مواضيع

61

الدروس والمناهج الدراسية / النقاط الحرجة(الرجوع)

« في: يناير 24, 2003, 12:32:39 صباحاً »

لاحظ : د¯(س) المشتقة الأولى للدالة د(س)
ص// المشتقة الثانية
التفاضـل
القسم العاشر
النهايات الكبرى والصغرى
أولاً : النقطة الحرجة(الرجوع) ونقط الانقلاب على منحنى
    في الشكل الآتي :

يمثل الخط البياني دالة في س حيث تزداد الدالة بزيادة قيمة س في ] أ ، ب [ في حين تنقص الدالة بزيادة قيمة س في ] ب ، د [ وتزداد الدالة بزيادة قيمة س في ] د ، حـ [ وهكذا في حين تكون الدالة مساوية للصفر عند ب ، د ومساوية المالانهاية عند حـ أي عندها الدالة تتوقف عن الزيادة أو النقص وهذه النقط تسمى نقاط حرجة أو نقط رجوع ويجب ملاحظة هنا أن المماس عند أي نقطة قبل في ] ب ، د [ يصنع زاوية حادة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات في حين يكون في ] ب ، د [ المماس يصنع زاوية منفرجة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات ونعلم بأن الميل هو ظل الزاوية ولذا تكون إشارة المشتقة الأولى  موجبة للزاوية الحادة لكون ظلها موجب وسالبة للزاوية المنفرجة لكون الظل سالب كما مبين بالشكل ويستفاد هنا بأن الدالة متزيدة في ] أ ، ب [ و المشتقة موجبة وهذا يعني بأن المشتقة الأولى موجبة فالدالة متزايدة وإن كانت المشتقة سالبة فالدالة تناقصية فإن كانت المشتقة الأولى صفراً فالدالة ثابتة، ومن المعلوم بأن الدالة متزايدة هي تلك الدالة التي تحقق لكل أ >  ب يكون د(أ) >  د(ب) والدالة التناقصية يكون  لكل أ >  ب يكون د(أ) <  د(ب) وهو ما يعرف باطراد الدالة .
تعريف :
    نقطة الرجوع(الحرجة) هي نقطة تفصل بين الجزأين المتزايد والمتناقص من منحنى دالة. ( ص¯ = صفر )
    النهاية الكبرى(العظمى) عند نقطة على منحى عندها المشتقة الأولى صفر وتتغير إشارتها من + (قبلها) إلى – (بعدها) .
    النهاية الصغرى عند نقطة على منحى عندها المشتقة الأولى صفر وتتغير إشارتها من – (قبلها) إلى + (بعدها) .  
نقطة الانقلاب هي نقطة تفصل بين تقوسين في اتجاهين مختلفين مثل نقطة ل ولا تتغير إشارة المشتقة الأولى عندها. (المشتقة الثانية = 0 ) أو هي النقطة التي ينقلب انحناء المنحنى عندها من أعلى لأسفل أو العكس مثل نقطة حـ ، هـ (في الشكل التالي) أو النقطة التي يتغير عندها إشارة المشتقة الثانية من موجب إلى سالب أو العكس وهذا يعني أن المشتقة الثانية عندها تساوي صفر ومجمل القول هنا بأن نقطة الانقلاب لا تعنى المشتقة الثانية عندها تساوي الصفر بل يجب أيضاً تغير إشارة المشتقة الثانية من موجب إلى سالب أو العكستنبيهات :
 -  للحصول على نقط الرجوع نضع المشتقة الأولى = صفر
 - النهاية العظمى لدالة لا تعني بأن قيمتها هي أكبر قيمة.
 - عند اختيار قيمة قبل نقطة الرجوع يجب اختيارها قريباً جداً من نقطة الرجوع قبل أو بعد.
 - عند نقطة الرجوع يقع المنحى في جهة واحدة من المماس عندها.( انظر الشكل )
 - عند نقطة الانقلاب يقع المنحنى في جهتي المماس. ( انظر الشكل )
 - تتغير الدالة من تزايد إلى تناقص أو العكس عند نقط الرجوع.
 - المماسات عن نقط الرجوع أو عند نقط النهايات العظمى والصغرى تكون موازية لمحور السينات .


مثال (1)
    أوجد نقط النهايات العظمى والصغرى ونقط الانقلاب للدالة : د(س) =  س3 – 6 س2 + 9 س – 1
الحـل :
    د¯(س) = 3 س2 – 12 س + 9 باشتقاق د(س)
    صفر =  3 س2 – 12 س + 9  بوضع  د¯(س) = صفر
  صفر =  س2 – 4 س + 3    من القسمة على 3
 صفر = ( س  – 1 )( س – 3 )   بتحليل المقدار الثلاثي
    س = 1  ،    س = 3    ناتج كل قوس بعد مساواته بالصفر وإشارة الدالة بين الجذرين عكس إشارة س2 ونفسها خلاف ذلك .
ص =  د(1) = 3  ،  ص =  د(3) = – 1     من التعويض في الدالة المعطاة
النقطتان ( 1 ، 3 ) ، ( 3 ، – 1 ) حرجتان
عند س = 1
د¯(0.9) = 3 × 0.81 – 12 × 0.9 + 9 = 2.43 – 10.8 + 9 = كمية موجبة
د¯(1.1) = 3 × 1.21 – 12 × 1.1 + 9 = 3.63 – 13.2 + 9 = كمية سالبة
( 1 ، 3 ) نقطة رجوع عظمى
عند س = 3
د¯(2.9) = 3 × 8.41 – 12 × 2.9 + 9 = 25.23 – 34.8 + 9 = كمية سالبة
د¯(3.1) = 3 × 9.61 – 12 × 3.1 + 9 = 28.83 – 37.2 + 9 = كمية موجبة
( 3 ، 1 )  نقطة رجوع صغرى
د2(س) = 6 س – 12  د2(س) تعنى المشتقة الثانية
صفر = 6 س – 12
س = 2
ص = د(2) = 8 – 6 ×  4 +  9 × 2 –  1 = 8 – 24 + 18 – 1 = 1
( 2 ، 1 ) نقطة انقلاب
لاحظ الجدول الآتي والذي يمكن الاستفاده منه للتعرف على إشارة الدالة وهو أفضل من العمليات الحسابية المذكورة في الحل فيكفى القول عظمى كما مبين بالجدول وهو المتعارف عليه.

مثال (2)
الدالة ص = 2 س3 ليس لها نقاط صغرى أو عظمى محلية لأن
ص¯ = 6 س2 هي دالة موجبة دوماً في حين توجد نقطة رجوع
ص¯ = صفر فإن س = صفر إذن ( 0 ، 0 ) نقطة رجوع



المشتقة الأولى تعطي ميل المنحنى عند أي نقطة عليه وهي معدل تغير ص بالنسبة إلى س وعند نقطة الرجوع(نهاية عظمى) تكون مساوية للصفر فتكون موجبة قبلها وسالبة بعدها مع الزيادة في س فإذا بحثنا معدل تغير ص¯ بالنسبة إلى س عند مرورنا بالنهاية العظمى فالنقط قبلها ذات ميل موجب متناقصة للصفر عندها ثم سالبة للنقط التي بعدها أي أن معدل تغير ص¯ سالب أي المشتقة الثانية سالبة وبالمثل عند مرورنا بالنهاية الصغرى نجد المشتقة الثانية موجبة فلذا يكون استخدام المشتقة الثانية للتعرف على النهايات العظمى والصغرى أسهل من استخدام عملية التعويض قبل وبعد النقطة.
مثال :
    أوجد نقط الرجوع (نهاية صغرى أو عظمى) وكذلك نقط الانقلاب للمنحنى ص = س3 – 9 س2 + 15 س + 10
الحل :
    ص¯ = 3 س2 – 18 س  + 15  ........... (1)
 بوضع  ص¯ = صفر
3 س2 – 18 س  + 15 = 0 بالقسمة على 3
 س2 – 6 س + 5 = 0
 ( س – 1)( س –  5) = 0
س = 1  ،  س = 5 عندها نقاط حرجة وبالتعويض في (1)
ص = 17 ،  ص = – 15  
(1 ، 17) ، ( 5 ، – 15 ) النقاط الحرجة
ص// = 6 س – 18
ص// = 0 فإن س = 3 عندها نقطة انقلاب
س = 3 فإن ص = 1
( 3 ، 1 ) نقطة انقلاب
بحث النهايات العظمى والصغرى
عند النقطة (1 ، 17 ) تكون ص// = 6 × 1 – 18 = كمية سالبة ، توجد نهاية عظمى
عند النقطة (5 ، – 15) تكون ص// = 6 × 5 – 18 = كمية موجبة ، توجد نهاية صغرى
مثال آخر :
    أوجد مواضع وقيم النهايات الكبرى والصغرى للدالة ص = 2 حا س + 3 حتا س
الحـل :
    ص¯ = 2 حتا س – 3 حا س
    صفر = 2  حتا س – 3 حا س   بالقسمة على حتا س نحصل على
    طا س = 2 ÷ 3 = 0.6667
    س = ن ط + 33.69  ، ن عدد صحيح
    ص// = – 2 حا س – 3 حتا س
   ص// = – ( 2 حا س + 3 حتا س )
باعتبار ن = 0 أو أي عدد زوجي
عند  س = ن ط + 33.69  تكون  ص// =  كمية سالبة (لاحظ الزاوية تقع في الربع الأول)
للدالة نهايات عظمى لقيم س = ن ط + 33.69 حيث ن عدد صحيح زوجي وقيم كل منها
ص = 2حا(ن ط + 33.69) + 2 حتا(ن ط + 33.69)
ص = 2حا(33.69) + 2 حتا( 33.69)
ص = 3.6
باعتبار ن عدد فردي
عند  س = ن ط + 33.69 تكون
ص// = – ( 2 حا ن ط + 33.69 + 3 حتا ن ط + 33.69 )
ص// = – ( 2 × – 0.555 + 3 × – 0.832) لاحظ الزاوية في الربع الثالث
ص// =  كمية موجبة
للدالة نهايات صغرى عند س = ن ط + 33.69 حيث ن عدد صحيح فردي
وقيم كل منها
ص = 2حا(ن ط + 33.69) + 2 حتا(ن ط + 33.69)
ص = –2 حا 33.69 –  3 حتا 33.69
ص = – 3.6
----------------------------------------------------------
تمرين 1
أوجد النهاية الصغرى للدالة 2 ص =  هـ3س + 5 هـ–3س
تمرين 2
إذا كانت ص = س–1لـوهـس فأثبت أن ص تأخذ قيمة نهاية عظمى عند س = هـ (هـ = 2.718)
----------------------------------------------------------

62

الدروس والمناهج الدراسية / أمثلة على المشتقة

« في: يناير 10, 2003, 09:54:01 مساءاً »

63

الدروس والمناهج الدراسية / مسألة ورأي

« في: يناير 07, 2003, 05:30:51 مساءاً »

