لو قلنا ك عدد طبيعي ، ق عدد أولي ماكو أكبر منه ونفرض أن
ك = ( 2×3×5×....×ق) + 1 بالطبع ك عدد طبيعي
من المؤكد أن ك لا يقبل القسمة على أي من الأعداد الأولية المنتمية إلى [2، ق] -->(1)
واضح أن ك > ق
وحيث ق أكبر عدد أولي فهذا يعني عدم وجود أعداد أولية بين ك، ق --> (2)
من (1)، (2) العدد ك لا يقبل القسمة على أي عدد اولي بين 1، ك وعليه فالعدد ك ليس له سوى قاسمان موجبان هما 1 ، ك وعليه ك عدد أولي وهو يتناقض مع كون ق أكبر عدد أولي ، ك > ق
وعليه فمتتابعة الأعداد الأولية غير منتهية
هذا البرهان نفس السابق المذكور وقدم هذا البرهان أقليدس وللأسف لم يتقدم آخر لبرهان جديد غير المذكور والمنسوب لأقليدس
تنبيهات للفائدة
1) لم يتقدم أحد حتى الآن بقاعدة تحدد أن كان عدد طبيعي ما هو أولي أم لا
2) هناك جداول للأعداد الأولية حتة عشرة ملايين
3) أي عدد زوجي أكبر من 2 يمكن كتابته على صورة مجموع عددين أوليين ولم يثبت أحد صحة أو عدم صحة هذه العبارة
4) ليكن د(ن) عدد الأعداد الأوليه ما بين 1، أي عدد طبيعي ن فان نهاية النسبة بين د(ن)، ن/لون للأسلس هـ عندما ن تؤول لمالانهاية تساوي 1
5) مدى الدالة د(س)=س^2 + س +41 للأعداد الأولية التي اقل من 43 هي أعداد أولية أي
د(1) ، د(2) ، ...د(39) اعداد اولية
عسى أكون قد أفدت
