مسألتين في الدائرة

[اكرام3]

1)أوجد معادلة الدائرة  إذا علم أنها تمر بالنقطتين أ( 4 ، 6)  ، ب( -2 ، 4 )
وكان الوتر أ ب ينصف نصف الفطر  المعامد له


2)أوجد معادلة الدائرة التي تمر بالنقاط التالية ( 3 ،1) ، ( 8، 2) ( 2، 6 )
           بدون استخدام طريقة حل المعادلات

[القاموس المحيط]

اليك الاجابة حسب فهمي للسؤال

[اكرام3]

 لاخي
اولا حلك لم افهمه ولكن معادلة الدائرة  للسؤال 2 بدون حل المعادلات هي
س^2 +ص^2 - 10 س - 8 ص + 28 = 0 بس كيف لانه قال بدون حل المعادلات التي هي نعوض النقاط في المعادلة  س^2 +ص^2 + أ س+ ب ص +جـ =0 وايجاد المجاهيل الثلاثة أ  ب  جـ
أختكم اكرام من مصر
 

[القاموس المحيط]

الأخت اكرام3
تجدين في الملف المرفق توضيح أكثر للحل الذي قدمته مسبقاً أرجو أن يكون واضحاً وأرجو أن يكون هو ما تبحثين عنه ....اذا كان هناك أي سؤال فيسرني الاجابة عنه[/I]

[اكرام3]

  لاخي القاموس المحيط
اولا اشكر جهدك المبذول في تقديم المساعده لي وهذا يعزز فيني زيادة الرابط بيني وبين الموقع الرائع ولكن اين الاخوه الباقية اين مشرفنا محمد شكري الجماصي, الخالد  وارشميدس و غيرهم انا اقدر اعمالهم واشغالهم وجهودهم الجباره في رفع مستوى الموقع وتحقيق اهدافه

اخي القاموس المحيط لقد راجعت الملحقات ووجد ملاحظتك وفيها تعليقي ارجو مساعدتي

[القاموس المحيط]

الأخت اكرام3
كلامك صحيح بالنسبة للمسألة الأولى وجل من لا يسهو ولا يخطئ ، وقد قمت بتعديل الحل وتجدين التعديل باللون الأحمر .....وشكراً لتنبيهي لذلك

[سامح المصري]

الأخ الفاضل : القاموس المحيط

هناك معلومه جديده بالفعل علي في طريقة حلك لهذا التمرين الإ وهي

QUOTE

وكان الوتر أ ب ينصف نصف الفطر  المعامد له

أستنتاج حضرتك من هذة المعلومة : أن طول الوتر = طول القطر

أرجو توضيح هذة العبارة  وشكرا ً

[اكرام3]

مشكور اخي
القاموس المحيط
ولكن ادعوك الى تحميل الملحقات وفيه كل التوضيح مع رسم اوضح للمسألة

[القاموس المحيط]

أختي اكرام3
معذرة عن تأخري في الرد...أظن أنك وقعت في افتراضات خاطئة.....حيث افترضت -خطأً- أن مركز الدائرة يقع عند نقطة الأصل (0 ،0) ، لذلك ظهر لك أن هناك مثلث ستيني ثلاثيني بينما الصحيح أن تفترضي أن مركز الدائر في نقطة غير نقطة (0،0) ، حيث ان هذا المثلث لا وجود له وانما هناك فقط خط مستقيم يمر بالمركز هو الوتر أب وهو كذلك قطر الدائرة ، وقد وضحت ذلك في الملف المرفق.
أرجو أن يكون ما كتبته مفيداً لك ....وتقبلي تحياتي واعتذاري على التأخير.