الآتي نص لسؤال ورد في أكثر من امتحان لمادة التفاضل:
أوجد معادلة المماس للمنحنى س^2 + ص^2 = 25 عند النقطة(س ، 3 ) الواقعة على المنحنى
من الطبيعي أن نعرف قيمة الاحداث السيني للنقطة وهو +4 أو -4
المطلوب معادلة المماس وهنا يمكن إيجادها بطرق ثلاث
(1) كقانون لمعادلة المماس المرسوم عند نقطة واقعة(س1، ص1) على محيط دائرة هو
    س س1 + ص ص1 + ل(س + س1) + ك(ص + ص1) + حـ =0
    س × 4 + ص × 3 + 0 + 0 - 25 =0  أي 4س + 3 ص - 25= 0
أو   س × -4 + ص × 3 + 0 + 0 - 25 = 0أي - 4س + 3 ص - 25 = 0
(2) بإجاد ميل نق = (3 - 0) + (4 - 0 ) = 3 ÷ 4 ومنها ميل العمودي(المماس) = -4 ÷3 ومنها نوجد معادلة المماس ونكرر نفس الشئ مع -4
(3) نشتق ونحسب الميل ونوجد المعادلة المطلوبة

ثلاث طلاب قاموا بحل المسألة بالطرق الثلاث السابق
الرأي:
   هل من صواب وخطأ ؟
   هل هناك حل أمثل ؟

64

الدروس والمناهج الدراسية / aامتحان البحرين

« في: يناير 07, 2003, 04:28:52 مساءاً »

65

الدروس والمناهج الدراسية / امتحان البحرين صباح اليوم 31/12/2002

« في: يناير 01, 2003, 12:09:18 صباحاً »

امتحان التفاضل أو ما يعرف بـ ريض216 الذي جرى صباح اليوم والمسائل الواردة فيه ، ولمن يجد صعوبة فيه يمكن شرح الحل
الامتحان في صفحتين فالصفحة الأولى تضم المسائل الأربع الأولى

66

الرياضيات العامة اللامنهجية / مسألة تجمع الهندسة والمثلثات

« في: ديسمبر 27, 2002, 05:46:46 مساءاً »

أ ب حـ مثلث قائم في ب أضلاعه الثلاثة أطوالها في تتابع هندسي والمطلوب قيمة حا أ

67

الدروس والمناهج الدراسية / اشتقاق الدوال غير الجبرية

« في: ديسمبر 27, 2002, 01:08:40 صباحاً »

حان تعني حا^ن  ، حا^2 س تعني مربع حا س
التفاضـل
القسم التاسع
 المشتقة الأولى للدوال غير الجبرية
أولاً : حاس
رسم منحنى الدالة مبين بالشكل حيث – 1 <= حا س <= 1

    د(س) = حا س .............. (1)
    د(س + هـ) = حا( س + هـ )  ........... (2) بإحداث تغير صغير جداً قدره هـ
وبالطرح (1) ، (2)
    ت(هـ) = حا( س + هـ) – حا س  حيث ت(هـ) = د(س + هـ) – د(س) وبتطبيق قوانين حساب المثلثات نحصل على
    ت(هـ) = [حا( س + هـ) – حا س]    
    ت(هـ) = 2 حتا½(س + هـ + س) حا½(س + هـ –س)
    ت(هـ) = 2 حتا½(2س + هـ) حا½(هـ) وبالقسمة على هـ نحصل على م(هـ) وهو متوسط معدل التغير
    م(هـ) = [2 حتا½(2س + هـ) حا½(هـ)] ÷ هـ= حتا½(2س + هـ) × [حا½(هـ) ÷ ½هـ] وبأخذ النهاية عندما هـ تؤول للصفر
    م(هـ) =  حتا½×2س × 1 لأن نهاية [حا½(هـ) ÷ ½هـ] = 1 عندما ½هـ تؤول للصفر
    د¯(س) = حتاس

    نتيجة :  د(س) = حا[ق(س)] فإن : د¯(س) = حتا[ق(س)] × ق¯(س)
 
   نتيجة :  د(س) = حان[ق(س)] فإن : د¯(س) = ن [حان – 1ق(س)] × حتاق(س) × ق¯(س)

مثال(1) :
    أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = س2 حا س
الحــل :
    مشتقة حاصل ضرب دالتين (س2 ، حاس) = الدالة الأولى × مشتقة الدالة الثانية + مشتقة الدالة الأولى × الدالة الثانية
    ص¯ = س2حتاس + 2 س حا س

مثال(2) :
    إذا كانت د(س) = حا( 2 س + 3 ) فأوجد د¯(س) عند س = 43.5
الحــل :
    د¯(س) = حتا(2 س + 3) × 2    مشتقة الدالة الدائرية × مشتقة الزاوية
    د¯(س) = 2 حتا(2 س + 3)    عند أي قيمة للمتغير س
    د¯(43.5) = 2حتا( 2 × 43.5 + 3) = 2 حتا90 = 2 × 0 = 0

مثال(3) :
    أوجد المشتقة الأولى للدالة ق(س) = 3 حا3(2 س2 + 3س +1)
الحـل :
ق¯(س) = 3 × 3[حا2(2 س2 + 3س +1)] × [حتا(2 س2 + 3س +1)] × ( 4 س + 3)
ق¯(س) = 9(4 س + 3)حا2(2 س2 + 3س +1)حتا(2 س2 + 3س +1)

مثال(4) :
    أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = حا2س حتا2س
الحـل :
    يمكن حل المسألة على أساس حاصل ضرب دالتين ولكن لدينا قانون حا2س = 2 حاس حتاس وهذا يقودنا لجعل المسألة في جيب الزاوية
    ص = 4 حا2س حتا2س ÷ 4
    ص =  ¼ حا2(2س)
    ص¯ = ¼ × 2 حا2س × حتا2س × 2
    ص¯ = حا2س × حتا2س
    ص¯ = ½ حا4س

ثانياً : حتاس
رسم منحنى الدالة مبين بالشكل حيث – 1 <= حتا س <= 1

    د(س) = حتا س .............. (1)
    د(س + هـ) = حتا( س + هـ )  ........... (2) بإحداث تغير صغير جداً قدره هـ
وبالطرح (1) ، (2)
    ت(هـ) = حتا( س + هـ) – حتا س  حيث ت(هـ) = د(س + هـ) – د(س) التغير في الدالة
 وبتطبيق قوانين حساب المثلثات نحصل على
    ت(هـ) = [حتا( س + هـ) – حتا س]  
    ت(هـ) = –2 حا½(س + هـ + س) حا½(س + هـ –س)
    ت(هـ) = –2 حا½(2س + هـ) حا½(هـ) وبالقسمة على هـ نحصل على م(هـ) وهو متوسط معدل التغير
    م(هـ) = [–2 حا½(2س + هـ) حا½(هـ)] ÷ هـ= – حا½(2س + هـ) × [حا½(هـ) ÷ ½هـ] وبأخذ النهاية عندما هـ تؤول للصفر
    م(هـ) = – حا½×2س × 1 لأن نهاية [حا½(هـ) ÷ ½هـ] = 1 عندما ½هـ تؤول للصفر
    د¯(س) = – حاس  
    نتيجة :  د(س) = حتا[ق(س)] فإن : د¯(س) = – حا[ق(س)] × ق¯(س)
   نتيجة :  د(س) = حتان[ق(س)] فإن : د¯(س) = ن [حتان – 1ق(س)] × – حاق(س) × ق¯(س) وهذا ينطبق على باقي الدوال الدائرية

مثال(1) :
    إذا كانت س حا ص + ص حتا س = 0 فأوجد ص¯
الحـل :
    بإجراء الاشتقاق لحاصل ضرب دالتين على حديّ المعادلة
    س حتا ص × ص¯ + 1× حا ص + ص × – حاس + ص¯ حتا س =0
    ص¯( س حتا ص + حتا س) – ( ص حا س – حا ص ) = 0
    ص¯ = ( ص حا س – حا ص ) ÷ ( س حتا ص + حتا س)

مثال(2) :
    إذا كانت د(س) = 2 حتا2س – 1 فأوجد د¯(45)
الحـل :
     د¯(س) = 2 × 2 حتا س × (– حا س)
     د¯(س) = –4 حتا س حا س    يمكن وضعها بالصورة
     د¯(س) = –2 حا2س   حيث حا 2س = 2 حاس حتاس
    د¯(45) = –2 حا2×45
    د¯(45) = –2 حا90
    د¯(45) = –2 × 1
    د¯(45) = –2    
حـل آخر
    د(س) = حتا2س    لأن حتا2س = حتا2س – حا2س = 2 حتا2س – 1 = 1 – 2 حا2س
    د¯(س) = – حا2س × 2
    د¯(س) = –2 حا2س
    د¯(45) = –2 حا90 = – 2 × 1 = – 2
 
ثالثاً : طا س
    د(س) = طا س    يمكن البرهنة بنفس الطريقة السابقة ولكن سنستخدم الطريقة التاللية
     د(س) = حا س ÷ حتا س بالاشتقاق كقسمة دالتين
    د¯(س) = [ حتا س × حتا س – حا س × – حا س ] ÷ حتا2س
    د¯(س) = [ حتا2س +  حا2س ] ÷ حتا2س
    د¯(س) = 1÷ حتا2س
    د¯(س) = قا2س
    نتيجة :  د(س) = طا[ق(س)] فإن : د¯(س) = قا2[ق(س)] × ق¯(س)

رابعاً : طتا س
    هنا يمكن استخدام الطريقة العادية باستخدام المبادئ الأولية أو طتاس = حتاس ÷ حاس أو طتاس = طا(½ ط – س) أو طتاس = 1 ÷ طاس
    د(س) = طتا س
    د(س) = طا(½ ط – س)
    د¯(س) = قا2(½ ط – س) × – 1
    د¯(س) = – قتا2س

خامساً : قا س
    د(س) = قا س
    د(س) = 1 ÷ حتا س
    د¯(س) = [ حتا س × 0 – 1 × – حا س ] ÷ حتا2س
    د¯(س) = حا س ÷ حتا س جتا س
    د¯(س) = قا س طا س

سادساً : قتا س
    د(س) = قتا س
    د(س) = 1 ÷ حا س    
    د¯(س) = [ حا س × 0 – 1 × حتا س ] ÷ حا2س
    د¯(س) = – حتا س ÷ حا س جا س
    د¯(س) = – قتا س طتا س
 أو
   د(س) = قتا س
    د(س) = 1 ÷ حاس = حا-1س
    د¯(س) = – حا-2س × حتا س
    د¯(س) = – حتا س ÷ حا س جا س
    د¯(س) = – قتا س طتا س

أمثلــة :
1) أوجد المشتقة الأولى للدالة د(س) =  قا3س½  بالنسبة إلى س ثم احسب قيمة المشتقة عند س = صفر
الحــل :
    د¯(س) = 3 قا2س½  × قا س½ طا س½ × ½ س–½
    د¯(س) = 1.5س–½  قا3س½ طا س½
    د¯(س) = 1.5س–½  قا3س½ طا س½  
    د¯(0) = صفر

2) أوجد ص¯ لكل من المعادلات الآتية :
    أ) س ص – س قا ص – ص طا س – 16 = 0
    ب) س2 حا ص – ص2 حا س – 8 = 0
الحـل :
    أ) س ص¯ + 1 × ص – ( س قا ص طا ص × ص¯ + 1 × قا ص ) – ( ص قا2س + ص¯ طا س) – صفر = 0
       س ص¯ +  ص – س ص¯ قا ص طا ص –  قا ص  – ص قا2س – ص¯ طا س = 0
       س ص¯ – ص¯ طا س – س ص¯ قا ص طا ص +  ص  –  قا ص  – ص قا2س  = 0
       ص¯ ( س  –  طا س – س قا ص طا ص ) =  قا ص + ص قا2س –  ص
       ص¯ =  ( قا ص + ص قا2س –  ص ) ÷ ( س  –  طا س – س قا ص طا ص )

