتا² س + حـ حا² س + د جا س جتا س =  هـ علما ب × حـ ¹ 0 و د ¹ 0

نحاول تخفيض الدرجة من الثانية للأولى باستخدام العلاقات المثلثية :

2 جتا² س = 1 + جتا 2 س

2 جا² س = 1 - جتا 2 س

2 جا س جتا س = حا 2 س

بعد التعويض ترد المعادلة إلى الشكل  بَ جتا 2 س + حـَ جا 2 س = دَ وهذا الشكل سبقت دراسته

مثال1: حل المعادلة  2 حتا² س + حا² س - حا س حتا س = 2

 1 + جتا 2 س + ( 1 - جتا 2 س ) / 2  - ( حا 2 س ) / 2  =  2

جتا 2 س - جا 2 س = 1    وهي الشكل الأول وترد إلى

( 1 / /\ 2  )  جتا 2 س - ( 1 / /\ 2  )  حا 2 س = ( 1 / /\ 2  )  

حتا 45 جتا 2 س -  حا 45  جا 2 س = جتا 45  

جتا ( 2 س  + 45 )  = جتا 45

2 س + 45  = ± 45  + ك × 360

س = -  22.5 ± 22.5 + ك × 180  وهي تمثل مجموعات الحلول الممكنة للمعادلة

من المفيد أن نلاحظ ونستنتج دوما ومباشرة المعادلتان وهما شهيرتان


حتا س - جا س =   /\  2  جتا ( س + 45 )

جتا س + جا س  = /\  2  جتا ( س - 45 )

مثال2 عين قيم المتحول هـ الحقبقبة ليكون للمعادلة حل ثم أوجد مجموعة الحلول من أجل هـ = /\  3

( /\  3  - هـ ) جا² س  +  ( /\ 3  + هـ ) جتا² س  = 2 حا س جتا س

نصلح المعادلة ونجمع الحدود على الشكل

/\ 3  ( حا² س + حتا² س ) + هـ ( جتا² س - جا² س ) = حا 2 س

/\  3  + هـ جتا 2 س  = حا 2 س

هـ جتا 2 س _  جا 2 س =  -   /\ 3

شرط الحل مربع أمثا ل جتا + مربع أمثال حا £  مربع الطرف الثاني ـ هـ²  + 1 £   3

هـ² £  2 ـ - 2 £   هـ  £   + 2

ومن أجل  هـ = /\  3  تصبح المعادلة :  

  /\  3   جتا 2 س - جا 2 س = - /\  3

نقسم الطرفين على /\  3 + 1   = 2 لتصبح

جتا 30 جتا 2 س - جا 30 حا 2س = جتا 150

جتا (2 س + 30 ) = جتا 150 ـ  2 س + 30 = ±  150 + ك × 360 ـ س = - 15 ± 75 + ك × 180

ويليه إن شاء الله الشكل الثالث نتمنى أن لاتكون هنالك أخطاء مطبعيه وأن يكون ما قدمناه مفيدا

التحية للجميع

[المغوار]

مشكور أخي عسكر على هذا المجهود المتميز  في هذا الموضوع الهام

وأتمنى أن تقدم لنا كل مالديك في هذا الموضوع .

[ابو الحروف]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

بارك الله بك استاذي الفاضل عسكر...
وجعل ذلك في موازين حسناتك...

[عسكر]

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
 


الأخوة الأكارم السفير - المغوار - أبو الحروف . . . حياكم الله وبارك بكم ونرجوا المساهمة من الجميع

والكل مدعوون جميعا دون استثناء

لإغناء الموضوع بذكر بعض المعادلات التي فيها اشكال مع حلها ليكون مرجعا متكاملا للمعادلات المثلثيه

 و على بركة الله نتابع بالمعادلة من الشكل :

ب( جتا س ± حا س ) + حـ حا س جتا س =  د      حيث ب × حـ ¹ 0

لحل هذا الشكل من المعادلات  التي تضم في ثناياها

جتا س + حا س  أو جتا س - جا س نعوض بقيمتها  وهي /\  2  جتا ( س  ± 45 )