[اكرام3]

 مرحبا

[القاموس المحيط]

الأخت اكرام3 والأخ سامح المصري
نعم كلامكما صحيح فقد فهمت المسألة الأولى خطأً بالرغم من وضوح السؤال ....فقد قمت بحل المسألة الأولى على أساس أن الوتر ينصف القطر بينما السؤال أن الوتر ينصف نصف القطر .....وقد كان السؤال واضحاً ولكن كان الخطأ مني لأنني قرأته بسرعه....أعتذر لكما مرة أخرى.
وقد أعدت حلي ، فوجدت أن نصف القطر كما قلتي  نق=جذر(40/3)... حتى أوجد المعادلة يتبقى الآن أن أوجد احداثيات مركز الدائرة ....حاولت أن أوجد احداثيات مركز الدائرة باستخدام نفس طريقة حلي في المسألة الثانية ولكنها نتجت عن خليط من معادلات الدرجة الأولى والثانية والتي بالامكان حلها جبرياً الا أنها طويلة ....أعتقد أن هناك طريقة أسهل لايجاد احداثيات المركز باستخدام المتجهات أو الاحداثيات القطبية ......سأوافيكم بما سأجد ان شاء الله .....وأكرر اعتذاري عن سوء فهمي للسؤال

[الخالد]

السلام عليكم
إذا سمحتوا لي بمشاركتكم النقاش في هذه المسألة الجميلة...

حسب معطيات المسألة فهناك (هندسيا) احتمال لوجود مركزين مختلفين لدئرتين متطابقتي نصف القطر
وبالتالي يمكن ايجاد معادلتين لهذه المسألة.



أما جبريا فيمكننا الوصول للنتيجة نفسها...
الأخ القاموس المحيط لمح لوجود معادلات (درجة اولى ودرجة ثانية ) يمكن  حلها مع بعض وهذا صحيح وبالتالي وبسبب وجود معادلة من الدرجة الثانية ستكون هناك قيمتين ...

تحياتي

[Yacoubian]

الإخوة الأحباء في المنتديات العلمية ...
أسعد الله مساءكم بكل خير ...

إليكم حل المسألة الأولى بطلب من الأخت إكرام12 ، تحياتي إليك يا إكرام وشكراً على هذه المسألة الرائعة ...

1) أوجد معادلة الدائرة ، إذا علم أنها تمر بالنقطتين أ( 4 ، 6)  ، ب( - 2 ، 4 )
وكان الوتر أ ب ينصف نصف القطر المعامد له .

نطبق دستور البعد بين النقطتين ( أ ) و ( ب ):

ل^2 [ أ ب ] = ( 4 + 2 )^2 + ( 6 - 4 )^2 = 36 + 4 = 40

ل [ أ ب ] = 40^1/2 = ( 4 × 10 )^1/2 = 2 × 10^1/2

ولما كانت النقطة ( د ) منتصف الوتر أ ب ، فإن :
ل [ أ د ] = 10^1/2

الزاوية المركزية أ م ن تحصر القوس أ ن المحدد بالوتر أ ن = نصف القطر ، هذا يؤدي أن الزاوية المركزية = 60 درجة . ( لاحظوا أيضاً المثلث  أ م ن  متساوي أضلاع ) أضلاعه = R نصف القطر .

وبالتالي فالمثلث أ د م القائم في ( د ) فيه الزاوية ( أ ) = 30 درجة .
الضلع المجاور للزاوية ( د ) = 10^1/2 .
فالوتر أ م للمثلث = (  R نصف قطر الدائرة )  = 2 × 10^1/2 ÷ 3^1/2   ....... لأن ( تجيب 30 = المجاور أ د على الوتر أ م ) ==> ( الوتر أ م = المجاور أ د على تجيب 30 )

لإيجاد إحداثيات مركز الدائرة الأولى ، نكتب معادلة ( المستقيم أ م ) و ( المستقيم ن م ) ونحلهما حلاً مشتركاً .

* معادلة المستقيم أ م :

لنوجد أولاً ميل المستقيم أ ب = فرق العينات / فرق السينات = ( 6 - 4 ) / ( 4 + 2 ) = 2 / 6 = 1 / 3 .
ميل المستقيم أ م يزيد على ميل المستقيم أ ب بثلاثين 30 درجة ( بالتقابل بالرأس ) .