    ب) (س2حتاص × ص¯ + 2 س حاص ) – ( ص2حتا س + 2 ص ص¯ حا س ) – صفر = 0
         س2حتاص × ص¯ + 2 س حاص – ص2حتا س –2 ص ص¯ حا س = 0                    
         س2حتاص × ص¯ –2 ص ص¯ حا س + 2 س حاص – ص2حتا س = 0                    
        ص¯( س2حتاص –2 ص  حا س ) + 2 س حاص – ص2حتا س = 0                    
        ص¯( س2حتاص –2 ص  حا س ) =  ص2حتا س –  2 س حاص                    
        ص¯ = ( ص2حتا س –  2 س حاص ) ÷ ( س2حتاص –2 ص  حا س )


=============================
    بالنسبة للدوال الدائرية العكسية الستة حا–1س، حتا–1س، طا–1س، طتا–1س، قا–1س، قتا–1س سيكون اشتقاق أي منها بعد وضعها في صورة جديدة ولنأخذ دالة الجيب كمثال حيث سنكتبها بالصورة س = حا ص ومن ثم نشتق بالنسبة إلى ص وبعد ذلك نوجد المشتقة المطلوبة، هذا ويجب أن نهتم بقوانين حساب المثلثات ومن أهمها
 حا^2 س + حتا^2 س = 1   ومنها     حا^2 س = 1 –  حتا^2 س    ،     حتا^2 س  = 1 – حا^2 س
 قا^2 س –  طا^2 س = 1     ومنها      قا^2 س = 1 +  طا^2 س     ،     طا^2 س = قا^2 س – 1
 قتا^2 س –  طتا^2 س = 1     ومنها      قتا^2 س = 1 +  طتا^2 س ،     طتا^2 س = قتا^2 س – 1

سابعاً : حا–1س ، حتا–1س
    من منحنى الدالة نجدها متعددة القيم فإذا أعطينا للمتغير س قيمة مثل 0.5 فالدالة تأخذ قيماً متعددة مناظرة والمستقيم س = 0.5 يقطع المنحنى في عدة نقط كما هو مبين بالرسم ، ولإيجاد المشتقة نقول :

    بنفس الطريقة يمكن استنتاج اشتقاق الدوال الأخرى

الدالة الأسية  هـ^س
        من المعلوم أن هـس = 1 + س + س2÷ 1×2 + س3÷ 1×2×3 + س4÷ 1×2×3×4 + ... مالانهاية
وعلى فرض أن هذه المتسلسلة متقاربة وهو صحيح فبالاشتقاق نحصل على الدالة نفسها حيث يكون
    (هـ^س )¯ = 0 + 1+ 2س ÷ 1×2 + 3س2÷ 1×2×3 + 4س3÷ 1×2×3×4 + ... مالانهاية
   (هـ^س )¯ = 1+ 2س ÷ 1×2 + 3س2÷ 1×2×3 + 4س3÷ 1×2×3×4 + ... مالانهاية
  (هـ^س )¯ = هـ^س  أي مشتقتها نفس الدالة وهي خاصية تمتاز بها هذه الدالة وتمتاز بخاصية أخرى طول تحت المماس عند أي نقطة = 1 دوماً ويتضح ذلك من الرسم المرفق حيث أن

ص = هـ^س
ص¯ = هـ^س  وهو ميل المماس
أي ميل المماس = ص
ولكن الميل هو ظل الزاوية أي طا د ب حـ = ص
لكن طا د ب حـ = د حـ ÷ ب حـ = ص ÷ ب حـ
أي ص = ص ÷ ب حـ
ب حـ = 1
طول تحت المماس = 1 مهما كان موضع النقطة د

الدالة الأسية  ب^س


يتنبع أمثلـة وتمارين :

68

الدروس والمناهج الدراسية / اشتقاق الدوال غير الجبرية

« في: ديسمبر 27, 2002, 01:08:40 صباحاً »

حان تعني حا^ن  ، حا^2 س تعني مربع حا س
التفاضـل
القسم التاسع
 المشتقة الأولى للدوال غير الجبرية
أولاً : حاس
رسم منحنى الدالة مبين بالشكل حيث – 1 <= حا س <= 1

    د(س) = حا س .............. (1)
    د(س + هـ) = حا( س + هـ )  ........... (2) بإحداث تغير صغير جداً قدره هـ
وبالطرح (1) ، (2)
    ت(هـ) = حا( س + هـ) – حا س  حيث ت(هـ) = د(س + هـ) – د(س) وبتطبيق قوانين حساب المثلثات نحصل على
    ت(هـ) = [حا( س + هـ) – حا س]    
    ت(هـ) = 2 حتا½(س + هـ + س) حا½(س + هـ –س)
    ت(هـ) = 2 حتا½(2س + هـ) حا½(هـ) وبالقسمة على هـ نحصل على م(هـ) وهو متوسط معدل التغير
    م(هـ) = [2 حتا½(2س + هـ) حا½(هـ)] ÷ هـ= حتا½(2س + هـ) × [حا½(هـ) ÷ ½هـ] وبأخذ النهاية عندما هـ تؤول للصفر
    م(هـ) =  حتا½×2س × 1 لأن نهاية [حا½(هـ) ÷ ½هـ] = 1 عندما ½هـ تؤول للصفر
    د¯(س) = حتاس

    نتيجة :  د(س) = حا[ق(س)] فإن : د¯(س) = حتا[ق(س)] × ق¯(س)
 
   نتيجة :  د(س) = حان[ق(س)] فإن : د¯(س) = ن [حان – 1ق(س)] × حتاق(س) × ق¯(س)

مثال(1) :
    أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = س2 حا س
الحــل :
    مشتقة حاصل ضرب دالتين (س2 ، حاس) = الدالة الأولى × مشتقة الدالة الثانية + مشتقة الدالة الأولى × الدالة الثانية
    ص¯ = س2حتاس + 2 س حا س

مثال(2) :
    إذا كانت د(س) = حا( 2 س + 3 ) فأوجد د¯(س) عند س = 43.5
الحــل :
    د¯(س) = حتا(2 س + 3) × 2    مشتقة الدالة الدائرية × مشتقة الزاوية
    د¯(س) = 2 حتا(2 س + 3)    عند أي قيمة للمتغير س
    د¯(43.5) = 2حتا( 2 × 43.5 + 3) = 2 حتا90 = 2 × 0 = 0

مثال(3) :
    أوجد المشتقة الأولى للدالة ق(س) = 3 حا3(2 س2 + 3س +1)
الحـل :
ق¯(س) = 3 × 3[حا2(2 س2 + 3س +1)] × [حتا(2 س2 + 3س +1)] × ( 4 س + 3)
ق¯(س) = 9(4 س + 3)حا2(2 س2 + 3س +1)حتا(2 س2 + 3س +1)

مثال(4) :
    أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = حا2س حتا2س
الحـل :
    يمكن حل المسألة على أساس حاصل ضرب دالتين ولكن لدينا قانون حا2س = 2 حاس حتاس وهذا يقودنا لجعل المسألة في جيب الزاوية
    ص = 4 حا2س حتا2س ÷ 4
    ص =  ¼ حا2(2س)
    ص¯ = ¼ × 2 حا2س × حتا2س × 2
    ص¯ = حا2س × حتا2س
    ص¯ = ½ حا4س

ثانياً : حتاس
رسم منحنى الدالة مبين بالشكل حيث – 1 <= حتا س <= 1

    د(س) = حتا س .............. (1)
    د(س + هـ) = حتا( س + هـ )  ........... (2) بإحداث تغير صغير جداً قدره هـ
وبالطرح (1) ، (2)
    ت(هـ) = حتا( س + هـ) – حتا س  حيث ت(هـ) = د(س + هـ) – د(س) التغير في الدالة
 وبتطبيق قوانين حساب المثلثات نحصل على
    ت(هـ) = [حتا( س + هـ) – حتا س]  
    ت(هـ) = –2 حا½(س + هـ + س) حا½(س + هـ –س)
    ت(هـ) = –2 حا½(2س + هـ) حا½(هـ) وبالقسمة على هـ نحصل على م(هـ) وهو متوسط معدل التغير
    م(هـ) = [–2 حا½(2س + هـ) حا½(هـ)] ÷ هـ= – حا½(2س + هـ) × [حا½(هـ) ÷ ½هـ] وبأخذ النهاية عندما هـ تؤول للصفر
    م(هـ) = – حا½×2س × 1 لأن نهاية [حا½(هـ) ÷ ½هـ] = 1 عندما ½هـ تؤول للصفر
    د¯(س) = – حاس  
    نتيجة :  د(س) = حتا[ق(س)] فإن : د¯(س) = – حا[ق(س)] × ق¯(س)
   نتيجة :  د(س) = حتان[ق(س)] فإن : د¯(س) = ن [حتان – 1ق(س)] × – حاق(س) × ق¯(س) وهذا ينطبق على باقي الدوال الدائرية

مثال(1) :
    إذا كانت س حا ص + ص حتا س = 0 فأوجد ص¯
الحـل :
    بإجراء الاشتقاق لحاصل ضرب دالتين على حديّ المعادلة
    س حتا ص × ص¯ + 1× حا ص + ص × – حاس + ص¯ حتا س =0
    ص¯( س حتا ص + حتا س) – ( ص حا س – حا ص ) = 0
    ص¯ = ( ص حا س – حا ص ) ÷ ( س حتا ص + حتا س)

مثال(2) :
    إذا كانت د(س) = 2 حتا2س – 1 فأوجد د¯(45)
الحـل :
     د¯(س) = 2 × 2 حتا س × (– حا س)
     د¯(س) = –4 حتا س حا س    يمكن وضعها بالصورة
     د¯(س) = –2 حا2س   حيث حا 2س = 2 حاس حتاس
    د¯(45) = –2 حا2×45
    د¯(45) = –2 حا90
    د¯(45) = –2 × 1
    د¯(45) = –2    
حـل آخر
    د(س) = حتا2س    لأن حتا2س = حتا2س – حا2س = 2 حتا2س – 1 = 1 – 2 حا2س
    د¯(س) = – حا2س × 2
    د¯(س) = –2 حا2س
    د¯(45) = –2 حا90 = – 2 × 1 = – 2
 
ثالثاً : طا س
    د(س) = طا س    يمكن البرهنة بنفس الطريقة السابقة ولكن سنستخدم الطريقة التاللية
     د(س) = حا س ÷ حتا س بالاشتقاق كقسمة دالتين
    د¯(س) = [ حتا س × حتا س – حا س × – حا س ] ÷ حتا2س
    د¯(س) = [ حتا2س +  حا2س ] ÷ حتا2س
    د¯(س) = 1÷ حتا2س
    د¯(س) = قا2س
    نتيجة :  د(س) = طا[ق(س)] فإن : د¯(س) = قا2[ق(س)] × ق¯(س)

رابعاً : طتا س
    هنا يمكن استخدام الطريقة العادية باستخدام المبادئ الأولية أو طتاس = حتاس ÷ حاس أو طتاس = طا(½ ط – س) أو طتاس = 1 ÷ طاس
    د(س) = طتا س
    د(س) = طا(½ ط – س)
    د¯(س) = قا2(½ ط – س) × – 1
    د¯(س) = – قتا2س

خامساً : قا س
    د(س) = قا س
    د(س) = 1 ÷ حتا س
    د¯(س) = [ حتا س × 0 – 1 × – حا س ] ÷ حتا2س
    د¯(س) = حا س ÷ حتا س جتا س
    د¯(س) = قا س طا س