والآن نفرض  س + 45 = ع  أو س - 45 = ع  

وبالتبديل في المعادلة نحصل على معادلة جبرية من الدرجة الثانية في جتا ع أو جا ع يمكن حلها بالطرق الجبرية المألوفة

مثال1 :  2 ( جتا س - حا س ) + حا س جتا س = 2

جتا س- حا س =   /\  2  جتا ( س + 45 )

نفرض ( س + 45 ) = ص ـ س = ص - 45  أو [ س + p /4 = ص  ] ـ س = ص - p /4

نبدل في المعادلة تصبح

2 /\  2  جتا ص + 1/2  حا 2 ( ص - 45 ) = 2  ـ

2 /\  2  جتا ص - 1/2 جتا 2 ص = 2 ـ

2 /\  2  جتا ص - 1/2 ( 2 جتا² ص - 1 ) = 2  ـ

حتا² ص - 2 /\  2    جتا ص + 3/2 = 0 وهي معادلة جبرية   مميزها = 2  وبالتالي إما  

جتا ص = ( 2 /\  2  + /\  2  ) / 2 = 3/2   /\  2    ـ جتا  ص >     1إذن     لا يوجد حلول

أو  جتا ص = ( 2 /\  2 -   /\  2  )/2  =   /\  2  /2

جتا ص =  جتا 45 ـ ص = ± 45 + ك ×  360 ـ

 س = ± 45  - 45 + ك × 360  وهي  مجموعة الحلول للمعادلة المفروضة

مثال2: 1/2 ( جتا س + حا س ) = /\  2  حا س جتا س

/\ 2  / 2 جتا ( س - 45 ) = /\  2  / 2 جا 2 س

جتا ( س - 45 ) = جا 2 س  وهنا الحل بالطريقة السابقة أو

حتا ( س - 45 ) = جا 2 س = جتا ( 90 - 2 س ) ـ س - 45 =  ± ( 90 - 2 س ) + ك × 360

إما  3 س = 135 + ك × 360 ـ س = 45 + ك × 120

أو   - س = - 45 + ك × 360 ـ س = 45 - ك × 360

نتمنى أن  يكون ما ورد مفيدا وسنتابع إن شاء الله ببعض المعادلات بعضها يندرج تحت سقف ما ورد سابقا وبعضها مختلف

ولكثرة الرموز حاولنا قدر الامكان تجنب الأخطاء و إن ورد فهو سهو وأرجو المعذرة والتصحيح ومشكورين

التحية للجميع

[الخالد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مجهود أكثر من رائع
بارك الله فيك استاذنا الكريم

تحياتي'>

[عسكر]

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

 
الشكر للجميع ونتمنى التواصل . .
طبعا يمكن حل المعادلات بأساليب أخرى  فمثلا يمكن أن نتمكن من سلوك طريق أسهل في الحل

مثال:جتا² س + /\  3  حا 2 س = 2 جتا س + جا² س

يمكن أن نفكر بتخفيض الدرجة وقد مر ذكره ويمكن أن يكون الحل على الشكل التالي:

جتا² س - جا² س + /\  3  حا 2 س = 2 حتا س

جتا 2 س + /\  3  جا 2 س = 2 جتا س  ( نقسم الطرفين على 2 )

1/2 جتا 2س +   /\  3 /2 جا 2 س = جتا س ـ جتا ( 2 س - 60 ) = جتا س

2 س - 60 = ± س + ك × 360 ـ

إما  س = 60 + ك × 360   أو  س = 20 + ك × 120

التحية للجميع

[عسكر]

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته  


حل المعادلة: حا³ س + 3 جتا³ س + حا س = 0

وهي لاتنطبق عليها الحالات التي وردت سابقا

نلاحظ أن س = 90 + ك × 180  ليست مجموعة من الحلول لها  نقسم طرفي المعادلة على  جتا³ س  

