إليكم إثبات المسألة الثانية :
<img src=http://mypage.ayna.com/ahmed1975/area.jpg>
مساحة المثلث هي مساحة شبه المنحرف الكبير مطروحاً منها مساحتي شبهي المنحرفين الصغيرين ( الأحمر و الأزرق )
مساحة شبه المنحرف الكبير =1/2( ص3 + ص1 )( س1 - س3 ) = 1/2(ص3س1 - ص3س3 + ص1س1 - ص1س3 )
مساحة شبه المنحرف الأزرق = 1/2( ص2 + ص1 )( س1 - س2 ) = 1/2(ص2س1 - ص2س2 + ص1س1 - ص1س2 )
مساحة شبه المنحرف الأحمر = 1/2( ص2 + ص3 )( س2 - س3 ) = 1/2(ص2س2 - ص2س3 + ص3س2 - ص3س3 )
مساحة المثلث = مساحة شبه المنحرف الكبير - مساحة شبه الممنحرف الأحمر - مساحة شبه المنحرف الأزرق
= 1/2(ص3س1 - ص3س3 + ص1س1 - ص1س3 ) - 1/2(ص2س1 - ص2س2 + ص1س1 - ص1س2 ) - 1/2(ص2س2 - ص2س3 + ص3س2 - ص3س3 )
بأخذ 1/2 كعامل مشترك
= 1/2( ص3س1 - ص3س3 + ص1س1 - ص1س3 - ص2س1 + ص2س2 - ص1س1 + ص1س2 - ص2س2 + ص2س3 - ص3س2 + ص3س3 )
= 1/2( ص3س1 - ص1س3 - ص2س1 + ص1س2 + ص2س3 - ص3س2 )
= 1/2[(س1ص2 - س2ص1) + (س2ص3 - س3ص2) + (س3ص1 - س1ص3)] كقيمة مطلقة
و هو المطلوب إثباته
أما بالنسبة لإيجاد مساحة الشكل الرباعي ، فهو إيجادمجموع مساحتي مثلثين مشتركان في ضلع واحد (أو نقطتين)
و عليه فإن مساحة الشكل الرباعي بدلالة احاثيات رؤوسه (س1،ص1)،(س2،ص2)،(س3،ص3)،(س4،ص4) هي
م = 1/2[( س1 - س3 )( ص2 + ص4 ) - ( س2 + س4 )( ص1 - ص3 )] + ( س1ص3 - س3ص1 )
على أن تكون المساحة هي القيمة المطلقة للناتج أعلاه
و سيأتي برهانها في وقت لاحق بإذنه تعالى