سادساً : قتا س
    د(س) = قتا س
    د(س) = 1 ÷ حا س    
    د¯(س) = [ حا س × 0 – 1 × حتا س ] ÷ حا2س
    د¯(س) = – حتا س ÷ حا س جا س
    د¯(س) = – قتا س طتا س
 أو
   د(س) = قتا س
    د(س) = 1 ÷ حاس = حا-1س
    د¯(س) = – حا-2س × حتا س
    د¯(س) = – حتا س ÷ حا س جا س
    د¯(س) = – قتا س طتا س

أمثلــة :
1) أوجد المشتقة الأولى للدالة د(س) =  قا3س½  بالنسبة إلى س ثم احسب قيمة المشتقة عند س = صفر
الحــل :
    د¯(س) = 3 قا2س½  × قا س½ طا س½ × ½ س–½
    د¯(س) = 1.5س–½  قا3س½ طا س½
    د¯(س) = 1.5س–½  قا3س½ طا س½  
    د¯(0) = صفر

2) أوجد ص¯ لكل من المعادلات الآتية :
    أ) س ص – س قا ص – ص طا س – 16 = 0
    ب) س2 حا ص – ص2 حا س – 8 = 0
الحـل :
    أ) س ص¯ + 1 × ص – ( س قا ص طا ص × ص¯ + 1 × قا ص ) – ( ص قا2س + ص¯ طا س) – صفر = 0
       س ص¯ +  ص – س ص¯ قا ص طا ص –  قا ص  – ص قا2س – ص¯ طا س = 0
       س ص¯ – ص¯ طا س – س ص¯ قا ص طا ص +  ص  –  قا ص  – ص قا2س  = 0
       ص¯ ( س  –  طا س – س قا ص طا ص ) =  قا ص + ص قا2س –  ص
       ص¯ =  ( قا ص + ص قا2س –  ص ) ÷ ( س  –  طا س – س قا ص طا ص )

    ب) (س2حتاص × ص¯ + 2 س حاص ) – ( ص2حتا س + 2 ص ص¯ حا س ) – صفر = 0
         س2حتاص × ص¯ + 2 س حاص – ص2حتا س –2 ص ص¯ حا س = 0                    
         س2حتاص × ص¯ –2 ص ص¯ حا س + 2 س حاص – ص2حتا س = 0                    
        ص¯( س2حتاص –2 ص  حا س ) + 2 س حاص – ص2حتا س = 0                    
        ص¯( س2حتاص –2 ص  حا س ) =  ص2حتا س –  2 س حاص                    
        ص¯ = ( ص2حتا س –  2 س حاص ) ÷ ( س2حتاص –2 ص  حا س )


=============================
    بالنسبة للدوال الدائرية العكسية الستة حا–1س، حتا–1س، طا–1س، طتا–1س، قا–1س، قتا–1س سيكون اشتقاق أي منها بعد وضعها في صورة جديدة ولنأخذ دالة الجيب كمثال حيث سنكتبها بالصورة س = حا ص ومن ثم نشتق بالنسبة إلى ص وبعد ذلك نوجد المشتقة المطلوبة، هذا ويجب أن نهتم بقوانين حساب المثلثات ومن أهمها
 حا^2 س + حتا^2 س = 1   ومنها     حا^2 س = 1 –  حتا^2 س    ،     حتا^2 س  = 1 – حا^2 س
 قا^2 س –  طا^2 س = 1     ومنها      قا^2 س = 1 +  طا^2 س     ،     طا^2 س = قا^2 س – 1
 قتا^2 س –  طتا^2 س = 1     ومنها      قتا^2 س = 1 +  طتا^2 س ،     طتا^2 س = قتا^2 س – 1

سابعاً : حا–1س ، حتا–1س
    من منحنى الدالة نجدها متعددة القيم فإذا أعطينا للمتغير س قيمة مثل 0.5 فالدالة تأخذ قيماً متعددة مناظرة والمستقيم س = 0.5 يقطع المنحنى في عدة نقط كما هو مبين بالرسم ، ولإيجاد المشتقة نقول :

    بنفس الطريقة يمكن استنتاج اشتقاق الدوال الأخرى

الدالة الأسية  هـ^س
        من المعلوم أن هـس = 1 + س + س2÷ 1×2 + س3÷ 1×2×3 + س4÷ 1×2×3×4 + ... مالانهاية
وعلى فرض أن هذه المتسلسلة متقاربة وهو صحيح فبالاشتقاق نحصل على الدالة نفسها حيث يكون
    (هـ^س )¯ = 0 + 1+ 2س ÷ 1×2 + 3س2÷ 1×2×3 + 4س3÷ 1×2×3×4 + ... مالانهاية
   (هـ^س )¯ = 1+ 2س ÷ 1×2 + 3س2÷ 1×2×3 + 4س3÷ 1×2×3×4 + ... مالانهاية
  (هـ^س )¯ = هـ^س  أي مشتقتها نفس الدالة وهي خاصية تمتاز بها هذه الدالة وتمتاز بخاصية أخرى طول تحت المماس عند أي نقطة = 1 دوماً ويتضح ذلك من الرسم المرفق حيث أن

ص = هـ^س
ص¯ = هـ^س  وهو ميل المماس
أي ميل المماس = ص
ولكن الميل هو ظل الزاوية أي طا د ب حـ = ص
لكن طا د ب حـ = د حـ ÷ ب حـ = ص ÷ ب حـ
أي ص = ص ÷ ب حـ
ب حـ = 1
طول تحت المماس = 1 مهما كان موضع النقطة د

الدالة الأسية  ب^س


يتنبع أمثلـة وتمارين :

69

الرياضيات العامة اللامنهجية / الجديد في عالم الرياضيات

« في: ديسمبر 20, 2002, 11:07:09 مساءاً »

برنامج رياضيات ممتاز لكثرة الطلبات على الرموز والرسم وغير ذلك بل حل المسائل وهو جيد للطالب قبل المدرس وقمت بتجربته وهو لمدة 30 يوم وفي ظني غير كامل 100% فاستخدم
الرابط
http://www.derive.com
اختار dwonload ثم
Download Derive™ 5.06 Trial Edition
للتنزيل ثم التركيب
ستجد في هذا البرنامج كل ما تريده في علوم الرياضيات إلى حد كبير وهو دقيق في الرسم ويمكن استخدام اللغة العربية والرسم التالي ولأول مرة استخدمه كرسم للقطع الزائد فيه مع إضافة عربية

70

الرياضيات والتربية / أعزائنا الطلبة

« في: ديسمبر 19, 2002, 09:12:47 مساءاً »

&&&&&&&&&&&&&&& بسم الله الرحمن الرحيم &&&&&&&&&&&&&&&&&&
   يراود الكثير من طلبة العلم بأنَّ الأستاذ في المدرسة أو الجامعة له القدرة على حل المسألة بسرعة متناهية، نعم هذا صحيح إذا كان في مجال اختصاصه المباشر أو بدافع قوة خفيه يمنحها له الخالق العليم الحكيم أسميها الموهبة الإيمانية وهذا يقع كثيراً لأن الله رب السماوات والأرض يكون سنداً لعبده وخاصة عندما تكون المواجهة مع من هو ضده في الإيمان، ولكن واقعنا اليوم كمدرسين نقع في مجال اختصاصنا ففي الرياضيات الإنسان يتمتع عند وصوله لحل مسألة وخاصة إذا كانت عاجلة ووضعها في قالب جيد
   من أجل ذلك لا يعتقد طلبتنا بأننا قادرين على حل كل ما يعرض علينا مباشرة فأنا كمدرس سابق للرياضيات ومن خلال تدريسي أكثر من 30 سنة ضمن المرحلة الثانوية فقد فقدت كمية لا بأس بها من المعلومات الجامعية لولا بعض المسائل التي تعرض هنا أو تردني عبر البريد وهذه تعتمد على الحل المباشر أو الرجوع للمراجع وفي كلا الحالتين أكون استفدت أكثر من السائل في حين عملي في الحاسب الآلي وهو عملي لا مجال هنا للحل بل للوصول للعمل الناجح فالحاسب لا يعمل فأنت بحاجة لمعرفة السبب والبحث للوصول للحل وهذا ما أردت أن يقوم به الطالب هو البحث للوصول للحل وللآسف معظم طلابنا يلجأن لجهة أخرى غير البحث للوصول على الحل
   يجب على الطالب أن يتفهم تماماً الموضوع محل الدراسة من كل جوانبه في صورته النظرية فقد يقع في العديد من المسائل في نطاق الموضوع وع ذلك يجدها غريبة تماماً عنه ويستطيع الأستاذ أو الممتحن وضع العشرات من المسائل في الموضوع ذاته وبأفكار مختلفة يكون فهم النص أفضل طريقة للوصول للحل

نسأل الله التوفيق للجميع ولا نريد أحد أن يتضايق من عدم الرد أو التأخر في الرد فنحن لا نعرف كل شيء وبمقدور الطلبة أن يساعدونا في ذلك لنقدم لهم ما يريدون بفضل الله العلي العظيم فالأيمان به بصورة عالية جداً يسهل الكثير من الأمور

71

الدروس والمناهج الدراسية / المعدلات الزمنية المرتبطة

« في: ديسمبر 12, 2002, 10:48:26 مساءاً »

تذكر أن ¯ هو رمز المشتقة
التفاضـل
القسم الثامن
المعدلات الزمنية المرتبطة
    في المسائل العملية تكون المتغيرات متوقفة في تغيرها على الزمن كتمدد فقاعة كروية محتفظ بانتظام بشكلها فكلاً من نصف قطرها نق وحجمها ح يتوقف ازدياده على ازدياد الزمن طالما العلاقة بين ح ، نق  ثابتة فإجراء عملية التفاضل بالنسبة للزمن على هذه العلاقة(ح، نق) فتنتج معادلة تربط المعدلين الزمنيين لهاتين الكميتين(ح ، نق) والأمثلة التالية توضح هذا.