الزاوية التي ميلها 1 / 3 = 18.43494882 درجة .
فالزاوية التي يصنعها ( المستقيم  أ م ) مع محور السينات هي : 30 + 18.43494882 = 48.43494882  درجة .

ميل المستقيم أ م = ظل الزاوية 48.43494882  = 1.127711849
فمعادلة المستقيم أ م :
ع = 1.127711849 س + ط     لإيجاد ( ط ) نبدل النقطة أ ( 4 ، 6 ) في معادلة المستقيم فنجد :
6 = 1.127711849 × 4 + ط    ==>   ط = 6 - 4.510847396 = 1.489152604

ع = 1.127711849 س + 1.489152604     .....  ( 1 )

* معادلة المستقيم ن م :

ميل المستقيم ن م × ميل المستقيم أ ب = - 1     مستقيمان متعامدان .

ميل المستقيم ن م = - 3      ( مقلوب 1/3 بإشارة ناقص ) .

النقطة ( د ) تقع على المستقيم ن م ، إحداثيا ( د ) الواقعة منتصف الوتر أ ب :
فاصلة النقطة ( د ) = ( 4 -  2 ) ÷ 2 = 1 .
ترتيب النقطة ( د ) = ( 6 + 4 ) ÷ 2 = 5 .       ==>    د ( 1 ، 5 )

معادلة المستقيم ن م :
ع = - 3 س + ق      لإيجاد ( ق ) نبدل النقطة د ( 1 ، 5 ) في معادلة المستقيم فنجد :
5 = - 3 × 1 = ق    ==>  ق = 5 + 3 = 8 .

ع = - 3 س + 8         ..... ( 2 )

بالحل المشترك بين المعادلتين ( 1 ) و ( 2 ) :

1.127711849 س + 1.489152604 = - 3 س + 8

1.127711849 س + 3 س = 8 - 1.489152604

4.127711849 س = 6.510847396

س ( م. ) = 6.510847396 ÷ 4.127711849 = 1.577350269

ع ( م. ) = - 3 س + 8 = - 3 × 1.577350269 + 8 = - 4.732050807 + 8 = 3.267949193

إحداثيا مركز الدائرة الأولى :   م. ( 1.577350269 ، 3.267949193 )

فمعادلة الدائرة الأولى :

( س - 1.577350269 )^2 + ( ع - 3.267949193 )^2 = ( 2 × 10^1/2 ÷ 3^1/2 )^2  
( س - 1.577350269 )^2 + ( ع - 3.267949193 )^2 = 40 / 3

وبما أن النقطة ن مركز الدائرة الثانية ، هي نظيرة النقطة م. بالنسبة للمستقيم أ ب ، فإن إحدائيا ن :

س ( ن ) = س ( د ) - [ س ( م. ) - س ( د ) ] = 2 × س ( د ) - س ( م. ) = 2 × 1 - 1.577350269 = 0.422649731

ع ( ن ) = 2 × ع ( د) - ع ( م. ) = 2 × 5 - 3.267949193 = 10 - 3.267949193 = 6.732050807

معادلة الدائرة الثانية :

( س - 0.422649731 )^2 + ( ع - 6.732050807 )^2 = 40 / 3

آمل أن تكون الخطوات واضحة  ويمكن الإكتفاء بثلاث أرقام بعد الفاصلة ، وقد تركتها بأرقامها الدقيقة كي تتحققوا بأنفسكم لدى تبديل النقطتين أ ( 4 ، 6 ) ، ب ( - 2 ، 4 ) في كلا معادلتي الدائرتين ليكون الناتج 40 / 3 = 13.33333333

وشكراً لكل من ساهم في حل التمرين ، وفي مقدمهم الأستاذ الفاضل الخالد تحياتنا لك أستاذنا ، وهذه تحية إلى إكرام ومسألتها الحلوة ، وإلى الإخوة الأحباء القاموس المحيط وسامح المصري ، مع أحلى أمنيات السعادة .

أخوكم بسام Yacoubian