ظا³ س  + 3 + حا س / جتا³ س  =  0 ـ ظا³ س + 3 + ظا س ( 1 + ظا² س ) = 0

2 ظا³ س + ظا س + 3 = 0 ـترد إلى معادلة جبرية ص = ظا س ـ 2 ص³ + ص + 3 = 0 وبملاحظة أن ص = - 1 حل لها

( ص + 1 )       ( 2 ص²  - 2 ص + 3 ) = 0

القوس الثاني مميزه =  - 20 سالب ليس له  جذور ( أصفار)

ص = - 1 ـ ظا س = - 1 = ظا - 45 ـ س =  - 45 + ك × 180 وهي مجموعة وحيدة من الحلول

لاحظ المثال التالي  حل المعادلة: حا³ س + 3 جتا³ س - حا س = 0

نلاحظ أن س = 90 + ك × 180   مجموعة من الحلول لها  نقسم طرفي المعادلة على  جتا³ س  فنقول أن هذه مجموعة أولى من الحلول ونتابع كما فعلنا في السابق لتنتج باقي الحلول

مثال 2 :حل المعادلة  جا³ س + جتا³ س = جا س

يمكن الحل كما ورد سابقا أو يمكن كتابته على شكل جداء عوامل :

جا س ( 1 - جتا² س ) + جتا³ س = جا س  

جا س - جا س جتا² س  + جتا³  س = جا س

جا س جتا² س + جتا³ س = 0

جتا² س ( جتا س _ جا س ) = 0 نطبق الخاصة الصفريه إما الأول = 0  أو الثاني = 0

جتا² س = 0 ـ س = 90 + ك × 180

أو جتا س - جاس = 0 ـ وقد مر المشابه أكثر من مرهـ الحلول

التحية للجميع

[عسكر]

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته  

مثال  حل المعادلة :  حتا (س/3 ) - جا ( س/2) + 2 = 0

هي دعوة للجميع لطرح تمارين ومسائل تصب في اطار المعادلات المثلثية وإراد حلها بعد عدة أيام عسى يكون فيها فائدة


&   §   التحية للجميع  §  &  

[ابو يوسف]

السلام عليك

جزاك الله كل خير اخي الكريم عسكر

هل يمكن وضع الرموز بالانجليزية؟

حيث تواجهني صعوبة في فهم الرموز بالعربية

على الاقل معاني جتا وجا وغيرهما

وشكرا لكم

'>

[عسكر]

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته  


أشكرك أخي الغالي أبو يوسف

جا  س = sin x     ،  جتا س =  cos x  وقد جرت العادة أن ترمز هكذا في المناهج المدرسية

وكذلك ظا س =  Tan x  ، ظتا س =  Cotn x = 1/ Tan x

وعلى هذا تكون المعادلة على الشكل:


cos (x/3) -  sin ( x/2)   + 2 =  0


&

  §   التحية للجميع  §  &  

[عسكر]

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته  

في ما سبق تم ذكر حل المعادلات المثلثية من الأشكال التالية  الخاصة :


1) Cos x = ± 1 ق x = ?

2) Cos x = 0 ق x = ?

3) Sin x = ± 1 ق x = ?

4) Tan x = ± 1 ق x = ?

5) Tan x = 0 ق x = ?

6) Cotn x = ± 1 ق x =      ?

7) Sin x = Sin  q ق x = ?

Cos x = Cos q ق x = ?

9) Tan x = Tan q ق x = ?

10) Cotn x = Cotn q ق x = ?

أيضا تم ذكر طرق حل المعادلات من الأشكال :

1)  a Cos  x ± b Sin x = c

2)  a Cos²x  + b Sin² x + c Cos x  .  Sin  x  = d     :  a. b ¹ 0  ,  c ¹ 0

3)  a ( Cos x  ±  Sin x )  ±  b Sin x . Cos x  = c  : a . b ¹ 0

4) تم ذكر معادلات لاتندرج تحت سقف ما ذكر مع حلها و ننتظر المشاركة والتنشيط من الجميع

&   §   التحية للجميع  §  &