مثال(1)
    يضغط غاز داخل بالون كروي بمعدل 1540 سم3 / ث أوجد معدل الزيادة في كل من نصف القطر ، مساحة السطح الكروي للبالون في اللحظة التي يكون فيها نصف القطر 7 سم ( ط = 22 ÷ 7 ، حجم الكرة = (4 /3) ط نق3 )
الحــل :
    ح = (4 /3) ط نق3   ( حجم الكرة )
    ح¯ = 4 ط نق2 نق¯  حيث ح¯  مشتقة ح بالنسبة للزمن أو معدل التغير في الحجم ، نق¯ معدل التغير في نصف القطر(مشتقة نق بالنسبة للزمن)
   1540 = 4 × (22 ÷7) × 7 × 7 نق¯
    نق¯  = 2.5 سم / ث  وهو معدل تغير نق أو السرعة إن شئت
    م = 4 ط نق2 ( مساحة سطح الكرة )
    م¯ = 4 ط × 2 نق نق¯        م¯  هي معدل الزيادة في المساحة عند أي لحظة
    م¯ = 4 × (22 ÷ 7) × 2 × 7 × 2.5    م¯  هي معدل الزيادة في المساحة عندما نق = 7 سم
    م¯ = 440 سم2 / ث

مثال(2)
     ضلع مربع يزداد بانتظام بمعدل 0.1 سم في الثانية فبأي معدل تزداد المساحة عندما يكون طول ضلع المربع 10 سم
الحـل :
    م = ل2    حيث م مساحة المربع الذي طول ضلعه ل وكلاهما متغير
    م¯ = 2 ل ل¯   ل¯ معدل التغير في نصف القطر ، م¯ معدل التغير في المساحة(عند أي لحظة)
    م¯ = 2 × 10 × 0.1    م¯ معدل التغير في المساحة(عند ل = 10 سم )
    م¯ = 2 سم2 / ث

مثال(3)
     جسم مكون من اسطوانة دائرية قائمة يعلوها نصف كرة ، وكان نصف قطر قاعدتيهما المشتركة يزداد بمعدل 0.6 سم / ث وارتفاع الاسطوانة يزداد بمعدل 0.9 سم / ث فأوجد معدل زيادة حجم الجسم عندما يكون نصف القطر يساوي 15 سم وارتفاع الاسطوانة 30 سم. ( حجم الاسطوانة =ط نق2ع)
الحـل :

    بفرض ارتفاع الاسطوانة ع ونصف القطر نق عند أي لحظة
    ح = ط نق2ع + (2 ÷3) ط نق3   ح حجم الجسم = ح للاسطوانة + ح لنصف الكرة
    ح¯ = ط ( 2 نق نق¯ ع + نق2 ع¯ ) + 2 ط نق2 نق¯    لاحظ طبقنا اشتقاق حاصل صرب دالتين في نق2ع
    ح¯ = ط ( 2 × 15 × 0.6 × 30 + 225 × 0.9 ) + 2 ط × 225 × 0.6
    ح¯ = ط ( 2 × 15 × 0.6 × 30 + 225 × 0.9 + 2 × 225 × 0.6)
    ح¯ = 1012.5 ط     وبفرض ط = 3.14 يكون
    ح¯ =  3179.25

مثال(4)
    سفينتان تبدآن بالسير من نقطة واحدة فالأولى تبدأ في الساعة العاشرة صباحاً متجهة نحو الشرق بمعدل 12 كم / ساعة والثانية تبدأ في الساعة الحادية عشرة صباحاً متجهة نحو الجنوب بمعدل 18 كم / ساعة فبأي معدل تبتعدان إحداها عن الأخرى عند الساعة 12 ظهراً ؟
الحـل :
    يجب أن نعرف أن اللفظ بمعدل 9 أي السرعة 9        
    الشكل يوضح نص المسألة

    عند اللحظة ن يكون ب موضع السفينة الأولى على بعد س من و نقطة الابتداء والسفينة الثانية تكون عند حـ على بعد ص من و نقطة الابتداء ونفرض البعد بين السفينتين ب حـ = ع
نحسب البعد ع (ب حـ) حيث المسافة = ع × ن
السفينة الأولى عند الساعة 12 قطعت مسافة س = 12 × 2 = 24 كم
السفينة الثانية عند الساعة 12 قطعت مسافة ص = 18 × 1= 18 كم
وبناء على نظرية فيثاغورث
        ع2 =  س2 +  ص2 .................... (1)
        ع2 =  576 + 324 = 900
        ع = 30 كم
    باشتقاق المعادلة (1)
    2 ع ع¯ = 2 س س¯ + 2 ص ص¯
       ع ع¯ =  س س¯ +  ص ص¯
     30 ع¯ = 24 × 12 + 18 × 18
     30 ع¯ = 492
          ع¯ = 16.4 كم / ساعة عند الساعة 12 ظهراً
=========
مثال(5)

    تتحرك نقطة على المنحنى س2 + ص2 -4 س -6 ص -7 = 0 وعندما كانت فوق النقطة ( -2 ، 5 ) كانت سرعتها في اتجاه محور السينات( أي س¯ ) تساوي -2 احسب سرعتها عندئذٍ في اتجاه محور الصادات( أي ص¯ ).

الحـل :

    س2 + ص2 - 4 س -6 ص -7 = 0 بالاشتقاق بالنسبة للزمن

    2 س س¯ + 2 ص ص¯ -4 س¯ -6 ص¯ = 0 بالتعويض عن س ، ص ، س¯

    2 × -2 × -2  + 2 × 5 ص¯ -4 × -2  - 6 ص¯ = 0

    8 + 10 ص¯ + 8 - 6 ص¯ = 0

    16 + 4 ص¯ = 0  بالقسمة على 4

    4 + ص¯ = 0

    ص¯ = -4     وهي السرعة المطلوبة في الاتجاه السالب لمحور الصادات

------------------------------------------------------------

مثال(6)

    مكعب من الثلج بدأ في الذوبان محتفظاً بشكله كمكعب دوماً فإذا كان طول الضلع للمكعب يتناقص بمعدل 1 سم / ث في اللحظ التي ينقص فيها الحجم بمعدل 12 سم3 / ث.أوجد طول ضلع المكعب عند تلك اللحظة
الحـل :


    ح = ل^3     ح حجم المكعب الذي طول ضلعه ل

    ح¯ = 3 ل^2 * ل¯       من اشتقاق المعادلة السابقة بالنسبة للزمن

    -12 = 3 ل^2 × -1    إشارة - للفظ التناقص

    ل = 2 سم

لاحظ : المكعب مجسم طوله = عرضه = ارتفاعه = ل وأوجهه مربعات أي منها قاعدة له

------------------------------------------------------------
مثال(7)

    إناء على شكل مخروط دائري قائم نصف قطر قاعدته 7 سم وارتفاعه 28 سم في وضع رأسي وقاعدته لأعلى ومملوء بالماء. يتسرب منه الماء من فتحة ضيقة عند رأسه بمعدل 22سم3 / ث ؛ أوجد المعدل الذي يهبط به سطح الماء عندما يكون الماء على عمق 24 سم من سطح الإناء
( ط = 22÷ 7  ، ح =  ط نق2ع / 3)
الحـل :

------------------------------------------------------------
حل آخـر :
    الفكرة : نشتق كل من العلاقتين 1) علاقة نق ، ع  2) علاقة ح ، نق ، ع  ومن الأولى نعوض في الثانية كما يلي
من تشابه المثلثين ب حـ د ، ب هـ د : نق ÷ 7 = ع ÷ 28 ومنها
    نق = ¼ ع  ....... (1) نشتق فنحصل على
    نق¯ = ¼ ع¯  ... (2)
    ح =  (1 /3) ط نق2 ع  نشتق فنحصل على
    ح¯ = (ط / 3) [ نق2 ع¯ + 2 نق نق¯ ع ]    ....... (3)
    عند اللحظة المطلوبة يكون ع = 28 -24 = 4 وعليه يكون نق =  ¼ × 4 = 1 ( من المعادلة(1) ) وبالتعويض في (3)
    -22 = (22 ÷ 3×7) [ 1 × ع¯ + 2 × 1 × ( ¼ ع¯ × 4]  
    - 22 = (22 ÷ 3×7) [ ع¯ + 2ع¯]  
    - 1 = 22 × 3 ع¯ ÷ 3 × 7
    ع¯ = - 7 سم / ث  معدل هبوط الماء ( إشارة - تعني هبوط أو نقصان)
تنبيه : يمكن إعطاء المسألة بصورة أخرى بأن يكون المخروط أسفل حنفية ماء حيث يتساقط الماء من الحنفية بمعدل ثابت ويكون المطلوب معدل ارتفاع الماء في المخروط ، وقد نجمع الأمرين بأن يُصب الماء في المخروط من أعلى بمعدل 9 سم3 في الثانية في حين يتسرب في نفس الوقت منه الماء بمعدل 4 سم3 في الثانية فيكون معدل الزيادة 9 - 4 = 5 سم3 في الثانية ونستمر في الحل كما في المثال ، هذا وينطبق القول هذا على إناء بشكل اسطواني .
مثال( :
     صفيحة رقيقة من المعدن على شكل مربع تتمدد بالحرارة ، فإذا كان معدل زيادة محيطها 0.25 سم / ث فاحسب معدل زيادة مساحتها عندما يكون طول ضلعها 32 سم  
الحـل :
    المحيط ح = 4 ل ،   المساحة م = ل2 حيث ل طول ضلع الصفيحة المربعة الشكل
    باشتقاق معادلة المحيط بالنسبة للزمن يكون
    ح¯ = 4 ل¯
    0.25 = 4 ل¯  
    ل¯ = 0.0625
    باشتقاق معادلة المساحة بالنسبة للزمن يكون
    م¯ = 2 ل ل¯
        = 2 × 32 × 0.0625
    م¯ = 4 سم / ث2

==========
تمرين (1)
    ضلعان من مثلث يزداد كل منهم بمعدل 0.3 سم في الثانية ، والزاوية المحصورة بينهم تزداد بمعدل 0.2 من زاوية نصف قطرية في الثانية ، بأي معدل تتغير مساحة المثلث عند اللحظة التي يكون فيها كل ضلع من أضلاع المثلث 30 سم (مساحة أي مثلث تساوي نصف حاصل ضرب أي ضلعين فيه × جيب الزاوية المحصورة بينهما ، والمثلث المتساوي الأضلاع كل من زواياه = 60 درجة أي ط ÷ 3  ، مشتقة حاس هي حتاس )

تمرين (2)
    وعاء على شكل مخروط دائري قائم ارتفاعه 7 قدم ، ونصف قطر قاعدته 3 قدم وضع بحيث يكون محوره رأسياً ورأسه لأسفل فإذا صب فيه مياه بمعدل 10 أقدام مكعبة في الدقيقة فأوجد معدل ازدياد عمق الماء
    (1) عندما يكون عمق المياه 4 أقدام
    (2) عندما يكون الوعاء مشتمل على 60 قدماً مكعباً من المياه         ( الجواب 1.083 ، 0.377 )
   
تمرين (3)
   يسير رجل طوله 6 أقدام بسرعة 6 قدم / ث مبتعداً عن قائم مصباح ارتفاعه 10 قدم والمطلوب إيجاد معدل ازدياد ظل الرجل . وإذا كانت ى هي الزاوية التي يميل بها المستقيم الواصل بين أعلى نقطة من رأس الرجل وبين قمة المصباح على الأرض عندما يبعد الرجل عن قائم المصباح بمسافة قدرها ل من الأقدام فأثبت أن ل = 4 طتاى ، ثم ابحث من ذلك عن معدل نقص ى عندما يبعد الرجل عن المصباح بمسافة 8 أقدام.
 

