بسم الله
طبعا الموضوع هنا معد من استاذي بعنايه تامه وبشكل متوسع جدا يفوق ماهو موجود في الكتب العربيه
له جزيل الشكر والتوفيق
نكمل
خاصية التجميع المنته تحقق خاصية الاطراد
نظريه4-6
اذا كان
جبرا وكان
تحقق خاصية التجميع المنته فان
فان
\le\tau(B) )
البرهان
لاحظ ان
=\tau(A\cup(B/A)) \\ =\tau(A)+\tau(B/A) \\ then \ \tau(A)\le\tau(B) )
لتعريف القياس نحتاج الى خاصية التجميع القابل للعد
تعريف 4-8
ليكن
تجمعا من مجموعات جزئيه من X بحيث ان المجموعه الخاليه موجوده في هذا التجمع نقول عن داله
انها تحقق (خاصية التجميع القابل للعد) او
تجميعي اذا كان
=0 \\ ii- \ \mu(\Bigcup\limits_{i=1}^{\infty}E_i)= \Bigsum\limits_{i=1}^{\infty}\mu(E_i) )
مهما كانت E_i عناصر من
منفصله مثنى مثنى
لاحظ ان خاصية التجميع القابل للعد تقتضي خاصية التجميع المنته لنرى ذلك (لن اكمل اريد احد فطحل يبرهن هذا الكلام)
-اذا كان
جبر وكان
يحقق خاصية التجميع القابل للعد فان
\le\Bigsum\limits_{n=1}^{\infty}\mu(A_n) )
لاحظ اننا خففنا شرط المساواه
مهما كانت
لكل n و
البرهان
لاحظ ان
 )
) \\ =\mu(A_1)+\Bigsum\limits_{n=2}^{\infty}\mu((A_n/\Bigcup\limits_{i=2}^{n-1}A_i)) \\ \le\mu(A_1)+\Bigsum\limits_{n=2}^{\infty}\mu(A_n)=\Bigsum\limits_{n=1}^{\infty}\mu(A_n) )
نظريه4-7
اذا كانت
شبه جبر وكان
يحقق خاصية التجميع القابل للعد فان التمديد الوحيد
\to[0,\infty] )
لـ
الذي يحقق خاصية التجميع المنته ايضا يحقق خاصية التجميع القابل للعد
نظريه4-8
افرض ان شبه الجبر
من مجموعات جزئيه من X وافرض ان
يحقق خاصية التجميع المنته فان تاو يحقق خاصية التجميع المنته
مهما كانت
يحقق
منفصله مثنى مثنى فان
 )
نتيجه 4-8
لتكن
شبه الجبر المؤلف من كل الفترات المفتوحه من اليسار والمغلقه من اليمين في R عرف
)=\infty \ , \ \tau(\phi)=0 \ , \ \tau((a,b])=b-a \ , \ \tau((-\infty,b])=\infty \ , \ \tau(\R)=\infty )
فان تاو يحقق خاصية التجميع القابل للعد
البرهان(لمن يريد يمكن ارسله له)
ملاحظه
نتيجه 4-8 ونظريه 4-6 ونظريه 4-7 تبين ان دالة الطول يمكن تمديدها بشكل وحيد الى داله
معرفه على
 )
تحقق خاصية التجميع القابل للعد
تعريف4-10
ليكن
جبر سيجما من مجموعات جزئيه من X سمينا سابقا الزوج
 )
فضاء قابل للقياس (measurable space) وعناصر
(تسمى مجموعات قابله للقياس) (maesurable sets) القياس (measure) على
هو تطبيق
يحقق خاصية التجميع القابل للعد
الثلاثي
 )
المكون من فضاء قابل للقياس
وقياس
عليه يسمى (فضاء قياس) (measure space)
اذا كان
<\infty )
نسمي ميو قياس منتهي كما نقول ان
هو
منته (تقرأ سيجما منته)
 )
اذا كان
حيث
لكل i و
<\infty )
لكل i
تحياتي