72

الدروس والمناهج الدراسية / تطبيقات فيزيائية

« في: ديسمبر 07, 2002, 09:07:22 مساءاً »

نذكر بأن الرمز ¯ هو للمشتقة الأولى
التفاضـل
القسم السابع
التطبيق الفيزيائي للمشتقة
    التطبيق الفيزيائي أو كما يسميه البعض المعدلات الزمنية وآخرون يسمونه مبحث في الميكانيكا ومع ذلك فهو تطبيق للمشتقة الأولى التي هي معدل التغير في الدالة ص = د(س) أو كما عرفناها بالمشتقة الأولى أو تفاضل ص بالنسبة إلى س بكون المنحنى ينشأ من حركة نقطة (س ، ص) في مستوى الإحداثيات وكلامنا هنا عن حركة نقطة لتقطع مسافة (ف) في زمن (ن) وهو ما يقودنا لتعريفات على الميكانيكا والتي تهتم بعناصر ثلاث أساسية وهي المسافة والسرعة والزمن فالسرعة هي نتاج من المسافة والزمن في حين نتاج السرعة والزمن يعرف بالعجلة وقولنا هذا يخضع للتعاريف الآتية ضمن علم الميكانيكا(قسم الديناميكا):
(1) السرعة المتوسطة لجسم يقطع مسافة ف في زمن قدره ن هي ناتج قسمة المسافة الكلية على الزمن الكلي.
        وهنا لا نهتم إلا بقيمة المسافة وقيمة الزمن بصرف النظر عما يحدث أثناء الفترة الزمنية فالمهم قيمتي ف ، ن
(2) السرعة المنتظمة وهي المعدل الثابت لتغير المسافة بالنسبة للزمن .
        وهذا يعني أن الجسم يقطع مسافات متساوية في أزمنة متساوية مهما صغرت تلك الأزمنة
(3) السرعة اللحظية هي معدل تغير المسافة بالنسبة للزمن عند لحظة ما.
        وهذا يعني أن الجسم إذا كان متحرك حركة غير منتظمة أو بمعنى آخر غير ثابت السرعة ولكن قياسنا للسرعة يكون عند مروره بنقطة ب مثلاً
(4) العجلة هي معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن
(5) العجلة المنتظمة هي المعدل الثابت لتغير السرعة بالنسبة للزمن
 
   من الشكل: نقول إذا تحرك جسم في خط مستقيم فالمسافة التي يقطعها خلال انتقاله من نقطة ثابتة و على الخط لموضع آخر(ب) هي دالة في الزمن ن الذي قطعت فيه هذه المسافة أي : ف = د(ن) وبفرض أن الجسم بعد فترة زمنية قدرنا Dن قطع مسافة قدرها Dف فقيمة السرعة المتوسطة هي  Dف ÷ Dن وذلك أثناء الفترة الزمنية Dن وفي حالة حركة الجسم المنتظمة فإن Dف ÷ Dن يكون ثابت القيمة فإذا اقتربت Dن من الصفر فنهاية Dف ÷ Dن هي السرعة اللحظية عند تلك اللحظة(التي يمر بها الجسم بنقطة ب) وهي المشتقة الأولى للمسافة بالنسبة للزمن (ف¯) أي أن :
 
العجلة : ـ
    العجلة المتوسطة هي خارج قسمة التغير في السرعة ( Dع ) على التغير المناظر في الزمن (Dن ) أثناء الفترة Dن
    العجلة اللحظيــــة هي معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن أي المشتقة الأولى للسرعة بالنسبة للزمن (ع¯) أي أن :
 
مثال :
    نقطة مادية تتحرك في خط مستقيم حسب العلاقة ف = 2 ن2 + 3 ن – 4 حيث ف مقاسة بالمتر ، ن بالثانية ، أوجد كل من السرعة والعجلة في نهاية 2 ثانية
الحـل :
    ع = 4 ن + 3     باشتقاق المسافة ( ع = ف¯ )
بعد 2 ثانية : ع = 4 × 2 + 3 = 8 + 3 = 11 م / ث
    حـ = 4     باشتقاق السرعة ( حـ = ع¯ )
    حـ = 4 م / ث
لاحظ : أن حـ مقدار ثابت لا يعتمد علة قيمة ن فقد نقول كمطلوب للمسألة برهن على النقطة تتحرك بعجلة ثابتة
لاحظ : بوضع ن = صفر في علاقة الحركة ف = 2 ن2 + 3 ن – 4 نجد أن ف =  – 4  أي أن موضع بدء الحركة على يسار النقطة الثابتة (و) وعلى
          بعد 4 أمتار منها ومن ثم تحركت بعد ذلك نحو اليمين وبعد 2 ثانية تكون على بعد 7 متر من النقطة الثابتة (و).
الحركة في مستوى
    إذا تحرك جسم على منحنى في مستوى فإن المسافة ل التي يقطعها الجسم على المنحنى من نقطة ثابتة على المنحنى خلال فترة زمنية دالة في الزمن أي ل = د(ن) وكما مبين في الشكل أن الجسم تحرك من ب إلى ب1 فقطع مسافة Dل في قدره Dن فالسرعة المتوسطة هي ناتج خارج قسمة Dل على Dن في الفترة Dن والسرعة اللحظية(ع) هي غاية D ل ÷ Dن عندما D ن تؤول للصفر
    من المعلوم في علم الميكانيكا أن حركة جسم على منحنى في المستوى هي محصلة لحركتين آنيتين في اتجاهين مختلفين فإذا كان أحداثي موضع الجسم عند النقطة ب( س ، ص ) على المنحنى عند أي لحظة ن فللنقطة سرعتين إحداها ع1 في اتجاه موازي لمحور السينات والأخرى ع2 في اتجاه موازي لمحور الصادات وحركة الجسم في المستوى كأنها تعتبر محصلة لحركتين في خطين متعامدين موازيين لمحوري الإحداثيات س ، ص ويكون اتجاهها هو طاى ناتج قسمة ع2 على ع1 واتجاه السرعة اللحظية هو اتجاه المماس لمنحى مسار الجسم عند النقطة المناظرة لتلك اللحظة وهذا واضح في الشكل :
 
لاحظ : يمكن الحصول على معادلة مسار الجسم بحذف ن من المعادلتين س = د(ن) ، ص = د(ن) المسافتان الأفقية والرأسية للجسم

مثال :
    قذف جسم في الهواء بميل معين فإذا أهملت مقاومة الهواء فإن المسافة الأفقية(س) بالمتر من نقطة القذف والارتفاع(ص) بالأمتار فوق الأرض
 وفي نهاية زمن قدره ن ثانية يعينان بالمعادلتين س = 80 ن ، ص = 60 ن – 16 ن2 والمطلوب
(1) السرعتين الأفقية والرأسية في نهاية 3 ثوان
(2) مقدار السرعة المحصلة(ع) واتجاهها
(3) معادلة مسار الجسم بدلالة س ، ص
(4) ميل المماس لهذا المنحنى عند س = 240
الحـل :
    س = 80 ن ............................ (1)
    ص = 60 ن – 16 ن2 .............. (2)
(1) ع1 = 80 م/ ث
      ع2 = 60 – 32 ن    وبعد 3 ثانية  ع2 = 60 – 32 × 3 =  ع2 = – 36 م / ث
(2) السرعة المحصلة ع = [(80)2 + ( – 36)2 ]½ = 87.73 م / ث مقرباً لرقمين عشريين
      طاى = – 36  ÷ 80 = – 0.45 ومنها ى = 155.77 درجة
(3)  من المعادلة (1) ن =  س ÷ 80   وبالتعويض عن ن في المعادلة (2)
       ص = 60 × ( س ÷ 80 ) – 16 ( س ÷ 80 )2      
       ص = 0.75 س –  0.0025 س2
(4)  ص¯ = 0.75 –  0.0025 × 2 س
       ص¯ = 0.75 –  0.0025 × 2 × 240
       ص¯ = 0.75 –  1.2
       ص¯ = – 0.45  ميل المماس المطلوب
لاحظ : حـ1 = 0 م / ث2 ،  حـ2 = – 32 م / ث2 والعجلة المحصلة = 32 م / ث2  في اتجاه عمودي على محور السينات
****************************************
حساب السرعة والعجلة بيانياً :
    في الحياة العملية توجد علاقة المسافة بالزمن على صورة جدول يبين حركة جسم على خط مستقيم كبعده عن نقطة ثابتة على الخط بمسافات قدرها ف متر في نهاية زمن ن ثانية كما مبين بالجدول الآتي :    

والآن لنبحث في كيفية إيجاد السرعة والعجلة وليكن في نهاية 3 ثوان ، نرسم الخط البياني للمسافة ـ الزمن حسب البيانات الموجودة في الجدول(يجب الدقة في الرسم، ورسمنا هنا تقريبي) فنحصل على الشكل الآتي (الأيمن من الشكل):    

    نوجد ميل المماس وهو ظل الزاوية = 30 ÷ 1.11 = 27 م / ث وهو قيمة مشتقة المسافة بالنسبة للزمن(السرعة اللحظية) وبذلك نكون قد حسبنا السرعة بعد 3 ثوان والتي تساوي 27 م / ث وإذا كررنا هذه العملية للزمن من ن = 0 إلى ن = 4 نحصل على الجدول الآتي :

    في الشكل السابق تمثيل بياني لهذا الجدول(الأيسر في الشكل) وهو منحنى السرعة ـ الزمن وقد ؟أسندَ للمحورين ن ، ع  ويكون ميل المماس عند أي نقطة عليه هو المشتقة الأولى للسرعة بالنسبة للزمن أي العجلة لإيجاد قيمة العجلة بعد 3 ثوان نرسم المماس للمنحنى عند ن = 3 ونحسب قيمة ظل الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور الزمن وتساوي 27 ÷ 1.5 = 18 م / ث
*********************************
مع الاعتذار للرسم التقريبي وأي أخطاء أخرى

73

الدروس والمناهج الدراسية / تابع تطبيقات هندسية

« في: ديسمبر 06, 2002, 04:47:21 مساءاً »

التفاضـل
القسم السادس 2
تحت المماس وتحت العمودي
    يجب التعرف على الشكل المرفق لمعرفة ما نريد.

من الشكل أ د مماس للمنحنى عند النقطة د (س ، ص) وصنع زاوية هـ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات وعليه فإن ص¯ = طاهـ عند نقطة د وإنَّ العمود المقام على المماس عند نقطة د يقطع محور السينات في حـ وهو العمودي على المنحنى عند نقطة د ولنذكر الآن التعريف
تعريف :
    إنّ مسقط الجزء من المماس المحصور بين نقطة التماس ونقطة تقاطعه مع محور السينات يعرف تحت المماس في حين مسقط الجزء المحصور من العمودي بين نقطة التماس ونقطة تقاطعه مع محور السينات يسمى تحت العمودي. (المسقط على محور السينات)
    وبناء على هذا التعريف يكون من الشكل أ ب تحت المماس ، ب حـ تحت العمودي ولكي نوجد طول كل منهم نقول:
من المثلث أ ب د
    طاهـ  = ص ÷ أ ب  ونعلم أن طاهـ هو قيمة المشتقة الأولى عند نقطة د " ص¯ "
    ص¯ = ص ÷ أب   " أب هو طول تحت المماس "
    أ ب = ص ÷  ص¯
    طول تحت المماس =  ص ÷  ص¯
في المثلث ب حـ د
    طاهـ = ب حـ ÷ ب د  حيث < د أ ب = < ب د حـ  كل منها تتمم الزاوية أ د ب
    ص¯ = ب حـ ÷ ص  حيث ب حـ هو تحت العمودي
    ب حـ = ص × ص¯
    طول تحت العمودي = ص × ص¯
ملاحظة هامة:
    بمعرفة معادلتي المماس والعمودي يمكن معرفة طول تحت الماس وتحت العمودي كالآتي مع العلم بأن نقاط محور السينات احداثيها الصادي صفر
في معادلة المماس نضع ص = 0 فنحصل على قيمة س للنقطة أ(س1 ، 0) حيث س1 = أ و ومن حيث أ ب تحت المماس ، و ب = س فيكون :
    طول تحت المماس = و ب – و أ = س – س1  أي فرق الإحداثيات السينية للنقطتين د ، أ
    طول تحت المماس = س – س1  أي الفرق بين الإحداثيات السينية لنقطة التماس ونقطة تقاطع المماس مع محور السينات وبالمثل يكون
نضع ص = 0 في معادلة العمودي فنحصل على قيمة س للنقطة حـ (س2 ) أي طول و حـ وحيث طول تحت العمودي هو ب حـ فيكون
    طول تحت العمودي = و حـ – و ب
    طول تحت العمودي = س2 – س أي الفرق بين الإحداثيين السينيين للنقطتين حـ ، د

مثال : أوجد طول تحت المماس وتحت العمودي للمنحنى ص = س3 – 4 س2 + 8 س – 3 عن النقطة ( 2 ، 5 )
الحل :
     ص¯ = 3 س2 – 8 س + 8      باشتقاق معادلة المنحنى  
    [ص¯](2 ، 5) = 3 × 4 – 8 × 2 + 8 = 12 – 16 + 8 = 4
    طول تحت المماس =  ص ÷  ص¯
    طول تحت المماس =  5 ÷ 4 = 1.25
    طول تحت العمودي = ص × ص¯
    طول تحت العمودي = 5× 4 = 20
الحل الآخر :
     ص¯ = 3 س2 – 8 س + 8      باشتقاق معادلة المنحنى  
    [ص¯](2 ، 5) = 3 × 4 – 8 × 2 + 8 = 12 – 16 + 8 = 4
معادلة المماس هي :
    ص – 5 = 4 ( س – 2)     وبوضع ص = 0 نحصل على
   – 5 = 4 س – 8
    س = 3 ÷ 4    
    طول تحت المماس = 2  – 3÷4 = 1.25
معادلة العمودي هي :
    ص  – 5 =  –(1÷4)( س  – 2) وبوضع ص = 0 والضرب × 4
     – 20 =  – س + 2
    س = 22
    طول تحت العمودي = 22  – 2 = 20

تمرين : اثبت أنه لجميع نقط المنحنى ص2 = 4 ب س حيث ب ثابت يكون
    (1) طول تحت العمودي ثابت
    (2) نقطة الأصل تنصف تحت المماس

74

الدروس والمناهج الدراسية / تابع تطبيقات هندسية

« في: ديسمبر 05, 2002, 11:31:46 مساءاً »

لاحظ : ص¯  هي المشتقة الأولى
التفاضـل
القسم السادس 1
زوايا التقاطع    الزاوية بين مستقيمين تتعين بعرفة ميلاهما وتطبيق قانون ظل الزاوية المعروف في حساب المثلثات وهنا نتكلم عن منحنيات بإيجاد الزاوية بين منحنيين أو مستقيم ومنحنى
تعريف : الزاوية التي يتقاطع عليها منحنيان عند أي نقطة مشتركة بينهما هي الزاوية الحادة المحصورة بين المماسين للمنحنين عند هذه النقطة.
    ولكل مماس ميل عند نقطة على المنحنى فتقاطع منحنيين عند نقطة يعني وجود مماسين عند تلك النقطة ميلاهما م1 ، م2 ويحصران بينهم زاوية والمطلوب معرفة قيمة هذه الزاوية والتي تعرف بزاوية التقاطع والشكل التالي يبين ذلك مع ملاحظة أصل قانون طاهـ كالآتي :
    هـ = ى + هـ2     الزاوية الخارجة عن المثلث
    هـ = (180 – هـ1 ) + هـ2      الزاوية المستقيمة 180  أي  ى = 180 – هـ1
    هـ = 180 – هـ1 + هـ2            بإزالة القوس
    هـ = 180 – ( هـ1 – هـ2 )     بأخذ –1 عامل مشترك        
 طاهـ = طا[180 – ( هـ1 – هـ2 )]
 طاهـ = طا( هـ1 – هـ2 )    وبوضع  م1= طاهـ1 ،  م2= طاهـ2  ،  حيث نعلم بأن ميل المماس هو ظل الزاوية كما سبق ذكر ذلك

لاحظ أن هـ = 0  فإن طاهـ = 0 أي م1 –  م2 = 0 أي م1 = م2  وهو شرط توازي مستقيمين
كمـا أن هـ =90 فإن طاهـ = ¥ أي  1 + م1 م2 = 0 أي م1 م2 =  – 1 وهو شرط تعامد مستقيمين  
مثال : أوجد زوايا تقطع المنحنى ص = س2 مع المستقيم ص – س – 2 = 0
الحل :
    من معادلة المستقيم نجعل ص في الطرف الأيمن وننقل س ، 2 للطرف الأيسر فنحصل على  ص = س + 2 فيكون لدينا
    ص =  س2      ............. (1)
    ص =  س + 2 .............. (2)
بحل المعادلتين نحصل على نقاط التقاطع كما يلي :
    س2 = س + 2    لتساوي الطرف الأيمن في المعادلتين أو بالتعويض عن ص
    س2 –  س – 2 = 0      بنقل س ، 2 للطرف الأيمن
    ( س + 1 )( س – 2 ) = 0     بتحليل الطرف الأيمن
    س + 1 = 0 أو س – 2 = 0   أحد القوسين صفر أو كلاهما
    س = – 1  أو س = 2 وبالتعويض في (2) نحصل على
    ص = 1  أو  ص = 4  فتكون نقاطع تقاطع المنحنيين هي ( – 1 ، 1 ) ، ( 2 ، 4 )

نحصل على الميل باشتقاق (1) ، (2)  والتعويض عن قيم س كما يلي
    من (1) نجد أن:  ص¯ = 2 س ............. (3)
    من (2) نجد أن:  ص¯ = 1 .................. (4)    
نوجد م1 ، م2 عند النقطة  ( – 1 ، 1 )  بالتعويض في (3) ، (4)
    م1 = 2 × – 1 = –2  
    م2 = 1  وعليه نحسب الزاوية هـ المطلوبة عند ( –1 ، 1) كما يلي

  هـ = 71.6  والزاوية المكملة لها  180 – 71.6 = 108.4  ضرورة تحديد المكملة
تنبيه: قد يكون من الأفضل وضع ± في قانون طاهـ ليكون الناتج ± 3  فالزاوية الحادة ظلها 3 والمكملة لها – 3
نوجد م1 ، م2 عند النقطة  ( 2 ، 4 )  بالتعويض في (3) ، (4)
    م1 = 2 × 2 = 4
    م2 = 1  وعليه نحسب الزاوية هـ المطلوبة عند ( 2 ، 4 ) كما يلي:

  هـ = 31  والزاوية المكملة لها  180– 31 = 149

مثال 2 : أوجد زوايا التقاطع للمنحنيين س2 +  ص2  – 34 = 0  ،  س2 – ص – 4 = 0
الحــل :
نحل المعادلتين للحصول على نقاط التقاطع بوضعهم بالصورة :
    س2 =  – ص2 + 34 ............ (1)
    س2 =  ص + 4  ................ (2)
من (1) ، (2) نجد أن :
  – ص2 + 34 =  ص + 4  بتساوي الطرف الأيسر
    ص2+ ص – 30 = 0        نحلل
    (ص + 6)(ص – 5) = 0    
    ص = – 6 أو ص = 5  وبالتعويض في المعادلة (2) نجد أن :
ص = – 6     فإنَّ :        س2 = – 6 + 4 = – 2      أي س تخيلية فترفض
ص = 5        فإنَّ :        س2 = 5 + 4 = 9      أي  س = ± 3
نقاطع التقاطع هي : ( 3 ، 5 ) ، ( – 3 ، 5 )

نوجد الميل بحساب المشتقة الأولى لكل من المنحنيين
من (1) : 2س = – 2ص ص¯    أي  س = – ص ص¯  ........ (3)
من (2) : 2 س =  ص¯   ............. (4)
عند النقطة ب(3 ، 5) وبالتعويض
في (3)     3 =  – 5 ص¯   أي  ص¯ =  – 0.6  أي   م1 =  – 0.6
في (4)     2 × 3 =  ص¯  أي  ص¯ = 6   أي   م2 = 6
وبالتعويض في قانون طاهـ يكون :    

  هـ = 68.5  والزاوية المكملة لها  180 – 68.5 = 111.5
عند النقطة د( –3 ، 5) وبالتعويض
في (3)     –3 =  – 5 ص¯   أي  ص¯ = 0.6  أي   م1 = 0.6
في (4)     2 × –3 =  ص¯  أي  ص¯ = – 6   أي   م2 = – 6
وبالتعويض في قانون طاهـ يكون :

 هـ = 68.5  والزاوية المكملة لها  180 – 68.5 = 111.5
تمرين1: أوجد زوايا تقاطع المنحنيين  س2 + ص2 = 25  ،  س2 + ص2 – 12 س + 11 = 0   ( الجواب 37.73 ، 37.73)
تمرين2: أوجد زوايا تقاطع المنحنيين  ص = س3 – 4 س  مع محور السينات     (الجواب 50.13 ، 82.88 ، 82.88 )

75

الدروس والمناهج الدراسية / مشتقة الدالة المركبة

« في: نوفمبر 24, 2002, 10:30:35 مساءاً »

التفاضـل
القسم الخامس
تركيب دالتين - التطبيق الهندسي للمشتقة
    لكل دالة مجال ومجال مقابل وقاعدة اقتران ومفهوم تركيب دالتين هو الحصول على دالة منهم كحال 2، 3 مع الجمع العادي لنحصل على 5، وهذا يعني وجود عملية تجعل الدالتين دالة واحدة ويرمز لها بالرمز o في الغالب وتقرأ كما يحلو للبعض بدائرة فتركيب الدالتين د(س)، ق(س) يأخذ الصورة (د o ق)(ٍس) أو (ق o د)(س) وهي دالة مركبة وهما مختلفتين تماما ًوتسمى كل منها بدالة الدالة أو الدالة المركبة ويشترط أن يكون مدى د مجموعة جزئية من مجال ق للدالة (ق o د)(س) كما يظهر مما يأتي:

صورة العنصر 1 تحت تأثير التطبيق د هو 3 وصورة 3 تحت تأثير التطبيق ق هو 5 ويكون صورة 1 تحت تأثير قo د  هو 5 أي أن (ق o د)(1) = 5 وبصورة أخرى د(1) = 3 ، ق(3) = 5 وبتركيب الدالتين ق(د(1)) = ق(3) = 5 أو بالتعويض مباشرة في (ق o د)(س) = 2 س + 3 التي نتجت مما يأتي :
(ق o د)(س) =  ق(د(س)) = ق(س +2) = 2(س + 2) – 1 = 2 س + 4 – 1 = 2 س + 3 فيكون :
 (ق o د)(1) = 2 × 1 + 3 = 2 + 3 = 5 وقد بينا ذلك أعلاه
 (ق o د)(2) = 2 × 2 + 3 = 4 + 3 = 7
 (ق o د)(3) = 2 × 3 + 3 = 6 + 3 = 9
مما ذلك نستنتج أن  (د o ق)(س) = د(ق(س)) ويكون
(د o ق)(س) = د(ق(س)) = د(2س – 1) = 2س – 1 + 2 = 2س + 1 # 2س + 3 = (ق o د)(س) وهذا يعني أن عملية تركيب دالتين ليست أبدالية

 ********* المشتقة الأولى للدالة (د o ق)(س)  **********
نظريـة إذا كانت كل من د، ق قابلة للاشتقاق فإن:
(د o ق)¯(س)  = د¯(ق(س)) × ق¯(س)  وكذلك  (ق o د)¯(س) = ق¯(د(س)) × د¯(س)
**********************************************
مثال : إذا كانت د(س) = س + 2 ، ق(س) = 2س2 – 3 فأوجد المشتقة الأولى للدالة (ق o د)(س)
الحل : يمكن الحل هنا بطريقتين التعويض ثم الاشتقاق أو الاشتقاق ثم التعويض وسنسرد الطريقتين
الطريقة الأولى : التعويض (ق o د)(س) = ق(د(س)) = ق(س + 2) = 2(س + 2)2 – 3 = 2( س2 + 4 س + 4) – 3 = 2س2 + 8 س + 5
بالاشتقاق يكون: (ق o د)¯(س) = 4 س + 8

الطريقة الثانية : بالاشتقاق يكون:  د¯(س) = 1 ، ق¯(س) = 4 س
نعوض في النظرية فيكون :
 (ق o د)¯(س) = ق¯(د(س)) × د¯(س)
 (ق o د)¯(س) = ق¯(س + 2) × 1 = ق¯(س + 2) = 4(س + 2) = 4 س + 8
 (ق o د)¯(س)  = 4 س + 8  وهو نفس الناتج السابق

هناك ما يعرف بقاعدة التسلسل بأن نوجد مشتقة ص بالنسبة إلى ع وكذلك مشتقة ع بالنسبة إلى س فناتج ضربهم يكون مشتقة ص بالنسبة إلى س
    إذا كانت ص = د(ع) ، ع = د(س) فيمكن حذف ع للحصول على علاقة مباشرة بين ص ، س يسهل اشتقاقها مثل :
    ص = ع2+ 3 ع – 7 ، ع= 3 س +1 فإن
    ص = ( 3 س + 1)2 + 3( 3 س + 1) – 7
    ص = 9 س2 +6 س + 1 + 9 س + 3 – 7
    ص =  9 س2 +15 س – 3
    ص¯= 18 س + 15 أو استخدام قاعدة التسلسل كالآتي :


وهذا نفس الناتج السابق حيث بدأنا بالتعويض ثم الاشتقاق وهنا العكس الاشتقاق ثم التعويض

********************** التطبيق الهندسي للمشتقة *************
    سوف نستعرض هنا في كيفية أيجاد معادلتي المماس والعمودي ، زاويا التقاطع وتحت المماس والعمودي ولا بد من القول مما سبق بأن
 ميل منحنى الدالة عند نقطة على المنحنى هو قيمة المشتقة الأولى للدالة عند هذه النقطة.
ميل المنحى عند أي نقطة عليه هو ميل المماس للمنحنى عند هذه النقطة.
لإيجاد ميل المماس لمنحنى عند نقطة عليه نوجد المشتقة الأولى ونعوض فيها بإحداثي النقطة.
العمودي على منحنى عند نقطة عليه هو العمودي على المماس عند تلك النقطة.
لإيجاد ميل العمودي نوجد ميل المماس(ص¯) ومنه ميل العمودي = –1 ÷  ص¯  حسب شرط التعامد( م1 × م2 = – 1 ).
ميل المماس = طاهـ كما سبق ذكره فإن كانت هـ حادة كان الميل موجب ، هـ منفرجة كان الميل سالب
تحرك نقطة على منحنى يعنى اتجاه حركتها عند نقطة هو اتجاه المماس للمنحنى عند تلك النقطة
اتجاه منحنى عند نقطه عليه هو اتجاه المماس عند تلك النقطة
لإيجاد معادلة المماس لمنحنى عند (س1 ، ص1) نوجد قيمة المشتقة الأولى(م) ونستخدم ص – ص1 = م( س – س1).
لإيجاد معادلة العمودي لمنحنى عند (س1 ، ص1) نوجد قيمة المشتقة الأولى(م)  ونستخدم ص – ص1 = (–1÷ م)( س – س1).
الشكل الآتي يوضح المماس والعمودي وإشارة المشتقة الأولى

    في الجزء الأيمن من الشكل أ ب مماس يميل بزاوية هـ1 حادة على الاتجاه الموجب لمحور السينات فالميل موجب ، ب حـ عمودي يميل بزاوية هـ2 منفرجة على الاتجاه الموجب لمحور الصادات فالميل سالب.
    في الجزء الأيسر من الشكل نجد أن ميل المماسان عند ح، أ موجب في حين ميل المماسان عند ط، حـ سالب بينما المماسان عند ب، د موازيان لمحور السينات فالميل هنا يساوي الصفر لكون مبل المحور السيني يساوي الصفر في حين إن وجد مماساً يوازي محور الصادات فيكون ميله مساوي مالانهاية لكون ميل المحور الصادي يساوي مالانهاية كما سبق ذكره.

مثال(1) : أوجد معادلتي المماس والعمودي  للمنحنى ص = س3 + 3 س – 2 عند النقطة ( 1، 2 )
الحـل : نوجد المشتقة الأولى : ص¯ = 3 س2 + 3
نوجد قيمة المشتقة(ميل المماس م) [ص¯] س=1 = 3 × 1 + 3 = 6  وهي قيمة ميل المماس عند النقطة (م = 6 )
معادلة المماس هي :
    ص – ص1 = م ( س – س1 )
    ص – 2 = 6 ( س – 1 )
    ص – 2 = 6 س – 6
6 س – ص – 4 = 0
معادلة العمودي (ميله = – 1 ÷ 6 )
    ص –  ص1 = (– 1 ÷ م )( س – س1)
    ص – 2 = ( – 1 ÷ 6)( س – 1 )
    6 ص – 12 = – س + 1
    س + 6 ص – 13 = 0
مثال(2) :
     نقطتان دائماً على خط رأسي واحد الأولى تتحرك على المنحنى ص = 3س2–2س+7 والثانية تتحرك على المنحنى ص = ½ س2 + 8س –6
    أين يكون اتجاه حركة النقطة الأولى موازياً اتجاه حركة النقطة الثانية.
الحـــل :
الفكرة :
النقط الواقعة على خط رأسي واحد تكون لها نفس قيمة ألإحداثي الصادي(الواقعة على خط أفقي واحد لها نفس ألإحداثي الصادي)
اتجاه حركة نقطة على المنحنى هو اتجاه المماس للمنحنى عندها والميل عندها هو المشتقة الأولى
توازي المماسان يعني تساوي ميلاهما أي تساوي المشتقة الأولى للأول و المشتقة الأولى للثاني
بناء على ما ورد نقول :
ميل المماس للمنحى عند النقطة الأولى هو ص¯ = 6 س – 2 وليكن م1
ميل المماس للمنحى عند النقطة الثانية هو ص¯ = س + 8  وليكن م2
لكونهم متوازيان يكون : 6 س –  2 = س + 8  ومنها س = 2
النقطة الأولى : بالتعويض في المنحنى الأول يكون ص = 12 –  4 + 7 = 7 فالنقطة ( 2 ، 15 )
النقطة الثانية : بالتعويض في المنحنى الثاني  يكون ص = 2 + 16– 6 = 7 فالنقطة ( 2 ، 12 )
مثال(3) :
أوجد النقط الواقعة على المنحنى  س2 + ص2 + 3 س + ص = 0 والتي يكون  المماس عندها عمودياً على المستقيم  س +  3 ص + 3 = 0
الحــل :
    هنا ميل المماس لم يعطى مباشرة بقول المماس عمودي على مستقيم وعليه نوجد ميل المستقيم ونطبق شرط التعامد للحصول على ميل المماس فيكون ميل المستقيم هو – معامل س ÷ معامل ص = – 1 ÷ 3 ويكون ميل المماس = 3 ( حسب شرط التعامد م1 × م2 = – 1 )
    ميل المماس هو المشتقة الأولى ( ص¯ ) أي  ص¯ = 3 ، التي يمكن الحصول عليها أيضاً باشتقاق معادلة المنحنى أي :
     س2 + ص2 + 3 س + ص = 0 ---------------> (1)  
   2 س + 2 ص  ص¯  + 3 +  ص¯  = 0      ـ اشتقاق الدالة الضمنية ـ
    2 س + 2 ص × 3 + 3 + 3 = 0
    2 س + 6 ص + 6 = 0
    س + 3 ص + 3 = 0
    س = – 3 ص – 3  -------------> (2)
وبالتعويض في عن قيمة س في معادلة المنحنى (1)  يكون :
    ( – 3 ص – 3 )2 + ص2 + 3 ( – 3 ص – 3 ) + ص = 0
    9 ص2 – 18 ص + 9 + ص2 – 9 ص – 3 + ص = 0
    10 ص2 + 10 ص = 0
    10 ص ( ص + 1 ) = 0
    ص = 0  أو ص = – 1 وبالتعويض في المعادلة (2) لحساب قيمة س
     س = – 3 أو س = 0
    النقاط المطلوبة هي ( – 3 ، 0 ) ، ( 0 ، – 1 )

مثال(4) :
أثبت أنَّ النقطة (– 1 ، 3 ) تقع على المنحنى س2+ ص2 – 4 س + 2 ص = 20 ، ثم أوجد معادلتي المماس والعمودي عندها.
الحـل :
    نعوض عن س =  – 1 ، ص = 3 في الطرف الأيمن من لمعادلة المنحى  فإن كان الناتج 20 فالنقطة واقعة على المنحنى
    الطرف الأيمن = 1 + 9 + 4 + 6 = 20 = الطرف الأيسر فالنقطة تقع على المنحنى
    لإيجاد المعادلة نوجد الميل ، ميل المماس = المشتقة الأولى عند النقطة ، وميل العمودي مقلوب ميل المماس بإشارة مخالفة
    2 س + 2 ص ص¯  – 4 + 2 ص¯ = 0 باشتقاق معادلة المنحنى بالنسبة إلى س
    2 × – 1 + 2 × 3 ص¯ – 4 + 2 ص¯ = 0    بالتعويض من النقطة
    – 6 + 8 ص¯ = 0  ومنها ص¯ = 3 ÷ 4 أي ميل المماس م = 3 ÷ 4 فالمعادلة تكون
    ص – ص1 = م ( س – س1 )
    ص – 3 = (3 ÷ 4) ( س – (–1)) بالضرب في 4
    4 ص – 12 = 3 س + 3
    3 س – 4 ص + 15 = 0 وهي معادلة المماس
    حيث أن ميل المماس م = 3 ÷ 4 فإنَّ ميل العمودي(العمودي على المماس عند النقطة) = – 4 ÷ 3 فمعادلته هي
    ص – ص1 = م ( س – س1 )
    ص – 3 = (– 4 ÷ 3) ( س – (–1)) وبالضرب × 3
    3 ص – 9 = – 4 س – 4
    4 س + 3 ص – 5 = 0
============================================
تمارين :
1) أوجد النقط على المنحنى 3 ص = س3 – 3 س2 – 1 والتي يصنع عندها المماس مع الاتجاه الموجب لمحور السينات زاوية قياسها 135• وكذلك النقط التي يكون عندها المماس مواز لمحور السينات
2) أوجد النقط على المنحنى ص = ½ س3 – ½ س2 + 11 والتي تكون المماسات عندها موازية المستقيم س – 2 ص – 1 = 0
3) أوجد معادلات المماسات للمنحنى س3 + 2 ص2 – 9 = 0 عند النقط التي إحداثياتها السينية = 1
  4) إذا كان المستقيم 3 س – 2 ص – حـ = 0 يمس المنحنى ص2 = 4 س فأوجد نقطة التماس ومن ثم أستنتج قيمة حـ.

  5) إذا كان المستقيم س – حـ ص + 2 = 0 يمس المنحنى ص3 = 8 س فأثبت أن هناك قيمتين للمتغير حـ وأوجدهم وأثبت أن المماسين عندهم متعامدين وأوجد نقطتي التماس.

================  البقية تأتي ====================